Î38 ÉQUATION
indépendante du temps t. Elle permet de transformer cette équation ; en effet, posons d'une manière générale
z étant une nouvelle variable fonction de x et de t; nous aurons, en prenant les secondes dérivées par rapporta x et à ^»
(Pu p dh dx» "" E "^ dx«»
dhi d*z
dp "^ dp'
PuiSf substituant dans Téquation (i), la variole u s'élimine, et l'équation (i) devient
^ ^ dp'" p' dx*'
Posons, pour abréger, -^ = a*, et nous aurons ramené l'éaua-
P tion (i) à la forme
équation bien connue des analystes sous le nom d'éçtiation des cordes vibi'antes.
A19 . Cette équation a été intégrée, au siècle dernier, par d'Alembert, le créateur de l'analyse des équations aux dérivées partielles. Voici la méthode fort ingénieuse qu'il a suivie pour résoudi-e le problème.
D'Âlembert observe que l'équation (S) sera satisfaite pour toute fonction z des variables a; et / qui aura^ avec une autre fonction v des mêmes variables, une relation telle, queles dQuz expressions
vdx + a^zdt^ zdx + vdt,
soient à la fois des différentielles exactes.
DES CORDES VIBRANTES. 7.^fl
En effet, s'il en est ainsi, on aura à la fois
et
do dt
d(aH) ~ dx
dx'
dz dt"
dv
Prenons la dérivée de la première équation par rapport à x^ la dérivée de la seconde par rapport à / ; nous trouverons
cPî) , d^z
dtdx di«'
di^ ~ dxdt*
Et comme j-j est identiquement égal à ^rr- » il en résulte
rf'z rf'z
que -i-y est égal à a* -r-,, et que l'équation (5) est vérifiée.
Le problème est donc ramené à trouver des fonctions, z et t;, de x et de / telles, que vdx + a*zdt et zdx + vdt soient des différentielles exactes ; ces mêmes fonctions rendront donc aussi différentielles exactes la somme
{vdx + a^zdt) + a{zdx + rcW) = (r + az)dx + a{v + az)dt = (t> + oz) (dx + adf)^
et en même temps la différence
ivdx+a*zdt)'^a{zdx+vdt) = {v—'az)dX'~a{v^az)dt=[V'—az) (dx-^adt).
Nous pouvons poser, en appelant M et N des fonctions indéterminées de X et de /,
(r + az) (dx + adt) = dM, (»— ai) (dx— adO = <*N.
Uîus d!r d: a(// est la différentielle de x dz at. Pour que les équations précédentes soient satisfaites, il faut et il suffit que v + az soit une fonction quelconque de a: + a/ , et
que V — az soit une fonction quelconque Aex — at\ la solution consiste donc à poser
^ et ^ étant des fonctions arbitraires quelconques. Entre ces deux équations « nous pouvons éliminer la fonction auxiliaire v , puis diviser par sa, et changer les fonctions arbitraires $ et W en d'autres fonctions arbitraires ^ et {^ ; nous aurons en déflnitive l'équation
(6) 2; = 9(x 4- al) + ^{x — ai)
pour l'intégrale générale de l'équation (5).
DÉTERMINATION DES FONCTIONS ARBrrRAlRES DANS LE PROBLÈME DES VIBRATIONS DE LA TIGE PESANTE LORSQUE LE POIDS AtolTIONNEL P EST ÉGAL A ZÉRO.
A 20. Revenons à la solution générale du problème de la tige vibrante
(6 bis) r = 9(x 4- at) + +(x— aO,
ou bien, en remplaçant z par sa valeur en fonction de m.
Nous allons déterminer les fonctions (p et t^, d'après les conditions initiales du mouvement, supposées données.
Dans ces équations, x ne peut recevoir que les valeurs comprises entre a? = oet a: =1, tandis que t peut être supposé variable de o à -f- c».
On donne, pour < = 0, la valeur de u en fonction de a? , et la valeur de la vitesse — de chaque point à ce même instant.
On sait de plus que le point A est fixe ; de sorte que pour x = 0, on doit avoir u = o et — =0, quel que soit (•
Pour simplifier la question, nous supposons que P est nul; ce qui
