SUR UNE SECTION RECTANGULAIRE
On a en effet
pour î/ = 0, R = jj»
pour X pour X
Hf
G'i Pi !c •1 \ ! ■'^P
-JK
Bi — -: — -
5"* Nous allons supposer que le point d'application de la force P F>g- *«• est un point quelconque, V, de la médiane
XX'. Le point V est défini par son abscisse OV = p. Ce cas se ramène au précédent, en appliquant le principe de la superposition des effets.
Soient G, G' les deux points qui divisent XX' Îtô'v^ ti T ^^ ^^^^* parties égales. Nous pouvons décomposer la force P en deux forces parallèles P^, F,, appliquées aux points G et G'.
Si la force P^ agissait seule, nous aurions en un point quelconque défini par son abscisse x^ la pression
Si la force P', agissait seule, nous aurions de même en ce point la pression
«■. = ï(-5-0=-^(=-)- On change le signe de a, parce que le point d'application de la force
a pour abscisse — -= au lieu de + t- Pour î^voîr la pression R qui correspond à la force P, il suffit d'ajouter R, et R', , ce qui donnera
Maison peut remplacer P^ et P\ par leurs valeurs en fonction de P; on a, en effet, en prenant les moments par rapport au point G\ ,
et en les prenant par rapport au point G',,
Donc
^><f=pxg.).
P -p'i—L-pl±l!L-^(i + ^\
substituant, il vient Téquation finale :
On remarquera que si /) =o, B est paitout égal à —, et que si » = =, R devient égal à
Ce sont les formules trouvées pour le premier et pour le second cas particulier.
Le cas que nous venons de traiter est représenté sur la figure par le trapèze EFKII, et la méthode (lue nous avons suivie revient à décomposer ce trapèze en deux triangles par une diagonale EK; chacun de ces triangles correspond à une des composantes de la force P.
4* Nous pouvons enfin passer au cas général, celui où la force P ^'8* *^- est appliquée en un point quelconque V de
B . Ti' 1 la base, défini par l'abscisse OZ = X, et
'' ,J l'ordonnée ZV=Yj.
- V o z v" \ ~ Par ce point menons une droite VV" telle,
! que le point V soit le milieu de la partie
' I " comprise entre les deux axes OX, OY. Le
SUR UNE SECTIOiN RECTANGULAIRE. ot>
point V aura pour abscisse 0V' = OZ x 2 = aX, ; le point V" aura pour ordonnée OY" = VZ x 2 = aYj.
Nous pouvons décomposer la force P en deux forces parallèles,
appliquées en V et V", et égales chacune à -. Considérons-les indivi-
dueliement.
La pression en tout point défini par son abscisse x sera donnée,
relativement à la force - appliquée au point V, par l'équation
»' = iEA4.:
La pression en tout point défini par son ordonnée y sera donnée,
p relativement à la force - appliquée en V", par l'équation
Donc la pression totale R qui correspond à la force P sera donnée pour le point {x, y) par la somme R' + R", ou par l'équation
formule générale que nous aurions trouvée directement en nous servant des équations (5), (6) et (7), ou des équations plus simples (8), (9) et (10), après avoir fait Ip9.|i|iégrations indiquées. Notre méthode de superposition des effets ii^l^> permis d'éviter ces opérations. Comparant cette équaâàiii^f équation (1 1), on en déduit
Ce sont les rayons de giration du rectangle dont les dimensions sont «a et 2A par rapport aux droites 0¥, OX, menées par son centre de gravité parallèlement aux côtés.
Fig. 20.
iO. Répartition des pressions sur une base circulaire ou elliptique.
Soit ABA'B' une section elliptique, définie par ses axes AA' = sa et BB' = 26.
Nous supposons que la résultante P passe en un point G de Taxe AA', à une distance OC du centre égale à p.
A cause de la symétrie, le plan représentatif des pressions R sera normal au plan vertical conduit par A A', et se projettera sur le plan vertical suivant sa trace EE'.
Considérons un élément de surface infiniment petit, compris entre deux droites FG, HK, infiniment voisines, et appelons x l'abscisse 01 de la première de ces droites; l'abscisse de la seconde sera a? + dx, et la surface de Télément aura pour mesure
y étant l'ordonnée positive, 16, qui correspond dans l'ellipse à l'abscisse X.
L'équation du plan profilé en E'E sera
û représentant l'aire de Fellipse, ou nab, eto^ le rayon de giratioift par rapport à l'axe OB.
Pour déterminer p^ , cherchons te moment d'inertie l de l'ellipse par rapport à l'axe OB; il sera donné par l'intégrale
1 = 2 V ydx X x\
Considérons le cercle décrit sur AA' comme diamètre ; les ordonnées de ce cercle sont aux ordonnées correspondantes de l'ellipse
SUR UNE BASE ELLIPTIQUE. 6i
dans le rapport de a à £, et par suite, le moment d'inertie V du cercle par rapport à l'axe OB est au moment I dans le même rapport ; on a donc
La question est ramenée à déterminer le mopient d'inertie 1 duceccle par rapport à l'un quelconque de ses diamètres; or on a à la fois, en appelant dco un élément de surface et en étendant les intégrations au cercle entier t
De plus
Pour faire cette dernière intégration, partageons le cercle en éléments infiniment petits, compris entre des droites menées par le centre et des circonférences concentriques au cercle donné ; 0 et r désignant les coordonnées polaires, on aura a:'+y'=r* et rfa)=rrfrrf8. Les limites de l'angle 0 seront o et 27c ; celles du rayon r seront o et a. Nous aurons donc
Donc
et enfin
, Ka*b ^ cfl I = — =Ûx 4-,
ou bien
L'équation qui donne la répartition des pressions locales est nunenée à la forme très-simple
r.2 HKPARTITION DES PRESSIONS
Si la force P, au lieu de passer par ua point de Taxe AA', passait en un point quelconque (X^ Y,) de la section, nous pourrions généraliser notre formule en suivant la même marche que pour le rectangle : il faudrait décomposer la force P appliquée au point (X, YJ
en deux forces — appliquées, Tune au point (aX,) de Taxe dea ar, et
l'autre au point (2YJ de Taxe des y, puis calculer, au moyen de la formule précédente, les valeurs de R correspondantes à chaque composante, et ajouter. On parvient ainsi à la formule générale :
Autre méthode. — Le moment d'inertie polaire \\{x* + l/^)d^dy
du cercle par rapport à son centre est le double du moment d'inertie du cercle par rapport à un diamètre quelconque; 1' étant le premier de ces moments d'inerlie et T^c le moment cherché, on aura
Soit a le rayon du cercle. V sera homogène à a\ puisque le produit x^dxdy a quatre dimensions, et l'on pourra poser
r = Aa*,
/ étant un coefficient constant qui reste à déterminer. DilTérentions ; nous aurons
dV = kka^da, .
Or, d\ est le moment d'inertie polaire de la couronne qui s'ajoute au cercle de rayon a quand on augmente le rayon de da\ on a donc
dV = ÎJcada x a* = 'irMHa,
