C0I1PAR4I50N DES SECTIONS SYHËTRIQUES. S

p X iab __ tip " ~ , ba*~ a'*

L'équalion Tinale de la répartition devient

A2. En général, les solides qui entrent dans les jMDBtructions ont un plan de symétrie, et les forces qui leur sont appncpiées sont distribuées symétriquement par rappaii, k ce plan^ U en résulte que ies déformations s'opèrent parallèlemeni à ce plan de syméuie. S'il en est ainsi, le point de passage C de la résultante toiaLe sur l'axe de symétrie des sections. Dans cette liypothèse, les ^uations particulières auxquelles nous sommes parvenus pour les sections géométriques qui viennent d'être examinées, sont toutes de la (orme

K étant un c<KtStâ<iil\qny i^lfiffod de la figure de la section. On a

. ^pour le rectangle K = S |

!^^|>our le cercle ou l'ellipse K = A I sections pleines, •^^jpur le losange K = 6 )

La répartition des pressions est donc plus égale j)our„le rectangle que pour le cercle, et plus égale '[jefi'ir le cercle que pour le losange.

43. Le cas des sections évidées se traite par les mêmes procédés de calcul ; mais les sommes, au lieu de s'étendre à toute la superficie du contour extérieur, doivent ««eulentent s'étendre h la couronne comprise entre le contour extérieur et le contour intérieur. Nous prendrons pour exemple la cou-

Fig. Î3.

66 SECTIONS ËYIDËES.

ronne comprise entre deux cercles concentriques dont les rayons

sont a et d.

La force P étant appliquée en un point C du rayon OX, le plan représentatif de la pression R se projettera sur le plan vertical parallèle à OX suivant sa trace GH, et R sera donné encore par l'équation

dans laquelle û désigne la surface annulaire comprise entre les deux cercles.

Prenons les momoBte par rapport à l'axe 08, il viendra

— \xyàx + -j^ \x^y(ix = Vp ;

y désigne ici l'ordonnée positive de la circonférence extérieure entre les points A et D, A' et D', et la différence des ordonnées des deux circonférences entre les points D et D'. Les limites sont — a et + a.

La première intégrale est nulle à cause de la double symétrie de la figure par rapport aux axes OX et OY. Pour la seconde , qu'il faut calculer, il est plus simple de changer de variable.

Cette intégrale est la somme des produits des élôipeais de surface

Fig. 24.

de la couronne par le carré de leur distance à Taxe OY. Au lieu de prendre les coordonnées rectangles, nous prendrons, comme tout à l'heure, les coordonnées polaires r et •, et nous considérerons les éléments infiniment petits compris entre les cercles de rayons r et r + rfr, et les directions définies par les angles 8 et 0 4- rf9 ; il faudra d'abord multiplier la surface rdrd^ de chaque élément par le carré r* cos' 0 de la distance de cet élément à l'axe OY; puis intégrer le produit par rapport à r entre les limites

SECTIONS ËViDËES. 67

à et a ; enfin, intégrer le résultat par rapport à 0 entre les limites o et TT. On aura ainsi le résultat cherché. On a donc à trouver l'intégrale double

\ \ r*cos*OdrdO.

00 Oa'

La première intégration donne