D'UNE POUTRE SOUS UNE CHARGE FIXE

L'élément MM' reçoit des déplacements normaux à AB, et nous supposerons que toutes ses molécules suivent les verticales qui les contenaient dans l'état primitif. Rigoureusement, ces déplacements verticaux ne sont admissibles que pour les molécules de la fibre neutre. Les molécules situées en dehors de cette fibre subissent, par suite de la flexion, un mouvement de bascule autour de Taxe horizontal mené dans chaque section par son centre de gravité ; il y aurait donc lieu d'introduire dans le calcul le couple d'inertie développé par ce déplacement angulaire. Pour plus de simplicité, nous suivi'ons la marche adoptée par M. Phillips dans ses mémoires sur les poutres vibrantes, et nous ferons abstraction de ce couple, qui est du reste très-faible toutes les fois que la hauteur de la poutre est petite par rapport à sa portée, ou que le poids propre de la poutre est petit par rapport à la surcharge.

Dans ces conditions, les forces d'inertie se réduisent à une force unique verticale et ayant pour expression

elle est dirigée de bas en haut si l'élément de poutre descend avec une vitesse croissante.

Rappelons que nous comptons les y positivement au-dessus de AB, et négativement au-dessous.

Nous pouvons poser les équations du mouvement vibratoire; elles se réduiront à deux; l'une est celle des composantes verticales, l'autre, celle des moments.

Équation des composantes verticales.

ou, en réduisant et en supprimant le facteur commun {£9,

^4g VIBKATIONS TRANSVERSALES

Équation des moments par rapport au point it application

du poids pdx.

, + »x*!H.(» + g„.)xf-(. + *^)=..

Réduisons, supprimons le terme infiniment pedt du second ordre

et divisons par dx : il vient

équation rigoureusement vraie dans l'état d'équilibre , et approximativement vraie dans Tétat de mouvement, puisque nous avons négligé le couple d'inertie provenant du mouvement de rotation des sections transversales autour de rborizontale menée par le centre de gravité.

Or nous savons que le moment [a des forces élastiques est représenté par la fonction

On a donc, en en prenant la dérivée par rapport à x,

^ — El ^ — A

et, en prenant encore la dérivée de A par rapport à x^

rfA Substituons cette expression de — dans l'équation (i) ; nous aurons

(tx

l'équation finale

Elle contient la dérivée parUelle du quatrième ordre de y par rap-

DTNE rOUTRE SOUS UNE CHARGE FIXE. 7W

port à a;, et la dérivée partielle du second ordre de y par rapport ii I. Elle présente donc pour Tint^ration un plus grand degré de dilFiculté que réquation des cordes vibrantes, et il est eflectivement impossible d'en obtenir l'intégrale générale sous forme finie (i).

422. Cherchons-en une solution particulière, qui corresponde à l'équilibre, ou au repos de la poutre ; cela revient à supprimer le terme

-Y\ , le seul où entre la variable U Alors l'équation (5) devient une ai

simple équation différentielle du quatrième ordre ,

qu'il est facile d'intégrer. On trouvera successivement, en appelant G et r/ des constantes arbitraires,

Elg.=-px+C

Maïs El T^ est égal au moment fléchissant au point de la poutre défini par son abscisse a? , et ce moment est exprimé par la fonction

On identifiera donc les deux expressions en faisant

Continuons à intégrer, nous aurons d'abord

='(ï-*«")=-gp^+îp*^'

et dans cette équation la constante tg a se déterminera en obser-

(H V. Poisson, Jwrmi de VÉcole polytechnique, t. Vi (an xiii).