La formule de Prôny

7 DJ = ou + Ôtt*

eoefflcfents a et 6 une méthode graphique rapide^ que nous empruntons aa Dictionnaire des tmihémaiiques appliquées de M. Sonnet (article : Calcul par le trait).

Soient y^ et u, , y, et u^, y^ et u^, yn et Un,

n couples de valeurs obtenues par rexpérience. Si la théorie est exacte, on derra ayoir

yn s= aUn -f b.

Ces équations^ où l'on peut regarder a et 6 comme les coordonnées variables d*un point, représentent chacune une droite, définie de position sar le plan par lés coefficients donnés y^, u,, y^, Un. Il est facile de construire ces n droites, qui passeraient toutes par un même point, si l'hypothèie était rigoureusement admissible. Les coordonnées de ce point seraient les valeurs cherchées de a et b. En réalité, les n droites qui résument les expériences ne passent pas par un même point, mais elles enveloppent nn petit espace sar l'épnre, et on prendra pour valeurs probables de a et de 6 les coordoDiiées dn centre de cet espace. La petitesse de l'espace enveloppé donne une idée de i'cxactitode de Hiypothése.

m EFFET BBS DiFF.ËBBK€fi$

a servi àJ'établissemeot d'une foule de distributions d'ea^ sur lescpielle^ on a pu procéder à des vérifications de la théorie, De notables écarU: furent alors constatés entre les résultats du calcul et ceux des expériences pratiques. La formule dePrôny n'est donc pas complètement exacte. Cependant, il n'y avait pas grand inconvénient à l'employer } ,sî elle assignait aux tuyaux neufs des débits trop faibles, plus tard, les dépôts qui se forment toujours à l'intérieur des conduites en service, réduissûent notablement ces débits. L'emploi de la formule était une sorte de sauvegarde contre cette réduction.

La théorie que nous avons exposée donne prise à une objection. Mous avons supposé que les filets liquides contenus à l'intérieur du tuyau sont tous animés d'une même vitesse. Or il est certain que cette vitesse commune est tout à fait fictive, et qu en réalité, les filets glissent les uns sur les autres avec des vitesses différentes, ce qui met en jeu, non seulement les frottements du liquide contre la paroi- du tuyau, mais encore les frottements du liquide contre luimême. Ces frottements intérieurs ne doivent pas entrer, il est vrai, dans l'équation fondamentale du mouvement, parce qu'ils font partie des forces intérieures qui disparaissent en projectiou. Mais le frottement contre la paroi, au lieu d'avoir pour expression

produit de la surface de contact yds^ par une certaine fonction, f (m), de la vitesse moyenne u^ devrait être exprimé par le produit

Xds X F(w),

w étant la vitesse particulière des filets liquides qui glissent le long de la paroi du tuyau. Les deux expressions donneront nécessairement des résultats différents, à moins que la vitesse te; à la paroi ne ^oit exprimable par une fonction de la vitesse moyenne t/, ce qui parait peu admissible à priori^et ce qui est démenti par les observations.

116. Au lieu de supposer que le liquide s'écoule d'un seul morceau à rintérieur du tuyau, on doit se figurer les sections transv^eftsales comme partagées en anneaux concentriques, qui servent de. base à

IMS VfrE86E SNBS OTLBTS. i9t

dee BQvfacei cylmdrîques animées chacune, parallèloment au tuyau, (fune^tease partsculiëre. Si Vxm BippeUe v la vitesse à Ja distancer de Taxe du tuyau, cette vitesse slappliquera à tout un anneau de nqfeoT et d'épaidseuf dr-^ la^secdon de cet anneau est 2nrdr.i et par nile le débit -dans Tunité de itemps de cette section .est

Additionnaiït tous ces débits entre les limites r = 0 et r = R; B étant le rayon du tuyau, on aura pour le débit total

et par suite la vitesse moyenne u sera égale au quotient -^ , on a

vrdr

expression que Ton pourra calculer dès que Ton connaîtra la Ipi qui lie les variables r et v. Des expériences ont été faites pour déterminer cette relation, mais on n'est pas jusqu'à présent tombé d'accord sor les résultats de ces recherches ; elles ont du moins fait reconnaître que l'hypotbèse des couches concentriques animées d'une même vitesse était très sensiblement vérifiée. Le problème a été aussi attaqué par l'analyse; moyennant une hypothèse sur l'expression du frottement mutuel de deux filets liquides voisins et animés de vitesses différentes, © et « + rfy, on peut faire pour chaque couche concentrique ce que nous avons fait pour la section entière du tuyau et chercher la relation qui doit exister entre t; et r pour assurer l'uniformité du mouvement de chacune de ces couches. Les premiei*s et^sais de ce genre sont dus à Navier (•) ; M. Sonnet (**), eu 1845, Dupuit (***),

C) TonelV des Mémoires de V.Aeadémit des Sciences,

(**) Recherches sur le mouvement uniforme des eaux^ en ayant égard aux différences de vitesse des filets (184S] (*^/ têudô0Msrrle9imuui>eosmanéis,

en 1848, complétèrent ces premières recherches sans modifier sensiblement les hypothèses qui leur servaient de base. Les études expérimentales de Darcy Font amené à des résultats différents (*). Navier avait admis que le frottement entre deux couches voisines est proportionnel à leur vitesse relative» ou plutôt à la dérivée partielle,

dv

j-, de cette vitesse par rapport au rayon de la couche; Darcy lot

conduit à penser qu*il est proportionnel au carré de cette même dérivée, et il donna des formules empiriques qui font connaître, en fonction de la vitesse moyenne, la vitesse dans Taxe du tuyau, la vitesse à la* paroi, et enfin la vitesse à une distance quelconque de Taxe. Ces formules ne sont plus admises sans contestation aujourd'hui, et des recherches plus récentes, appuyées les unes sur les expériences de M. Bazin (**) , les autres sur les travaux analytiques de M. Lévy (***), semblent devoir faire rejeter l'hypothèse de Darcy, pour admette une nouvelle îoi plus compliquée pour le frottement mutuel.

117. Bien qpe.rhypotbèse de JN^vier ne soit pas entièrement sar tisfaisante, nçus nous arrêterons, un moment à en développer les résultats.

Soit AB la section d'un tuyau de. diamètre D ; sur le rayon OA

de ce tuyau, élevons en chaque point, 0, m', ut, n, n\ A, des perpendiculaires Oo, m' p\ mp^ nçt n' q, ka^ proportionnelles à la vitesse V du filet liquide qui passe «n ce point. Nous obtiendrons ainsi une courbe représenMÎTa des vitesses v des coucbes liquides en fonction de ItJurs rayons r. La

FIg. 81.

(*) Recherehes^eûDpénmeniale» reiùHvet ùu fnûuvement de Veau dans let tv^aux (18S7), «hBpitreV.

n D«cy «t Barin, Écoulement de Teau dcm» les canaux.

O Annaies des Ponts et Chaussées, 1W7, Mémoire n* 161, ï«r M. Maurice Lérv.

SUIVANT L'HYPOTHÈSE DE XAVIER. lî<3

vitesse moyenne est la même partout dans le tuyau, puisque son diamètre est constant. Nous admettrons aussi que la distribution des vitesses est la même dans toutes les sections, de sorte que v est une foDctioij de r, indépendante de la section considérée.

Exprimons l'équilibre d'une longueur infiniment petite de Fannean liquide compris entre les deux cercles m et n, dont les rayons sont r et r + dr. Cet anneau est en équilibre, puisque son mouvement est uniforme, sous l'action^de son poids, des pressions d'amont et d*aval, et des réactions des deux couches voisines, savoir, de la couche intérieure mm\ qui, ayant une vitesse plus grande, tend à accélérer son mouvement, et de la couche extérieure nn\ qui a une vitesse plus petite et tend à le retarder. Projetons toutes ces forces sur l'axe du tuyau ; les composantes normales des réactions des deux couches voisines disparaîtront, et il ne restera plus que les composantes tangentielles, ou frottements, qui se projetteront en vraie grandeur. -

Soit ds la longueur du fragment d'anneau dont nous voulons «primer l'équilibre. Sa base a pour surface n{r + dry — wr*, ou 2tT(/r;son volume est ZTzrdrds; son poids est le produit V^nrdrdsXll. et si l'on projette cette force verticale sur l'axe du tuyau, supposé incliné de l'angle a sur l'horizon, on aura pour composante:

%KrdrdsxJls\n9Lis: — itzrdrdzxU^

ingénieQr des pools et chaussées. * M. Lévy a pousse plus loin ses recherches, dans un

mémoire fut V Hydrodynamique des liquides homogènes, et en particulier sur t écoule-

WMl reelUigns et permanent . Aa lieu d'admettre^ comme Narier, que la résiEtance au

dv lliMWfiit de dCDi couchée eontigaês est exprimée par la fonction s ^ , M. Lé?7 ne fa il

lueons hypothèse particulière sur cette fonction; il suppose seulement que les compoisates, sQlTaot trois axes rectangulaires, des actions subies par les faces d'un parailéiipipède élémentaire, soient déTetopp»b'e:4 en séries contenant nu premier degré toutes Ic< éértrées des composantes de la vitesse, par rapport aut roordonnéoft; et il exprime la escdiUoo nécessaire pour que ces séries soient composées avec les mêmes coefficients lorsqu'on opère un changement quelconque de coordonnées rectangulaires. Le nomi^ro de eoefflcients indéterminés introduits dans les cal* uls permet d'établir l'accord entre les fmnules tt les résultats de l'observation.-* Voir les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. LXVUI, séance du 8 mars 18C9, rapport de M. Barré de Saint- Venant.

i 94 RÉPARTITION DES VITESSES

en appdant» comme nous Tavons déjà fait, z la cote de hauteur du ceutre de la section d'amont, et z + ^^^'^ ^^ ^^^ ^^ centre de la section d'aval.

Les pressions sur les sections d'amont et d'aval s'obtiendront en moltipliant la pression moyenne dans chacune d'elles, par l'aire delà section transversale de l'anneau, ou par 2iïr<ir ; la pression d'amont doit être prise positivement, la pression d'aval négativement, et comme elles se ptx>jettent en vraie grandeur sur l'axe^ elles donnent pour composante

ou bien

— 9iiirdrdp^

en observant que p' est égal kp + dp.

Cette fonction />, qui représente la pression moyenne pour Tanneau mn dans la section d'amont, est la même pour tous les anneaux liquides qui traversent cette section. En effet, l'écoulement étant supposé se faire par filets parallèles, les pressions se répartissent dans chaque section transversale suivant la loi de 1 hydrostatique. La pression moyenne sur une aire quelconque est donc égale à la pression sur le centre de gravité de cette aire. Or tous les anneaux sont concentriques, et ont pour centre de gravité le point 0. Donc la fonction p est la même pour tous; en d'autres termes p est indépendant de r, et dépend seulement de la longueur s mesurée sur Taxe du tuyau.

Nous n'avons plus qu'à évaluer les frottements du liquide. Occupons-nous d'abord du frottement exercé sur la surface cylindrique qui passe au point m. L'aire de la surface frottante a pour mesure ^itrds. La vitesse du filet nm étant représentée par v^ celle du

filet nfftn sera représentée par v — 77- <fr » car ^ ^^^ ^^ ^ wa

rayon r — rfr ; et le frottement moteur éprouvé par le filet mn de la part du filet m'm qui marche plus vite, sera, si l'on admet la loi de Navier, eipi iiué par le produit

SUIVANT L'HYPOTHÈSE 1>E NAVIER. i05

dr dr

£ étant un facteur constant.

Nous donnons à cette expression le signe — pour en faire une

!brce mouvante, eo observant que la dérivée -7- est négative.

La même expression se retrouvera, augmentée de sa différentielle relative à r et changée de signe, pour représenter la force retardatrice due au glissement de Tanneau mn surFanneau nri qui marche plus lentement. Cette force aura donc pour valeur

2«d,x[(rg)+|,(rJ)dr],

de sorte que la somme algébrique des deux frottements subis par Tanneaa tnn sur ses deux faces est égale en grandeur et en signe à

l'équation du mou^ment uniforjoae ost. par suite

Divisons l'équation par ^nrdrdsxU^ et changeons les signes. Il vient: *

ds^ Mds Wr drVdr) ^ '

tquatioQ où figurent deux variables indépendantes *8 et r, mais où z tt p sont des fonctions de 5 seul, tandis que v est fonction de r et indépendant de s.

Laissons le rayon r constant, c'est-à-dire voyons ce qui se passe pour un seul et même anneau. Nous pourrons intégrer l'équation, en

regardant s comme la seule variable indépendante, ce qui nous conduit à l'équation :

-r u- P - 5£ X i — /"r -,-^ = constante.

Or z + '^estlahauteurpiézométrique du centre de la section; elle

est indépendante du rayon r des différents anneaux liquides; la formule de récoulement de l'ensemble des anneaux liquides nous montre

d'aiUeurs que . + ? est une fonction linéaire de s (S 109)- Donc le coefficient de 5,

doit se réduire à une constante. La loi qui lie la vitesse v au rayon r s'obtiendra par suite en intégrant l'équation différentielle

r dr \ dr]

A désignant une quantité constante; On en déduit successivement

1 Ir'^ = dr\.dr) ,

Kr

dr X

dv \. C

« = 1 Ar« H- C log r + C.

loBouii r,:=iQ.,c'it-,Hire aw «jep^re du tuyau, la vitesse » âoit ..^teipdfiei spn,tp^n?om>, touteA restant finie ; donc C = 0, et rèqua-

» = iA>-« + C'