ÉQUATION DE L' HYDROSTATIQUE

6. La pressâon p par unité de surface en un point quelconque est

FIg. *.

une fonction continue des coordonnées de ce point. Si l'on détermine cette fonction, on aura résolu le problème général de l'hydrostatique.

Menons trois axes reclanguluires OX,

oj : OY, OZ, et conddérons au sein de la

masse fluide un parallélépipède rectangle infiniment petit, dont les arêtes soient respectivement paraUèles à ces troix axes ; soient «, y, sr, les coor-

11> *ftlIATK)W

âaoîtécs du poiitt  ; teâ dimeDsioBS du parallélépîpëde seront représentées pair ks différenitienes dîr, (fy , cb.

1^9 alloas exprimer que ce volume fluitfe est en équilibre sous Faction de Isa force extérieure qui y est appliquée et des pressions normalies à ses six faces développées par les portions de fluide voisîiies (♦)'•

Soit p k pressiez au point  ; en* peut admettre, en nég&geant les variadofiis iafiniroent petites de cette pression dans l'étendue de la face ADEF, qu^eHe s'exerce normalement sur toute retendue de cette face ADfiF, et, par suite, le parallélépipëde suMt une poussée parallèle à OX et égale à pdyiz, £^ur la face opposée BGHG, la pression< p est augmentée de sa différentielle relative à x^ et est^

devenue /p + ^darj par unité de. surface; le parallélépipède subit.

donc une poussée égal'e à [P'^^^^} ^J/^^' parallèle à OX, maïs

dirigée dams le sens négatif XO*. Les autres. presaiiCMEis sopé normales à Taxe OX et. ne: donnent par conséquent rien enr projection sur cet a^xe. 11 faut tenir compte enfin de la force extliérieuce appliquée à l'élément fluide. Soient X, Y, Z, les composantes^ suivant les trois axes de cette force rapportée à Cunité de maxse (*♦) ; la force extérieure projetée par l'axe OX sera égale à X multipliée par la masse du parallélépipède fluide ; si l'on appelle g sa densité, dœ dy dz étant son volume, la masse sera p dx dy dz, et la force projetée sur Taxe OX

ç\dxdi/dz. . . ■

L'équflfKkm des^fofîeeiprojeldea'sur Paie OX est donc

•*'^~mmmmmmmm^i,,»,m^mrm^^^^^—^mma—^mmmam^ÊÊ0^^Ê^^,^m^^mJ^'~^»m»m^^

V)Vu\tT,Mém.'déBèrlm,î1b5? ^ ^

(*^):iiJBs«|tfr8iBiii»n«Ji;dl«lVB0B'iia»iiifbl«i exdrate» Bar la masse Uquide élémentaire par les masses. llj]iil<las voisines', ou par les parois du vase dans lequel le liquide est renfetiné/âoiteht ent^r dans leé expnesâons dès ooiùposantes X, Y, Z, si Ton ?eat tenir «omitBdftlaeBpUUittéLlloiifteaiMMiii.àlMtt^ .

B£ L*HYDROStÀTIQUE. il

Këdinsant et supprimant le facteur eomnmn ix dy dr, ir vient

On trouverait de même, en projetant les forces sur les axes OY ei OZ, les deux équations

Ces trois équations peuvent se fondre eu une seule. Pour cela, multiplions la première par (tr, Is^ secondé par dy, la troisième par

d2^ et ajoutoSB*. La< aommer-p dar 4- -pdif + -^ est h. difS^en^

lîeHe totale de la fonction p ; on peut donc la représenter par dp^ et poser f équation unique

(I) dp = p(Xdaî + Ydy 4-Zdr).

Cette équatioa' Boas montre comment ki pression viarie d^un point jj.j^ g M de la masse fluide à un autre point M

voisin du premier. La force y, dont les composantes rapportées à l'unité de masse M . aapit X, Y, Z pomr le point M, a dans l'es- V;^*' pace une direction définie M<p. Or, on sait j que Xdx + Ydy -f Zdz est le travail élé-

\ mentaire de la force dont les composantes

sont X, Y et Z« lorsque soa point d'application* décrit \m chemin dont les composantes sont dx^ dy, dz; en d'autres termes,, Xda;.+YdH.-}-Zdz est le produit de la force «p par la projection MN de l'élément MM' sur la direction de cette force». On peut donc £ce que, dam un fluide en èquUibre^ la variation de la pression par unité de surface^ quand on passe fnn peint à^ uii' (mk^einfiniment voisin'^ estêgal^àw prodiutl