DES FONCTIONS ARBITRAIRES
revient à chercher la vibration de la tige sous l'action de son propre poids seul.
Dans cette hypothèse , on aura j- = o pour x = l. Ea effet , la
Cm)
tension de la tige au point B est égale à Ew — ; c'est la réaction
égale et contraire au poids P; elle est donc nulle si P = o. On a ainsi les équations de condition suivantes :
u = F(x) I pour ^ = 0, les fonctioDs F et/ étant supposées données gj- =/(x) I pour toute valeur de x de 0 à /.
du __ I pour X = 0, quel que soit t.
du
— = 0 pour X = /, quel que soit t.
Faisons t =.o dans l'équation (7) , après avoir supprimé le terme — , que nous supposons nul ; il viendra pour t = 0
Puis prenons la dérivée de (7) par rapport à ^ et faisons t = o; il viendra , en supprimant toujours le terme contenant P,
Les équations (8) et (9) donnent les fonctions <p {x) et ^ {x) entre les limites x = o et x = I.
En eflet , on tire de la seconde, en intégrant,
et la première donne
On en déduit
9[x) = I F(x) ^ ^ (2/x - X') + ^ Ç f{x) dx,
La quadrature J /* (x) dât; introduira une constante arbitraire G ; et l'on peut poser d'une manière générale
^f[x)dx=C'\'^f[x)dx.
Nous verrons plus loin que cette quantité G n'influe pas sur le résultat final , et qu'on peut par suite lui attribuer telle valeur qu'on voudra, o, par exemple.
Les fonctions F (x) et f {x) étant données pour toutes les valeurs de X comprises entre les limites a? = o et 05 = I, les équations (10) font connaître de même les valeurs des fonctions (p et <}» pour toutes valeurs de leur variable immédiate comprises entre les mêmes limites.
Si on fait j? = 0, dans l'équation (7) et dans l'équation qif on en déduit par la dérivation par rapport à ( , c'êst-à-dire dans les équations suivantes
u = ^ (2/x — X*) 4- ?(a; + at) + ^'(x - a/), (il) { ,
on doit avoir, quel que soit (, en vertu des équations de condition,
^^^^ ( 0 = ?'(aO — f(-a/).
La première des équations (12) nous apprend que, quelle que soit la variable 2^, on a
de sorte que si l'on connaît l'une des fonctions, ç), dans un certain intervalle, on peut en déduire l'autre fonction ^ dans l'intervalle compris entre les mêmes limites changées de signe. On connaît f et ^
