PROBLÈME DU TRAIN INDÉFINI

432. Soit AB une pouti*e de longueur 2<i, posée sur deux appuis de ^'K- 350. niveau, et pesant p unités de poids

par unité de longueur ; on la suppose parcourue uniforméaient par un train indéfini^ pesant y unités de

M m; poids par unité de longueur, et l'on

demande la position d'équilibre de la poutre sous l'action de cette surcharge, qui, pour être mobile, n'en est pas moins ici une surcharge permanente. La question est bien simplifiée par cette hypothèse, analogue à celle qu'on emploie en hydraulique pour rendre facilement accessibles les problèmes de l'écoulement des eaux. Le régime permanent est une sorte d'intermédiaire entre l'équilibre et le mouvement, et toutes les fois qu'il est constaté, on peut introduire

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dans les équations des simplifications notables. Le temps n'y intervient plus.

Soit AC'B la poutre dans Tétat de déformation oii Ton suppose réqoîlibre réalisé. Prenons pour origine le point C« milieu de la portée ; ex est Taxe des x ; nous prendrons pour l'axe des y une verticale GY élevée au point G.

Considérons dans Tétat naturel un élément MM', lequel occope après la déformation la position M, M\. Cet élément est en équilibre sous l'action des forces moléculaires développées dans les sections M^ , M\ , du poids de l'élément, du poids de la surcharge, et enfm de la force centrifuge développée par le déplacement de l'élément de surcharge avec une vitesse Y, le long de la courbe M.MV

Appelons |jl le moment des forces élastiques en M^ (ou en M), et A reflbrt tranchant ; p le rayon de conii>ure de fat courbe ACB ao point M,; la normale à la courbe est sensiblement verticale ; la ferre centrifuge, rapportée à l'unité de masse, est donc une force verticale,

tendant vers le bas, et égale à — .

P Nous aurons pour équations d'équilibre :

Équation des composantes verticales.

A-pdx-çdx-i:x2^-(A-,-§dx)=0,

Équation des moments .

«ta *•

La première équatÎMi donne

dK ( ^ j^V'îX

PARCOURUE PAR UN TRAIN INDÉFINI. rn

Ifads on a trè»aereBbkimeiit

donc

équation qu'on peut intégrer, et qui donne

Si Ton fait j?=o, c'est-à-dire si l'on prend l'effort tranchant au point G', on aura ^ == o ; on doit d'ailleurs avoir  = o ; donc la constante A» est nulle.

Nous avons par conséquent

et par suite

dix = - (p + g)a:(îx - ^ ^ dx, ou bien

Le moment d'élasticité est nul au point B, pour â?=GB = a; on a aussi en ce point y=o : donc

et enfin il vient

(i) [- = |(P + ^)(a'-^')-^y = Elg

pour équation différentielle de la courbe chei*ct)ée.