ÉCOULEMENT DANS LES TUYAUX

]a vitesse de l'écoulement sera partout la même. Considérons Tifitenalle compris entre deux sections À et B, et supposons que Fécou^ lement se fasse dans le sens ÀB. La quantité d'eau qui entre par la section A, dans l'espace géométrique ÂB, sera exactement égale à celle qui sort du même espace par la section B pendant le même temps. Or ces quantités sont respectivement égales par unité de temps à ùu et ûV, si l'on appelle û et û^ les sections, u et u' les vitesses moyennes ; on 9 donc

et par suite, si û = û', on a aussi u=:t/.

Le produit Qu est ce qu'on appelle la dépense du tuyau ; nous h représenterons par la lettre Q, de sorte que la vitesse moyenne u,

attribuée à tous les filets, est égale au quotient ^«

Fig. 78.

109. Soit im fragment de tuyau AB, assez court pour qu'on puisse

le considérer comme rectiligne. Le mouvement du liquide compris entre les deux plans A et B devient uniforme dèsque lerégimepermanentest établi, et par suite les forces qui sollicitent le système matériel AB se font équilibre. Ces forces sont :

1" La pesanteur, ou le poids P du liquide AB; 2* Les pressions exercées sur le liquide AB par les portions liquides situées au delà des sections A et B ; nous admettrons que ces pressions sont normales aux plans A et B ; l'une p est mouvante, l'autre p' résistante; p et y représentant les pressions moyennes rapportées à l'unité de surface, les pressions totales subies par le liquide AB seront pQ, dans le sens du mouvement, et p'û, en sens contraire.

S» Enfin, les réactions du fragment de tuyau sur le liquide AB; chacune de ces réactions se décompose en deux forces, l'une normale au tuyau, l'autre tangentielle, et c'est celleH:i que nous appelons le

rftt «OOVKUBT DES LlflClDBS^

fraitemenu Toutes lesréactms tangentieUesifloiitpartQèles'Jufi du tuyau^ et. s'ajovteoi pour fomer k frottemeol total subi parle liquide AB. Quant aux réactions normales, nous les élimiBeMN» en projetant tentes les forces aur Taxe da tnyaa^ Le frottement s'7 projettera en vraie gnaindear« II. est proportionnel à la surface de eonlaet du liqmde et da tuyau dans rintenralle k&\ soit donc ds la IcHiguenr •AB ; soit ^ te périmètre mouillé de la section du tuyau, lequel est ici le périmètre total. La surface de contact sera 'g/jb ; et pour avoir le frottement, il faudra multiplier cette surface par une certaine fonction, f{u)^ de la vitesse u de l'écoulement. Le frottement total est donc égal &

f (ti) étant une fonction qui s'annule par u = 0, qui crott avec la variable w, et qu'on devra déterminer par une série d'expériences.

Le poids P est égal à VLÇïds ; projeté sur l'axe du tuyau^ il a pour composante

VSLà$ sin ot,

a étant Fangle que fait l'axe du tuyau avec Thorizon. Or as sîn a est égal à — rfz, en appelant d'une manière générale z la hauteur du centre A d'une section quelconque au-dessus d'un plan hcnrizontal de comparaison, ZZ'.

Enfin les pressions sur les sections A et B donnent en projection sur Taxe du tuyau la force

Nous poserons donc l'équation :

(p — p') û - nûdf— xd*/fu) = 0.

On peut remplacer la différence jl —p par la difTérentîelîe âp\ divisant par n û et changeant les signes, il viendra

BiWe bBS TViTAUX. 483

..i4ir:'. i> I

intégrable. GosoriM on. suppose que le. tuyaa a m», section contiante, la làtesse u f^ la. jaAoïe partoiU; x ^ ^ ^^^ d'aUleurs aussi deaxonatafltes, et Ton a par suite en intégrant :

§ -)* s^ 4* ^ -^1^ a::*» ccAstenta ;

Hais u étant constant, ô;- est aussi constanti de sorte qu'on peut écries cette équation sous la forme

V'^+l + s^j + ûTr'-^-

H étant une nouvelle constante, qui représente une haitfeur, et qui définit un plan horizontal.

« + ^ + s- est la hauteur du plan de charge en un point quelconque de k conduite (S 61). On voit que, dans un tuyau où le régime permanent est établi, la hauteur du plan de charge est variable d'un point à l'autre, et qu'entre deux sections, il y a une perte

de charge due au frottement ; elle est égale à g -^^-^ s , et elle

est proportionnelle, par oonséqu^t, à la longueur $ du tuyau compris entre les deux sections considérées.

110. Supposons que l'on ait déterminé les valeurs numériques de la fonction f{u) et que Ton connaisse le tracé et les dimensions du tuyau ; on pourra déterminer la tittaee u.

Soit MN {6g. 79) un réservoir entretenu à un niveau consismty dont Talftltude h est donnée;

M'N', un second réservoir entretenu ^ un niveau constant, à l'altitude A';

OD, un tuyau de diamètre uniforme qui fait communiquer le premier réservoir au second, et dans lequel on suppose le régime per* maneni établi. Nous admettrons qu'à l'eutrée du tuyau, en 0, on ait pris les précautions nécessaires pour éviter la contraction et la perle de diarge qui en serait la conséquence {$ S&)* Pûur déterminer la

CONSTRUCTiON

constante H, prenons un point G dans Tintérieur du premier réservoir, et construisons le plan de charge en ce point. Il suiQra de prendre au-

dessus du niveau MN une hauteur piézométrique G'G" = ^, Le point

G" sera un point du plan cherché, lequel s'étend à tout le réservoir

MN. Donc H = A + ^*. En un point P quelconque du tuyau, le ni-l

veau du plan de charge doit être abaissé de la quantité P"P"' égale

au produit ^ x -^yp «, s étant la longueur de tuyau OP. Mais

nous

Fig. 7».

p* Plan a« diaiyt t lWtitade.U

D' decbarjA.

ne connaissons pas encore cette perte de charge P'"P", parce qu'elle dépend de la vitesse t/, qui n* est pas déterminée.

Pour trouver w, prenons le niveau du plan de charge au point D où la veine liquide fournie par le tuyau afEiue dans le réservoir inférieur. Cette veine est animée de la vitesse t/, et elle subit la pression du liquide en repos qui l'environne; la hauteur du plan de

charge au point D est donc A' + ^ + s-- On l'obtiendra donc en élevant au-dessus du point ly une colonne D'D" =^, et en prenant en-

suite D"!)"' = ^. Si l'on cherchait le plan de charge, F", en un point F du réservoir plus éloigné de la veine, et pour lequel le liquide fût