VIBRATIONS

blême analogue, mais dans lequel nous négligions la masse de la tige pour ne tenir compte que de âon- élasticité. Nous allons reprendre le problème, çans négliger la masse de la tige ^ puis nous achèverons la solution dans un cas particulier.

Al 6. Une tige verticale AB, de longueur /, de section a>, pesant p

unités de poids par unité de volume, est suspendue invariablement

Fi 346 ^^ point A ; à l'extrémité B elle porte un poids donné P;

4 on demande l'équation du mouvement vibratoire pour un

point quelconque de la tige, c'est-à-dire l'abscisse d'un

point défini dans l'état naturel par son abscisse x au

bout d'un temps quelconque /•

La dimension / et le poids p sont pris dans l'état naturel de la tige. On donne également la section co delà tige, que l'on suppose constante

Prenons un point quelconque M sur la tige AB, à une distance x du point A, dans l'état naturel.

Le point défini par cette distance se trouvera déplacé, par suite du mouvement vibratoire, d'une quantité u, dans un sens ou dans l'autre, le long de la tige AB. La variable u sera une fonction de x et de / , qui définira le mouvement de tout point désigné par son abscisse x. Dn élément dx infiniment petit, MM', pris sur la tige dans Tétat naturel , acquiert un certain accroissement de longueur par suite du déplacement de ses deux extrémités. L'extrémité M, qui avait l'abscisse a:, acquiert l'abscisse aî + w, et l'extrémité M', qui avait l'abscisse x + dx^ acquiert, en vertu de la loi de continuité, l'abscisse

x + dx + M+^dx.

Sa longueur actuelle est donc

Son accroissement de longueur est ^ dx, et enfin, ^ est son allongement relatif.

DTNE TIGE PESANTE. 735

Multiplions cet alloDgement relatif par le produit Eco de la

section par le coefficient d'élasticité : le produit, Eco -7- , mesurera

la force élastique correspondante à l'extension de l'élément considéré (§ 12). G* est la tension de la tige au point M. Elle est variable d'un point à l'autre de la tige AB, proportionnellement à la

dérivée partielle ^.

Reprenons l'élément MM', dont la longueur est dx dans l'état naturel ; il est en équilibre, pendant le mouvement, sous l'action de son poids, des tensions développées dans les sections M et M', enfin de la force d'inertie. En exprimant l'équilibre de ces diverses forces, nous aurons l'équation demandée.

Le poids de l'élément e^iptùdx.

La masse de l'élément est égal à son poids, ptùdx^ divisé par

l'accélération g due à la pesanteur, OMk^dx\ et l'accélération de

l'élément dans le mouvement vibratoire est — ,~| Sou simple-

(Cu ment -1--. y car la variable x^ qui définit la position des sections de

la tige dans l'état naturel, est indépendante du temps* La force d'inertie a donc pour mesure

^» *^ . flfr

9 dp'^'

La tension développée dans la section M est mesurée par l'exprea-

du sion E(o^ ;elle tendàdéplacerl'élémentde bas en haut,siron suppose

qu'il se soit déplacé de haut en bas en s' allongeant. Dans la section M',

fin

on retrouvera une tension en sens contraire, égale à Eco -7- augmentée

• (tx

de sa différentielle partielle relative à x, ou de ^ (^w^ j dx, de sorte