J-UO
Pour dévelopi)er la valeur de z en série, on développera les fonctions / et F suivant la série de Taylor (supposée applicable aux fonctions données); puis on formera les intégrales indiquées, qui sont toutes de la forme
e-^'^u^du.
754 INTÉGRATIOxN DE L'ÉQUATION
et qui entrent comme coefficients dans ces séries. Le résultat final ne contiendra plus aucune trace de la variable auxiliaire u.
Intégration sous forme de série.
â2S. L'intégrale générale de cette équation aux dérivées partielles peut renfermer une infinité de termes de différentes formes.
On pourrait d'abord y introduire une fonction entière de j:, du 4* degré, dont la 4* dérivée serait constante; puis une fonction entière de/ du 2* degré, dont la a*** dérivée serait également constante: il faudrait que le produit de la première constante par a*, ajouté à la seconde constante, fût identiquement nul, ce qui permet d'exprimer Tune des constantes au moyen de l'autre.
On peut y joindre une infinité de termes de la forme Tsiniîij-, T étant une fonction du temps, et m un coefficient constant. En effet, si Ton considère un de ces termes en particulier, on a pour sa 4* dérivée relativement à x
Tm* sin mx,
et pour la seconde dérivée relativement à i ,
-TTT sm mx.
dv
(le terme satisfait donc à Téquation (5), pourvu qu'on ait
équation différentielle linéaire du 2* ordre, qu'on sait intégrer. On PU déduit
T = Cmsin7n*a*/ + C'„» ces ??i*a«/,
en appelant C^, et G'„, deux constantes arbitraires. Le terme considéré prend la forme
(Cm sin ni^a^t + C'^ cos iri^aH) sin mx ;
DES POIjTRES vibrantes. 7o3
hans cette expression C,„ et C'^ désignent des constantes arbitraires, et m un nombre qui sera assujetti plus loin à certaines conditions. Nous supprimerons dans la solution générale les fonctions entières de X et de t. Pour la fonction entière de ^ elle ne peut subsister dans la solution, par la raison qu'à partir d'une certaine valeur de la variable t, qui grandit seule indéfiniment, cette fonction prendrait des valeurs de plus en plus grandes, et- par suite il serait impossible que la poutre restât indéfiniment posée sur ses appuis. Quant à la fonction entière de x, elle est englobée dans le polynôme du quatrième degré en x qui complète la valeur de z^ et qui donne la valeur générale de y, puisque la suppression de tous les termes fonctions de t dans la valeur de y doit ramener l'expression de y à celle qui convient à l'équilibre. Nous poserons donc simplement
(6) « = 2 (Cm sin m^aH + Cm cos rri^aH) sin mx,
et ce sera l'équation du déplacement oscillatoii-e de la poutre autour de sa position moyenne ou de sa position d'équilibre,
426. Passons à l'examen des conditions particulières du problème.
Aux points A et B, c'est-à-dire pour a; = o et pour j; = /, la poutre ne subit aucun déplacement ; donc y = o en ces points ; de plus le
moment fléchissant y est nul, donc-r-i = o» ^^ ^^^^ ?"^^ ^^^ ^^^^ ^'
Ke polynôme du quatrième degré, x (x* — 2 te* + /'j, et sa seconde
dérivée par rapport à j?, 1 2 a?* — 1 2 /x, s'annulent à la fois pour x = o
et X = l. Il suflit donc de faire en sorte que, quel que soit ^ on ait,
d*z pour a? = 0 et x = /,;; = 0 et -r^ = 0.
Pour x = o, tous les terme?^ de la valeur de z s'annulent, puisqu'ils contiennent en facteur sinma?; il en est de même de tous les
termes de la valeur de^.
d^z Faisons donc x = l dans les expressions générales de z et de -v-^;
il vient
2 (Cm sin m*aH + Cm cos m^aU) sin ml = 0,
et
2 m'(C« sin m^aH + Cm cos m^aH) sin ml = m,
équations qui doivent être identiques, quel que soit t. I! faut et il suffit pour cela que dans chaque terme, sin ml soit nul, ou que ml soit un multiple de la demi-circonférence. Soit donc ml = A^t, k étant un entier positif quelconque , au moins égal à l'unité; on aura, pour
déterminer m, la relation m=i -j-.
La solution se trouve donc préparée et s'exprime par l'équation
où k doit recevoir toutes les valeurs entières et positives de 1 à oo, et où Ci et ÇIu représentent des constantes arbitraires en nombre infini, qui restent à déterminer.
Pour y parvenir, il faut employer les équations relatives à l'état initial de la poutre. Supposons qu'on donne pour / = o les valeurs
dey et de-^ en chaque point, c'est-à-dire pour toute valeur dex
comprise entre o et J; soient Y{x) et f{x) les deux fonctions qui représentent ces valeurs : faisant /=o dans la formule (7) , il viendra
k=co
(9) /W=-2?-2, ^'Cjksm-y-.
Ces équations (8) et (9) permettent de déterminer les inconnues Ci et C'fc. Prenons pour exemple la dernière équation. La fonction /(x) est connue pour toute valeur de la variable comprise entre o et /; elle ne devient pas infinie dans cet intervalle, et elle s'annule aux deux limites. Dans de telles conditions, et sans même exiger que la
