HYPOTHÈSE DE M. RENAUDOT. 7G
0/ V trouve multiplié par un coefficient, i + ^r^ X - , qui doit peu dif-
férer de l'unité pour que les formules soient applicables; le terme
- Q/, qui correspond au poids additionnel isolé, se trouve multiplié
par un autre facteur, un peu différent du premier, mais voisin aussi
de Tunité. Si la poutre était encastrée sur ses appuis, on trouverait
de même qu'il faut multiplier dans chaque expression des moments
maxima, les termes relatifs à la charge propre et au poids additionnel
par des facteurs différents, légèrement supérieurs à l'unité, et de
0/ V la forme i + rn — X a, le nombre a variant, suivant les cas,
' LI «y
de g a - (i).
UYPOTHÈSE OE M. «ENAUOOT.
Annales des pdntset chaussées, 1861, 4* sem.» 1. 1, p. 145 et suiv.
â31. Soit AGB une poutre à section uniforme reposant en A et B
Pig 3^j, sur deux appuis de niveau.
y Soient
AB = / la portée ; /?, le poids par unité de longueur de la poutre, y compris sa charge permanente ; y, le poids par unité de longueur de la charge mobile.
Mous supposons que cette charge s'avance dans le sens AB avec une vitesse v constante; on comptera le temps à partir de l'instant où la tête de la charge mobile atteint l'extrémité A de la poutre. An bout du temps ^ la charge a atteint un point I, et occupe sur la poutre une longueur Al = vt. En môme temps la poutre a fléchi.
(I) Nous donnons ici tes coefllcients de correction que M. Bresse a introduits dans son cours : ce sont ceux qu'avaient proposés M. Phillips, avec quelques petites allêrations.
Elle dessine à l'instant t la figure ACB, et à Tinstant suivant t -{-dt une autre forme ACB, infiniment voisine.
Prenons pour axe des x Taxe neutre AB de la poutre dans son état naturel, et pour axe des y la verticale montante de la culée A. Désignons par A la réaction verticale de cet appui à Tinstant /.
Les forces qui agissent sur la poutre sont :
1* Le poids propre, réparti uniformément de A en B;
2"" Le poids de la surcharge, réparti uniformément de A en I ;
3** Les forces d'inertie de la poutre;
4"* Les forces d'inerties de la surcharge mobile ;
5** Les réactions des appuis.
Nous devons exprimer qu ih y a, en chaque point et à chaque instant, équilibre entre ces diverses forces et les forces élastiques développées par la flexion. Nous écrirons donc Téquation des moments fléchissants; ce qui exige que l'on considère successivement deux tronçons dans la poutre, l'un AI occupé par la surchai'ge; l'autre IB qui ne la contient pas encore.
Prenons un point H dans le premier tronçon. L'équation des moments fléchissants nous donnera en ce point
[X étant la somme de tous les moments des forces appliquées à la poutre du point A au point H.
Passons en revue les forces déjà énumérées, pour prendre les moments par rapport à H de celles qui sont appliquées à gauche de ce point.
1** Poids propre, x étant la distance AH, le poids propre de la poutre est égal, pour cette longueur, kpx^ et son moment par rapport au point H est — 7/>^'.
2*^ Poids de la surcharge. On trouvera de môme qx*.
3° Forces dUnertie de la poutre. Nous admettrons, comme au § 42 1 9 que les molécules de la poutre se meuvent suivant la]|verti-
cale. Appelons x' et tj les coordonnées d'un point .quelconque pris entre .A et H; le poids d'une longueur djd de poutre est pdx'\ la
Qiasse^ — , et la force d'inertie verticale a pour expression
pdx'. â}y
Tdi}'
Pour avoir son moment, il faut multiplier cette force par sa distance, X — x\ au point H, ce qui donne
(^e produit doit être pris avec le signe — , car les facteurs dx' et
dW X — x' étant positifs, le produit a le signe de-iY • ^r, à une accélération positive, c'est-à-dire dirigée de bas en haut, correspond une force d'inertie négative, qui agit dans le sens du poids propre, et qui tend à diminuer la courbm*e de la pièce au point H ; son moment est donc négatif. On aura pour la somme des moments des forces d'inertie de la poutre
'2ËÎ^'(x-x').
g dP
4** Forces cTinertie de la charge mobile. Le mouvement de la charge mobile est la résultante de deux mouvements distincts : l'un est le mouvement uniforme de cette charge sur la poutre rigide ; l'autre résulte de la déformation de la poutre. Pendant le temps dt^ le premier mouvement amène le point M de la charge en M' sur la courbe fixe ACB; le second mouvement transporte verticalement le point M' en un point M^, appartenant à la courbe délormée ACB. Dans le premier mouvement, la vitesse est uniforme, et égale à t; ; la force d'inertie se réduit à sa composante centrifuge, et si l'on désigne par qdxf le poids de l'élément concentré au point M, la force d'inertie correspondante est verticale, dirigée vers le bas, et égale à
qdx' u* 9 P
p étant le rayon de courbure de la courl)e ACB au point M. On devra donc prendre cette expressioni«avec le signe — .
L'autre mouvement s'opère suivant la verticale, et la force d'inertie correspondante a pour expression
g d(^' La somme de ces deux forces est donc
OU bien, en remplaçant -par sa valeur approximative -r^.
Multiplions par x — .r' et intégrons de o h x; noas aurons pour la somme des moments par rapport au point H
5° Réaction de t appui A. Le moment est positif et égal à kx. En résumé, on trouve pour l'équation des moments fléchissants applicable à toute la région occupée par la charge :
g Jo dt^
\ous ferons disparaître les varial)les x et y en différentiant deux fois par rapport à x. La réaction A est indépendante de x, car elle ne dépend que de la longueur Al parcourue par la surcharge, c'està-dire du temps /.
La variables* entre à la fois dans la limite supérieure des intégrales indiquées, et, comme paramètre constant, dans la fonction à intégrer. Dans ce cas, la diiïérentiation exige qu'on fasse usage de la formule
générale
du i^ (h(x\Xj . , ,, du dx J„ dx . \ » . jr'
H étant Tintégrale \ y [pi, u)dx.
Ici nous aurons prur la première intégrale.
donc
et, par suite,
Donc
(/a dhf'
-j- = i et ? 6, a-j -7- —0.
dx '^ ' dx
^=.\''Il£dx'.
dx Jo dt^
On aurait de même pour la seconde intégraiet
d Ç- d'y' , ,, , , C* dhf , ,
La première dérivation donne donc
rfx» ^ ^' 5^ Jo <i/* y Jo (/x'*
La seconde dérivation donne ensuite, les intégrales se réduisant chacune à leur dernier élément,
équation qui se ramène à la forme en posant
et
Cette éc^uation (i) s'applique à toutes les valeurs de x comprises entre zéro et vt^ c est-à-dire au tronçon AI.
L'équation du tronçon IB se déduira de celle du tronçon Al en comptant les abscisses x^ à partirde B dans le sens de BA, et en appliquant la même formule, sauf à y faire y = o, puisque la surcharge ne s'étend ])as de ce côté. On aura donc
A,= 0 et KÎ = 5Î2,
ce qui donne
(2) dTT + S'+l^.dTï-O-
Si l'on voulait ramener cette équation aux coordonnées y et x, il suffirait d'y remplacer x^ par / — x*
Pour intégrer les équations (i) et (u), on commence par les débairasser, au moyen de solutions particulières, du terme tout connu y. Puis on complète cette solution particulière en y ajoutant une variable, qu'on développe en série, en tenant compte des conditions de fixité des points A et B et de raccordement des deux tronçons. Nous renverrons au Mémoire de M. Renaudot pour le développement de la solution et des conséquences pratiques qu'on en déduit.
La tension maximum développée dans le métal par suite du mouvement de la charge est égale au produit de la tension statique produite par cette charge, multipliée par le facteur
1 TtV*
6 Ely *
En discutant les valeurs de ce facteur pour un grand nombre de ponts métalliques pour chemins de fer, M. Renaudot est arrivé à formuler les règles suivantes :
1° L'influence de la vitesse des trains sur l'augmentation des tensions statiques est en général insignifiante ;
2° Pour une valeur donnée, le rapport des [tensions statiques aux tensions dynamiques est d'autant plus près de l'unité que la portée est plus grande ;
2* Pour de grandes vitesses et de faibles portées, l'influence de la vitesse sur l'accroissement des tensions statiques n'est pas négligeable, mais elle est peu à redouter au point de vue de la stabilité.
M. Renaudot estime qu'un ouvrage est dans de bonnes conditions de résistance, si le facteur par lequel les tensions statiques sont multipliées n'excède pas K9 ce qui donne au plus
6 Kïg "" 3'
ou bien, pour^la limite à partir de laquelle la vitesse devient dangereuse,
