DES FONCTIONS ARBITRAIRES. «ÎV
quand leurs variables sont comprises entre o et / : on déduira donc de la première équation (12) les valeurs de ^ et deç dans l'intervalle a? =0 et rc = — /; en définitive, on connaîtra <p et 4^ pour toutes valeurs de la variable comprises entre les limites — / et -{- /.
La seconde équation (is) rentre dans la première et ne nous apprend rien de nouveau.
Ayons égard maintenant à la condition ^ =0 pour x=/, quel que
soit t. Nous avons , en général,
{i3) ^ = |(^-«)4-^{x + aO + *'{x-a<).
Faisant x = /,' il viendra
(14) 9'(/ + afl + 4/(/-crf) = 0,
quel que soit L
L'équation (i4)est une équation différentielle dans laquelle f est la seule variable indépendante. Intégrons cette équation, nous aurons
(16) 9(/ + a<)-'K/-aO=C',
G étant ime nouvelle constante arbitraire. Si nous faisons tz^z 04 il vient
Or nous avons d^à trouvé Donc
(16) C'=l£y(x)rfx + §.
de l^orte que la constante C s'exprime en fonction de la constante G. il vient alors pour l'équation (iS)
m PÉRIODICITÉ
équation vraie pour toutes valeurs de /.
La première des équations (la) et Téquation (17) sont donc vraies pour toutes valeurs de leur variable. Ueniplaçons dans (12) ai par at — /; nous aurons
Les équations (17) et (18) permettent d'éliminer la fonction ^:
(19) f(l + ai) + •(-./ + al) - 1 £/(x) dx + ^,
ou bien, en remplaçant ( — i+at) par une nouvelle variablelC,
(20) f(K + %l) + 9{« = J £/(x) (te + ^.
L'équation (20) nous donne donc cp {^+^1) au moyen de 7 (Ç) ; nous connaissons déjà cp (Ç) pour toutes valeurs de Ç comprises entre — / et + '; nous en déduirons les valeurs de cp pour des valeurs de ^ comprises entre I et 3 {, puis entre 3 { et 5 1, et ainsi de suite indéfiniment; en d'autres termes on pourra toujours trouver les valeurs de <p (x+a/) , pour toutes valeurs de x comprises entre x=o et j;=/, et pour toutes valeurs du temps L
La fonction ^{x — at) se déterminera de la même manière; mais on peut aussi appliquer la première des équations (12), et observer qu'on a, en vertu de cette équation ,
0 = 9(— a; + ai) + ^x-^af).
Donc
«Kx — aO = — ?(a; + a/),
ce qui permet d'écrire l'équation (7) sous la forme
DU MOUVEMENT. 74r>
La détermination de ? pour toutes valeurs de sa variable achève donc toute la solution.
La constante G disparaissant dans la différence des fonctions
f (« + at) — ©(— x + at),
on peut, comme nous l'avons dit, la supposer égale à î).
L'équation (20) montre que le mouvement est périodique. En effet, remplaçons
ç par ; + «/; il viendra
f K + 4/) + f{K + «/) = 5 ^M dx+^,
et, en retranchant Téquation (so),
de sorte que la fonction (f (Q est péiîodique, et que la période est égale à ^L 11 en est de même de la fonction ^ ; et par suite, la tige se retrouvera identiquement dans la môme position, avec les mêmes vitesses pour les mêmes points, à deux époques pour lesquelles a; -f a/ différera de A/, c'est-à-dire au bout d'un temps égal
à — ; c'est la durée d'une allée et d'une venue complète, le long de la
tige, d'un mobile qui serait animé dans un sens et dans l'autre de
la vitesse moyenne -•
Nous avons supposé P = o. Si nous voulions conserver P dans le calcul, les équations deviendraient beaucoup plus compliquées. Nous renvoyons pour le développement de la solution dans ce cas général au Cours de mécanique appliquée de M. Bresse , 2* édition ^ chapi tre TI, S ^^9» ps^es 354 et suivantes.
^4Q VIBBATIGNS TRANSVERSALES
VIBBATIONS TRANSVERSALES d'uNE POUTRE DROITE POSÉE
421. Nous admettrons que la poutre AB, posée sur les appuis de
niveau A et B, a une section constante, et quelle est chargée
Fi«- 348. uniformément de p unités de poids par
A M M' u unité de longueur. On donne la dis-
^ Il ■ "A
tance I = AB des deux appuis. On suppose enfin la poutre animée d'un mouvement vibratoire transversai, dont on demande la loi.
Les équations cherchées s*obtiendront en introduisant les forces d'inertie dans les équations de l'équilibre intérieur de la pièce.
Prenons sur la poutre un point M à une distance x du point A, €t considérons un second point M' infiniment voisin du point M, et défini pai'son abscisse x-\-dx. Le poids de l'élément, surcharge
comprise, esipâx^ et sa masse est par conséquent ^dlo;.
Soit [X le moment des forces élastiques dans la section M ; le mopj^ 3^g ment des mêmes forces en M sera égal à
kK
^^%àx.
V *^ & '^J et devra être pris avec un signe contrdre.
Représentons de même par une lettre A la résistance à l'effort tranchant dans la section M; nous trouverons en M' une ré-
fàx
flistance à l'effort tranchant égale à
* . dA ,
et dirigée en sens opposé.
