FH X AE "~ 3 X FC X AE
SUR UNE ASSISE iUB)pIANGULAlRE. ioa
irij^ marimnin de la pression, ou la pression sur l'arête AE, est
^dtfoUe dèiBL pression moyenne, ou égaleà-x^r^ — r^.
est donc complète. On a pu la trouver sans difficulté, l^ïùroite IL, qui limite la zone à retrancher de la section, laisse àhi dèetion sa forme de rectangle, de sorte qu'on connaît d'avance la formule à employer.
On. peut remarquer que la dimension AE |du rectangle n'influe paà sur là. détermination de la droite limite IL. Les résultats obtenus jiaRe rectangle peuvent donc s'appliquer sans modification à un*; mur droit indéfini dans le sens AE, dans la longueur duquel les forces seraient uniformément distribuées. Pour faire la recherche des pressions locales, il suffirait de couper le mur par deux plans perpendiculaires à sa direction , et écartés l'un de l'autre d'une quantité arbitraire, par exemple, de l'unité de Iongueur. Les forces P doivent être alors rapportées à cette même unité de longueur, et les formules du rectangle sont applicables en y fai- .sant AE=i.
66. Pboblèiie. Trouver la valeur à assigner à la force P, appli-^ quée en un point G pris sur la médiane 6F du rectangle ABDE, pour que l'arête la plus chargée supporte une pression donnée, de R unités de poids par unité de surface.
Nous avons traité dans le § Ai un problème analogue pour les
sections où les eflbrts développés peuvent être positifs ou négatifs ; la solution est donnée dans ce cas par l'arc MNL d'une hyperbole, asymptote à l'axeO'X ainsi qu'à la droite T'H, menée perpendiculairement à la section par le point V au tiers de la médiane. Les ordonnées de cette hyperbole donnent, pour chaque point G situé à droite du point 0, la valeur convenable G'G" de la pression P qui produit sur l'arête AE la charge R par unité de surface. Au point 0 la force P
ISSiONS TOTAUBS >..2r^
point I', tiers de ta médiane F6, eHe est égale à r"Q= - MCf. U
courbe MCL', symétrique par rapport à MC, ^niio les raèraea indications relativemeat aux positioQB ^-poiat C à gauche du centre 0. Cela posé, tant que le point G reste compris entre les points 1 et 1', c'est-à-dire dans le tiers centrât de la médiane , la surface enT du rectangle est comprimée, et tes arcs d'hyperbole MQ eta résolvent encore la question, comme si la section' pouvait développer des eflbrts négatifs. La solution ne doit être modifia que pour les régions IF, l'G en detiors du tiers central. Prenons donc un point G entre I et F. La presùon produite par^U force P Impliquée en ce poiqt s'étend à une suriace ayant pour largeur AË, et pour longueur te triple de CF ; ta pression moyenne est alors
la pression maximum, laquelle s'exerce sur l'arëie AE, est double de ta pression moyenne, c'est-à-dire est égale à
3AExCF' L'équaUOQ du problème est donc, pour cette région,
JAExCF"""'
OU bien
CF-l"
I R X AIÎ,
quantité constante.
Kép/Mi^im Aïs pitESsioKs dans le cercle. m
";CeneéqBittioB'l«préaeD{e «ne droite qui, projetée sur le plan ver- ;^fiGB}, pane par. les points A' et Q. Il faudra donc substituer là ^ ^Ibite QA' à l'are indéfiui QNL d'hyperbole. La droite QA.' prolongée jos^n'à la seconde asymptote l'H de l'hyperbole ^IQL, est coupée aBppfntQ'en deux parties égales: olle esl donc laugente à l'hypeibole en ce point. La modification à apporter au tracé de la courbe (loM ies ordonnées représentent les valeurs successives de la force r "^ 'S^^an résumé, b. prolonger les arcs MQ, MQ' par des droites QA', s à ces arcsaux pftints OeiQ" (i).
atFAHTmo:! des pamn^s daks le cercle quand on n'adhJEt pas
-IMi PBESSIO^S ?JÉCATITES.
*!«■ '*'■ 67. Soit OA = 1 1r rayon du cercle donné;
^^-^l" OG^p, la distance du centre au point d'ap-
— ''~-ç, ',"— plîcatîon de la force 1*, distance supérieure k
-;—-!— j'p— ^TT-i central.
\ , / Supposons que la portion pressée de la sec-
rî--- ^ tion se termine à la droite FF, perpendiculaire
à la droite OC à cause de la symétrie. Soit OE = a.
Prenons pour axes la droite OC prolongée et la perpendiculaire OY. L'équation de la ré|)artition seia
R = A (x + a\ à droite de FP',
et
R = 0, â gauche.
Les quantités A et a sunt inconnues. Pour les déteruuner, on a les deux équations des forces et des moments, savoir,
\iRijdx = P et fsRyxdï = \*p;
i06 RÉPARTITION DES PRESSIONS
ces intégrales doivent être prises entre les limites x = — a et ar = + 1.
Substituant, il vient
2A r \ o^ydx H- a ^ ydx\ = P, 2A ( \ x^ydx + a \ xydx\ = Pp.
Pour faire les intégrations, il convient de changer de variabld;^^?r% Faisons jr = cos8; il en résulte yi=sm8, rir== — sinWB;'Xîlt'^' droite-limite FF' sera définie par une valeur 8' de l'angle 8, et l'on aura a = — cosO'. Les équations précédentes ^deviennent donc, en observant que la limite inférieure correspond à Q = 0' et la supérieure à 0 = 0,
2An^,(— cosOsin'OdO) — cosO'^ (— sin'OdO)] = P, 2A V (— cos'O sin«OdO) — ces 0' V (—ces 0 sin*OdO) = Vp ;
OU bien, en changeant l'ordre des limites et le signe des intégrales,
2A ^f\in»OcosOdO— cosO'f®'sin»Odo'\ = P,
iA n sin*Ocos'OdO— cosO'V sin*ecosOdOj = Pp.
Les quadratures indiquées se font aisément, et donnent
r^' • sn^n f^V^— COS20\ ,. 0' sin20'
\ sin»OcosOrfO = — - — ,
\®'sin*Ocos«OdO=C® jsln«20(iO= iV°'sin«20d(20) = i ^0'— ^^Y
Substituons dans les deux équations, puis divisons l'une par l'autre; A s'élimine, et il vient pour déterminer ^ Téquation
DÀiNS LE CERCLE.
6' siniO' ^,sîn»e'
sin»8'
rr = P-
« C'est une équation transcendante qu'on ne peut résoudre que par tâtonnemento
On sait d'avance que /> = j donne 0' = ic, tout le cercle subissant
alors une pression. On voit aussi que p = i donne ¥ = o, la région utile se réduisant à zéro quand la force P passe en un point du périmètre du cercle.
Pour rendre les calculs plus simples, on pourra remplacer sin* 6'
par ysinSO — ysinO. On obtient facilement le tracé de la courbe
suivante, dont les ordonnées p correspondent aux abscisses V :
ABçle 6* ^n «3egrés (^
Taïcnr corre!«pondinte de a en cenli«me£ du rayon — 100
Fig. 52.
ÏO*
fji
Vî:
