MODIFICATIONS PROPOSÉES A LA FORMULE DE PRONY
119. Les premiers travaux entrepris pour perfectionner la théorie de Prôny eurent pour objet la détermination de valeurs moyennes plus exactes des coefficients constants a et b. Ils sont fondés sur les mêmes expériences. D'Aubuisson, s'attachant plus aux expériences relatives aux gros tuyaux, crut reconnaître que Prôny avait adopté une valeur de a un peu trop faible et une valeur de b un peu trop forte, et il proposa les valeurs :
120. Eytelvvein introduisit dans la détermination des coefficients
Fig. 82. "° perfectionnement de détail; il tint
compte de la perte de charge due à la contraction à l'entrée des tuyaux, que Prônv avait complètement négligée.
Elle a>est négligeable en réalité que si l'entrée du tuyau présente un évasement parfaitement ménagé.
Supposons que cette précaution n'ait pas été prise. Soit A T origine du tuyau; un peu au delà de ce point dans la section B, nous trouverons la vitesse u de l'écoulement m appliquant la formule des ajutages cylindriques, savoir :
A L'ENTRÉE DTN TUYAU. 199
eo appelant ^ la liaut^ur piézométrique au point B, et z la hauteur
du point B au-dessus du plan de comparaison TE, Résolvant par
rapport à A -f -^ , on a
La perte de charge B'' B'" à l'entrée du tuyau est donc égale à
0.49 — ; cette perte de charge doit être déduite de la différence de niveau, h — h!^ des deux bassins, de sorte qu'au Ueu de poser
j 3- 2 comme nous l'avons &it, il faut prendre
et c'est cette valeur de J qui doit entrer dans l'équation ^ DJ = ç(m).
Cette équation* se résoudra par approximations successives. On
négligera d'abord le terme 1»4^ ôq » q^i est toujours assez petit; on
aura une valeur de J trop grande, qui conduira à une valeur de u trop grande aussi. Cette valeur de u servira à calculer la correc-
tion j — 2 de la valeur de J ; la correction étant trop grande,
on aura une seconde valeur de J trop faible, qui conduira à une nouvelle valeur trop faible de u, La vraie valeur de c^ est do«c comprise entre les deux premières valeurs approximatives calculées.
Eytelwein entreprit le calcul des coefficients â( et 6 en tenant
ÏOO FORMULE De M. DOPUÏT.
compte delà perte de charge — x 0.49 dont Prôny ne s'était pas inquiété; et il trouva les valeurs suivantes:
121. Les formules d'Kytelwein et de d*Âubuisson laissaient subsister la forme de réquation de Pr6ny, et ne modifiaient que les coefficients. Dupuit proposa une amélioration plus radicale ; il observa que le coefficieni <?> étant beaucoup plus petit que le
coefficient b (^ suivant; Prôny, jj suivant Eytelwein) , le terme aw
était négligeable devant le terme £t/% sauf dans le cas où la vitesse u est très petite. Au-dessus de 0".10 de vitesse, on peut s'en tenir au second terme (*), et poser l'équation simplifiée:
Cette équation peut être résolue par rapport à u i
Dttfniitf, tti sUppkfiihftM lé (ërmé^ du 1*' degré, modifia légèrement le terme du second degt^, ^ pn^posa de &tre b == 0.000 3855. U en résulte l'équation
V=50,93i V/^OJ
ou, approximativement,
-Vî
DJ
i:i)rrmite d^ah'usâgë èittrèmeuiônt commode.
■^F ■ ■■■>^ tri*i l'un» ■ rtft — >'"iinntMH I niwjtiJ « I. I II *ii> t. **>■' «« nJn.f
O t^J(M4i;.le# .t£à»(P^U(«ift,vii6i0^»ipkr fULttmp{e>oiir réeoQttmeot par det tôbtt cftprikiires, OD doit preodre, au contraire, le premier terme au à l'exclusion du aecond.
FORMULE DE M. DE SàINT-VEiVâNT. 201
f22. Knûn, M. Barré de Saint- Venant, reprenant les données expérimentales qui avaient servi à Prôny, chercha à exprimer la foncûon f {u)^ non pas sons forme de polynôme entier, mais sous la forme de monôme calculable par logarithmes. Il posa donc Téquation
OÙ le coefficient c et l'exposant m sont des nombres à déterminer par expérîeace. L'emploi des logarithmes réduit encore la recherche (le c«8 nombres au tracé d'une droite qui passe le phis piès possible de points donnés (*). De l'équation
oD tire en effet, en prenant les logarithméSy
log c + m log|tt = log (j DJ j
équation d'une droite dont les coordonnées sont les variables
'%• (t DJ] et log. u, et dont log. ç estj'ordonnée à l'origine et m
le coefficient angulsûre. La discussion des résultats des expériences, et l'eqiploi des méthodes analytique» oa^ cQuâult M^ de Saint- Venant à prendre pour valeurs moyemies de^ çpnstantes
*; ta substitatlon des logarithmes aux pombrea daoa la rechi$rc))e.d9 Ja foii^|ioQ(4i
ravanlage de eoadaire à ratténuation et à la compensation des écarts relatif* ou pro-
ytfiiùnnfU entre Ita laleura obiervéee et lea valeum ealeuléca, an lien dev écarti absolus
Voir Bax«é 4e j^AU^tiVenaiiti Formuks ti UtblinnauDeHet^ Annaies '4è^ nkim^, ¥ série,
t.XX.) '^ . -, .
%n tàblb de m. Mary.
L'équation du mouYemeiit clms les tuyaux serart donc, d'après M. de Saiot-Yenant ,
Elle diffère de Téquation de Dupait ,
^DJ = 0.0003955 xu«,
en ce que l'exposant de u et le coeiTicient sont plus faibles dans la première formule que dans la seconde. La formule de M. de Saint- Yenaiit donne des résultats inférieurs à ceux de la formule de Dupuit, et aussi à ceux d'Eytelwein.
