DES ARBITRAIRES

fonclîoT) f (x) soit continue, on peut la développer en une série de sinus ou de cosinus d'arcs proportionnels à la variable* Posons en effet

(iO) /(x) = AiSiny + Aj|Sin — + A3Sin-2-+... + AmSin-j- + ...,

et proposons-nous de trouver le coefficient A« du terme général. Nous multiplierons pour cela la série (lo) par ^và—j—dx^ et nous intégrerons entre les limites o et /; il viendra

1!) V J[x) sm -j- dx = Aj \ sm -^ sin — j-^ + + A« \ sm* -j- dx + .,

Or toutes les intégrales défmies du second membre, sauf celle qui se trouve multipliée par A^, sont identiquement nulles. En effet, on a en général

81D -y- sm -j- = 5 I 008 ^ r-^— — COS ^ . J;

multipliant par dx et formant l'intégrale indéfinie, nous amons pour résultat

s 7 t:^^^' T^ 37 — ; — r sm i — . ' ,

expression qui, prise entre les limites o et /, se réduit à zéro, X(mU$ les fois que m est différent de n.

Lorsqu'au contraire m = n, l'intégrale définie obtenue par ce procédé prendrait la forme -, ce qui ne nous apprend rien; mais la qoar drature à effectuer devient alors

sm* -y dx^

et cette fonction a pour intégrale générale

si Ton y fait a? = 0, a? = /, et qu'on retranche, il vient pour résultat final - . Donc

tnicx . l

En définitive, réc[uation (i i) se réduit simplement à la relation

f{x) sm -j- dx = A,» X 5,

et par suite

{i2) A^ = ?£yix)8inïî^da:.

La fonction /"(x) étant donnée numériquement de a? = o à J5 = /, on pourra calculer par des quadratures, pour les valeurs entières successives de tw, les valeurs correspondantes des intégrales définies, et par suite les valeurs de A»,; la fonction f{x) se trouvera ainsi développée en série de sinus d'arcs proportionnels à la variable x.

Remplaçons f{x) par ce développement en série dans Téquation» (il). Nous devrons avoir identiquement

/(x).- AiSin-j- 4- A,sm-j- + A,sm -j- + + A«sm — p +

2 r • 'Oî f ' x/ X • T^ j . • 27ÇX r ' , . . 2rjc , , = j sm Y V /(x) sm y (fx + sm —r- \ /(x) sm -j-àx + .....

Jk=oo

. kizx

+ 8in -p \ /(x)sm-pdx+...J =:-^2rf A:«CkSm-^

= -75- C^sin -T-H- 4Cj| sm-y- + + 7n'C«sm— y-4- J

et par suite, les Constantes G^ G,,..., C,»,... s'expriment par les relations

DES 4RBiTRAIRES. TM)