D'INERTIE

Le carré de cette distance est

y*co8*co 4- x*sin*o) — 2xy coswsino).

Si Ton multiplie par dxdy et qu'on intègre dans l'intérieur de toute la section, on aura I, c'est-à-dire

1 = cos*w Viy^dxdy 4- sin'wUx'dxdy — 2coso)sinfo\\jydx(/y,

OU bien

I = ljcCOs'tt)+ |^sin*to — 2sinco costo\\xy(fjd//.

On peut donc exprimer le moment d'inertie de la section autour d'une droite quelconque OL menée par le point 0, en fonction des moments d'inertie par rapport à deux axes rectangulaires, de

l'intégrale yu:ydxdy^ que nous représenterons pour abréger par M,

enfin de* l'angle co que fait la droite OL avec Tun des axes.

Nous pouvons construire une courbe qui nous aidera à nous représenter les moments d'inerlie autour de différents axes conduits par le point 0. Prenons sur chaque droite OL une quantité telle, que le produit de cette quantité par le rayon de giration autour de OL soit égal à une quantité constante X% prise arbitrairement. Pour introduire les rayons de giration dans notre équation, appelons p 4e rayon de giration qui correspond à la ligne OL ; nous aurons

Nous poserons de même

M = Qc*,

c représentant, non plus un rayon de giration, mais une longueur analogue, longueur connue, puisque la somme M est entièrement déterminée par le choix des axes. Introduisons ces nouvelles exprès* sions dans l'équation qui donne 1; il viendra, en supprimant Q qui est facteur commun ,

p* = p*jfCOS*w 4- p%sin'o> — 2c*sina) cosfo.

Prenons ensuite des longueurs ;•, /•,, r,, c\ liées aux précédentes par les équations

c* est-à-dire opérons la transformation connue en géométrie sous le nom de transformation par rayons vecteurs réciproques. Le lieu des points (r, co) ainsi obtenus permettra de trouver les valeurs des . rayons de giration pour une direction OL quelconque/ Remplaçons p, p,, c^ et c par leurs valeurs

et nous aurons l'équation en coordonnées polaires, r et (o, du lieu cherché :