INTÉGRATION DE L'ÉQUATION

L'équation (a) a été intégrée par Laplace, d'abord sous forme de série, puis sous forme d'une intégrale partielle représentant la somme das termes de cette série. Nous nous bornerons à donner la solution et à la vérifier.

L'intégrale générale de l'équation {a) est, en désignant par /une fonction arbitraire,

ic)

Dans cette équation, l'intégration porte sur la variable m, qui passe par toutes les valeurs réelles de l'infini négatif à l'infini positif; les variables xeit sont traitées comme des constantes dans Tintégration.

Pour vérifier ce résultat, diflérentions l'équation (c) deux fois par rapport à x, puis une fois par rapport à L II viendra

S = J^^ ^""V (^ + 2u v^c7) du,

Sous cette dernière forme, l'intégrale se prête à l'intégration par parties. On a, en effet, en laissant de côté les limites,

y-»*' wcf^^ X Z' (r X 2m v^ =— 1 ^"«V (^ + 2m \/7t)

+ ^ y~"V (^ + 2w \/^0 2 v^ du.

Prenons ensuite le résultat obtenu entre les limites — ^y^ei -{- <^; le terme en dehors du signe \, contenant en facteur e-"', est nul aux deux limites; le second terme se réduit à