GRAPHIQUES
et l'iotégrale de - xy^dx le long de MGN. Menons à distance ai-
bitraire OY = a une parallèle YX' à l'axe OX. Prolongeons PD jusqu'à la rencontre en E avec YX', joignons OE, puis menons DF parallèle; joignons EF, et menons DG parallèle ; enfin prenons PD' = PG sur l'ordonnée PD. Cette construction, appliquée à tous les points du contour MDN, conduira à tracer le contour mD'n ; je dis que les aires
de ce nouveau contour sont proportionnelles à l'intégrale \ y^xdx prise
le long du premier.
En effet, les parallèles OE et FD, EF et DG, donnent
PG py PF PD PF ~" PE' PO "" PE'
ou, eo faisant PG = y' et en multipliant membre à membre,
Donc
et par suite
Construisons de même un contour mG'n, déduit de la ligne inférieure MCN; il suffira pour trouver \\xydxdy d'évaluer l'aire comprise à l'intérieur du contour fermé mD'nC'm, et de la multiplier par - a*.
Si l'axe OY traverse la figure, il faudra se rappeler que chaque élément - xy^dx a le signe de x ; l'ordonnée auxiliaire y' doit donc avoir aussi le signe de l'abscisse (i).
(1) V. jissociation française pour ravaneement des sciences, coRgrès de Lille, 187 1, p. 1193.
90 PLANIMËTRE
PLANIMÈTRE d'aMSLER (l).
55. Le planimëtre de M. Amsler, ingénieur à Schaffouse, a poar
objet l'évaluation des aires planes.
^^*' ^^* L'appareil repose sur le principe sui-
' S: V , vaut :
\ /*• r^ i; ^ Soit AB le contour fermé, tracé dans
\/^' un plan, dont on se propose d'évaluer
\ la surface.
,y è^ ^ Imaginons qu'une droite CD de lon-
gueur constante se meuve en conservant ses deux extrémités C et D, Tune sur une courbe fixe LL', l'autre sur le contour AB.
Considérons deux positions CE, CD' infiniment voisines de la droite mobile ; évaluons l'aire GG DD' engendrée par le mouvement de la droite quand elle passe de la première position à la seconde. Elle Se compose de deux parties : l'une CC'ED est un parallélogramme engendré par la translation de la droite CD, qui l'amène à passer au point G. L'autre est im triangle GED\ engendré par la rotation de CE autour du point C\ rotation qui ramène l'oixtrémitéE de la droite au point D' qu'elle doit définitivement occuperi Soit CD = L; appelons dh la distance des parallèles CE, CD, ^ jlai rabgle EC'D'. L'aire flftmen taire d(o = GDD'C aura pour mesure
Supposons qu'on fixe sur CD, dans un plan perpendiculaire à cette droite, une roulette F, qui, dans le déplacement de la droite, roule sur le plan de la figure quand le point F se meut perpendiculairement à CD, et qui glisse au contraire sans tourner lorsque le point F se déplace dans la direction de CD. Un compteur porté
(1) Voir aussi dans les Annales des ponts et chaussées, année 1872, t. III, p. 223, la description des appareils de M. Marcel Deprez^ donnant à volonté Taire, le moment et le moment d'inertie des surfaces planes.
DÂMSLER. 91
par riûstniment permet d'évaluer les arcs décrits par la roulette. Soit dQ l'angle dont elle tourne autour de son axe en passant de la position F à la position F ; si R est son rayon, R(/B est la longueur de Tare qu'elle applique sur le plan du papier. Or cette longueur est égale à dA, dans le passage de la position F à la position G sur la droite CE ; la composante du glissement parallèle à la droite CD ne contribue pas, en effet, à faire tourner là roulette, et la rotation correspond exclusivement au déplacement normal, qui est é^ à dh. Dans le second mouvement, qui amène le point G au point F, la roulette applique sur le papier un arc égal à Xda, 1 étant la distance CF = CF. Donc
(«j Rd0 = dA-fXda.
Eotre les relations (1) et (2), éliminons dh; il viendra
(3) dto — RLcZO = (l L« — \l\ da.
L'intégrale nous donne par conséquent
(4) co = RLO + ^fiL«-XL^
dot.
Or, si Ton fait parcourir au point D tout le contour de la figure At les éléments dco étant pris positivement quand ils augmentent Tdire déjà balayée par la droite mobile, et négativement quand ils
la diminuent, la somme algébrique xdco sera la différence entre les
sommes positives et les sommes négatives, c'est-à-dire l'aire cherchée.
Quant à \da,c'estrangletotaldécrîtparla droite CD;c'estdonczéro si
la droite CD est revenue à sa position primitive, sans avoir fait le tour entier du point C. Ceci suppose le point G extérieur à Taire qu'on veut évaluer. Si, 9d contraire, le point G se mouvait intérieurement à Taire AB, la droite CD ferait un tour entier pour revenir à sa position primitive , et alors Vda serait égal à 2?:. On aura donc, suivant les cas,
(5) w = RLO,
OU
(6) 10 = RLO + ^i-L» — >.L^ X 27C,
PLÂNIMÈTRE D AMSLËR.
formules .qui donnent la somme algébrique de? aires comprises entre la courbe directrice LU et le contour donné.
M. Amsler prend, en général, pour courbe directrice un cercle décrit d'un point fixe comme centre , ce qui revient à attacher le point C à une tige rigide pivotant autour du point 0. Dans ce cas, si le point 0 est intérieur au contour {/ig. 4o) » il faut avoir soin d'ajouter à l'aire o, donnée par l'équation (6) , l'aire du cercle décrit par la branche OC de l'appareil •
FIg. 39.
Fig. 40.
