SYMÉTRIE

Le résultat des substitutions dans cette équation est, en définitive ,

C'est la condition nécessaire et sufTisante cherchée.

On voit qu'elle se réduit à ce que le nombre — ^4^ soit un en.

tier impair.

Dans le cas spécial qui nous occupe B est toujours égal à — i. Il faut donc et il suffit que le nombre 2(^4- /) soit impair, ou que t-f-/ soit égal à un impair divisé par 2 ; or c'est ce qui arrive toujours

loi-sque n est pair, car / = — ■ — et /= o.

Lorsque n est pair, la série formée par les coefficients depatgti dans les valeurs de H et F est donc symétrique par rapport à l'un de

ses termes, le f - + 1 ) pou^ la série des coefficients de H et le

pour la série des coefficients de F.

2* L'autre genre de symétrie a lieu lorsque deux termes consécutifs Wi„ W| sont égaux dans la série (w) ; ce qui suffit pour que tt4,= W/h» t/^,==t/^+j, et ainsi de suite.

Pour que cette condition soit remplie, il faut et il suffit que réquation / + /+9(/ — i) = o, obtenue en retranchant la valeur de f/^i de la valeur de Ui, fournisse pour / une valeur entière; 0 étant égala — i,il suffit pour cela que / + /soit entier, ou, puisque /=o, que n + 1 Soit divisible par 2, ou enfin que n soit impair; dans ce

— ! — j eti — -^—j

pour les coefficients de II, et les termes ( ) et ( — i^)

pour les coefficients de F.

Si Ion poussait la division du trinôme du second degré par le polynôme

1— Sx+Sx'-x*

DES SÉRIES OBTEiNUES. li\

au delà des termes qui correspondent à la moitié de la portée , le calcul donnerait donc dans tous les cas les coefficients déjà obtenus» que n spit pair ou impair; et il y a un coefficient central si n est pair, tandis qu'il n'y en a pas si n est impair.