MINIMUM
en F, 6, H, E, et les hauteurs des niveaux piézométriques A, A^ A,, A,, Âp du réservoir qui fournit Teau à la conduite^ et des réservoirs^ situés en F, G, H, E, qui sont alimentés par les orifices {*). On demande les diamètres qu'il faut attribuer aux différents tronçons AB, BG, BF,... de la conduite, pour que les frais d'établissement soient les moindres possibles.
On calculera d'abord le débit Qj = 0* + q^ de la conduite CD; puis le débit Q, = Q^ + q^ + qt de la conduite BG; enfin, le débit 0, = Q^ + 5^, + y, + q^ de •la conduite AB; appelons C^ w,, II,, w,, Dj, w,, D^ les vitesses dans chacune des branches de la distribution; Lp /,, L,, /,, L,, /,, L^ les longueurs de ces branches, et :?,, js,, z^ les hauteurs des niveaux piézométriques aux branchements, nous aurons les équations suivantes :
(AB) y/^^=6,Uj
(BC) y/i^£iZll.=5^U.î (3)
(CG) \j!bh^^i,^,J (4)
(CD) y/^^!lZ1£»=6^U,^ (5) •
(DH) y/|» ÎLZJL. = 6, u} (6)
(DE) y^ÇîLzA=6,uj. (7)
La quantité à rendre minimum est la fonction
P= LM ^ + Wg, ^ + +/, ^û. ±:,
(•) Si l'un d» ces tuyaux débouche dans Pair, il faut prendre pour hauteur h correspondante la hauteur même du centre de Tortûce d'écoulement; car la hauteur plézométrique en ce point, abstraction Cuite de la pression atmosphérique, est égale i léio.
dans laquelle D,, u,, n,, «„••• U)< sont des fonctions des variables indépendantes s^, z,, 2,. La condition du minimum fournira donc
S équations ,
dP „ dP „ dp „
tu^ dZf dZf
1 joindre aux sept qui sont déjà écrites ; en tout dix équations, qui Tont connaître les 10 inconnues, savoir les 7 vitesses et les 3 cotes (le niveaux piézométriquesz,, z,, z,.
Par un calcul tout semblable à celui qui a été f:dt pour le cas de (rois tuyaux, on ramènera les 3 équations du minimum à la forme
Ce système de 10 équations se résoudra encore par approximations successives. Le tâtonnement est facile à diriger. On donnera arbitrairement une valeur à z, ; on en déduira U, et u^ par les équations (Il et (2); l'équation de condition (8) fait alors connaître U,, et par suite on déduira z, de l'équation (3) ; la valeur de z, servira i trouver u, par l'équation (A); puis la seconde équation de condition (9) donnera tl„qui, substitué dans l'équation (Ô), donnera z,. Hors les équations (6) et (7) déterminent u, et U,, et la dernière éqnation de condition doit être satisfaite si la valeur arbitraire des, a été convenablement choisie. L'erreur commise sur z, est donc mise en évidence par le sens de l'inégalité à laquelle 00
parvient pour les quantités ttïi et -^ + ^. II ne s'agit plus que de
savoir dans quel sens il faut altérer la première valeur de z, pour approcher de la valeur exacte.
Or il est facile de voir qu'une augmentation de z, entraîne une i^iiiiDation de U, [équation (1)], et une augmentation de u, [équation
-la.
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(2)], une dimiimtion de U, [équation (8)], une augmentatioa de s^ [équation (8)], une augtnentatioiï de w, [équation (4)], une duninution de U, [équation (9)], une augmentation de z^ [équaAinn (5)], une augmentation de w, [équation (6)], et enfin une augmentation de U^ [équation (7)]. Le signe + indiquant les variations dans le même sens, et le signe — les variations en sens contraires, on peut donc former le tableau suivant, dont la lorest manifeste :
«1 Ui «1 U, z, v^ Uj 2J, ti, U4
Si donc le résultat de la première valeur adoptée pour «1 était Finégalité
au lieu de l'équation (10) , il faudrait augmenter z^ ; car il en résulterait pour U, une diminution qui aurait pour eflet d'augmenter le premier membre de cette Inégalité, et pour w, et D^ des augmentations qui auraient pour eflet de diminuer le second membre. On parviendra donc, en augmentant graduellement z^^k renverser le sens de l'inégalité. Alors on aura deux limitas comprenant ïa valeur exacte de z^ , et on obtiendra approximativement cette valeur au moyen d'ime interpellation (*) .
La solution obtenue par cette méthode algébrique est quelquefois inadmissible. H en est aînsr quand elle conduis, pour cer'* tains points de l'un quelconque des tuyaux, à des* pressons trop faibies, soit négatives, soit simplement inférieures 1 la pres^n
f} Le principe de ostte selutlon est empranté' à un tsiarall de M. BteMêiMir la détermination la plus avantageuse de$ diamètres d'un système de conduites à plusieurs brandies, (Voir Cours lithographie d'hydraulique de BélaDger, p. 190). «^ La suppression dltt teime en ou de la fonnale de ?t6ftj introdait ubo notable simpUAflatien ohms les calculs, et évite remploi de la table spéciale construite par M. Bresse. — La mét^de que bous veiwin de déyelopper consiste à éiiffliifsr les riyoDS' de» tnyaiii et à opérer sur les vitesses. On peut aussi éliminer les vitesses et conserver les rayons dans le calcuL Les équiUons da mouvement pisiuieBt alors la.fuiriBB
ei les équations du mimmam, la forme 7^=^ = — + -~ .
