XV \\ X* X
-i = -r- cos*a) 4- -r- sin*ci) — 2cos<')sinw-7y.
Le facteur X* peut être supprimé; si Ton multiplie ensuite par r% et qu'on l'em place rcoso) pai* x et rsino) par y, on aura en définitive pour l'équation du lieu en coordonnées rectangles
équation d'uncr t^onrbe du seâ^nd, ordre, qui est nécessairement fermée, puisqm M nyoQ» r ne peuvent être infinis (i). C'est donc une ellipse. Si, jfxmun^- ra Ta supposé, l'origine 0 est le oeâtre de gravité de la sectkû, on appellera cette ellipse VelUpse centrale d'inertie de la seetion. Les dimetisions en sont encore indéterminées, car elles dépendent de la quantité X qui est arbitraire.
(1) Sauf dans le cas où la section se réduirait à une droite sans épaisseur^ cas inadmissible dans les applications.
On peut simplifier l'équation en prenant pour axes des x et des y les axes principaux âe l'ellipse ; elle devient alors de la forme
Dans cette équation, a est iiivei'seinent proportionnel au rayon de giration de la section aulour du nouvel axe OX, et />, inversement proportionnel au rayon de giralîon autour du nouvel axe 0¥. Les
'fuaulilés — , -^ sont les rayons de tjiration principaux de la surface. Avec cette orîeniation particulière des axes, la somme M = \\rydx(li/
est égale à zéro : nous avions déjà reconnu (§ 54. "O'e) qu'il était toujours possible, en faisant un choix convenable d'axes, de satisfiilre à cette condition.
Ces résultats sont tout à fait analogues à ceux que l'on obtient
dans la dynamique des solides invariables pour l'ellipsoïde d'inerte.
48, Remarque sur fa axes de symétrie. — Si l'aire donnée a
F}j. 31. un !ixe de symétrie XX', cet axe passe par
» .. son centre de gravité 0, et de plus il est l'un
\ des îixes principaux de l'ellipse centrale. En
o eflét, l'intégrale y.'^ydxdy, prise relative-
^ ineiit ù cet axe considéré comme aie des x,
,^. / ''l^ est nulle ii cause de la r-yriiétriû, piiigtju'i'i
tf tu^di^febt 'mpWpciel drdij situé d'un cOlé de l'axu, cuii'es|iniii]
""^Jmc'iit Vj;:d (/*//«/. .lyanl mêpne JT, niais ayaoff ■ 'yl 1,11 -soniiiir des i'Ii'mi'juIs êyhjèlrique» xydxUy ;jprîs'deux à deux étant mille, il en psi de mO^uie de l'HiK^^M-aliî lotalu. Si la surface donnée a deux axes de symétrie, faisant entre eux un angle différant d'un angle droit (auquel cfis faisurface a nécessairement encore d'autres axes dti symétrie, qu'il est facile de déduire dés deux premiers), leliipsf d'inerlie aura deux axes principuux non rectangulaires, cr qui indiqui- qu'elle >r nhliiit à un cerclt: II résulte de là, conuiif corollaire, (|iie \'e//i/>se (Finertie d'un
polygone régulier quelconque est une circonférence^ et que le moment d'inertie de la surface est le même autour de toute droite menée dans son plan par son centre de gravité. On voit aussi que le moment d'inertie polaire du polygone, par rapport à un axe mené par son centre de gravité perpendiculairement à son plan, est double du moment d'inertie par rapport à toute droite menée par le centre de gravité dans le plan de la figure.
Jusqu'ici, nous avons défini l'ellipse d'inertie de forme, et non de grandeur. 11 est utile de faire une convention relativement à la quantité arbitraire X; nous ferons X' = p,p^, c'est-à-dire X* égal au produit des rayons de giration de la section donnée autour de ses axes principaux d'inertie ; on a alors
Px
Fig. 3i.
Le rayon de giration p de la section autour d'une droite ON sera donné par l'ex-
pression on =7^^ = ô\F* ^^^^^ *^*°' ^^~
' - ,r h-x "^ ON - OiN - ON
lipse le rectangle des axes est équivalent au parallélogramme construit sur un système de diamètres conjugués ; menant donc OM, diamètre conjugué à ON, nous aurons
. ON xOMx sinNOM =; OAx OB = a6.
yDjOBC
^ = p = OMsinNOM = MP,
distance du point M à la droite ON. Le choix de cette ellipse particulière d'inertie permet donc de poser la règle suivante : Le rayon de giration de la section autour dune droite quelconque passant par le point 0 est égal à la distance de cette droite à I extrémité du diamètre conjugué à sa direction.
MOMENTS DINERTIE.
49. Théorème. Le moment d'inertie I autour d'une droite AB,qui
ne passe pas par le centre de gravité de la
section^ s'obtient en ajoutant au moment
d'inertie autour d'une droite CD, menée
par le centre de gravité parallèlement à
AB, le produit de l'aire û de la section par
le carré de la distance OE des deux droites.
Ce théorème, analogue à celui qu'on établit en dynamique pour
la relation entre les moments d'inertie d'un solide pris autour d'axes
parallèles, se démontre exactement de même pour les surfaces. Le
moment d'inertie d'un élément F par rapport à AB est
rr ;
dxdy X FL* = dxdi/ (FR* + 2FK x RI. + RL*).
Pour avoir le moment d'inertie par rapport à AB, on fera donc les trois sommes des produits dxdyxYïJ^ 2dxdi/x¥iLxKL^ dxdyxîJ?. La première somme, étendue à tous les éléments de la section, est le moment d'inertie de cette section par rapport à CD ; la troisième, dans laquelle le facteur KL^ = OE^ est le même pour tous les éléments, donne le produit par OE^ de la surface totale Û de la section. Enfin la seconde somme est nulle; car, en faisant sortir de la somme le facteur commun 2 KL, on doit étendre à toute la sariace la somuie des moments élémentaires, dxdi/ x FK, par rapport à la droite CD ; la quantité FK doit être prise positivement pour les points situés au-dessus de CD, et négativement pour les points âtués au-dessous. Le résultat de la sommation est le pnoduit de la surface entière par la distance à CD du centre de gravité 0 de la sarface.x'jip^t-à-dixe par zéro, et le théorème est démontré.
50. Recherche du moment d'inertie du triangk équilatéral ABC par rapport à une droite passant par son centre de gravité 0. La figure ABC étant un polygone régulier, le moment d'inertie cherché est le même, quelle que soit la droite par rapport à laquelle on le prenne. 11 suffit donc de con-
