DÉBIT D'UN AQUEDUC VOÛTÉ

163. Appliquons Tiine quelconque de ces formules à Técôulement dans un aqueduc voûté, tel que celui dont la coupe AGB est donnée dans la figure 102.

Si nous supposons la ligne d*eau placée en MN, nous aurons

Û = surf. MNDE, X= AE + BD + ED;

nous pourrons calculer R = - , et, admettant que la pente I soit

donnée, nous en déduirons la vitesse t/, puis le débit Q = uxO. Ce

débit variera avec la hauteur MN attribuée à la ligne d'eau dans Taqueduc. Portons à partir de l'axe vertical GF, sur la ligne MN, une longueur HL proportionnelle au débit Q. Nous pourrons répéter cette construction pour d'autres lignes d'eauj M'N', M"N", et nous obtiendrons ainsi des ordonnées H'L', H"L" qui représenteront à l'échelle les valeurs du débit lorsque l'aqueduc se remplit jusqu'au niveau M'N' ou au niveau M''N".L*ensembledespointsL,L',L"...

dessinera donc la courbe des débits. On peut pousser les opérations jusqu'au moment où la section de Taqueduc est entièrement remplie ; on obtient alors un certain débit CL,. Or on observe que la courbe LL'L",.L, a un maximum en un point P, situé au-dessous de la clef de la voûte. C'est à cette hauteur qu'il faut remplir l'aqueduc pour lui assurer le plus grand débit possible. Au delà, les ordonnées de la courbe décroissent pour une élévation de la ligne d'eau. Ce fait s'explique en observant qu'un léger accroissement de la hauteur de cette ligne, dans la région voisine de la clef, augmente notablement le périmètre mouillé x* ^^ augmente très peu la section û. Le rayon moyen diminuant, la vitesse moyenne diminue assez rapidement pour faire décroître le produit ùu qui mesure la dépense. En appliquant cette construction à différents aqueducs voûtés, oo

Kg.

278 PROBLEMB

reconnaît qu'une section de cette forme permet d'écouler nu vohwne d'eau supérieur de A à 6 p. 100 au Tolume débité à plein tuyau. Proposons-nous de déterminer la position de la ligne qui correspond au maximum du débit, en faisant usage de la formule simplifiée

ou bien

" I = bu\

où b désigne un coefficient constant. Le débit Q = Qu. Le maximtnn de Q entraîne la condition rfQ = 0. Donc

Hais u est lié à û et à ^ par Téquatien du mouvement, qui» difiërentiée, donne

Rempla{ons dans cette équation du sa valeur — -, déduite de •

r équation précédente; il viendra, en remplaçant bu* par - 1,

oit bien, en Bupprioiant leai facteurs comiiiuia.

C'est la confdition du maximum. Appliquons cette théorie à mie section circulaire de rayon a, et soit h le demi-angle au centae (ftî correspond à Tare mouBlé. Oa atira

û = a«{9— ^siiiSr^ et x=2a^ dû =s a«d8(l — cofi 26) = 2a« sin» 6 d8, d^ = 2ade,

DES ISOI^mÈTRES. 279

et réqaation de condition deviendra

28ln*a I 3X j ^p

ou bien

&in2d

6 sin* e 2= i —

Si dans cette équation on fait saccessivement 0=-etQ = T:,on

troaye d'abord 6 > 1 , puis 0 < 1, par la comparaison des valeurs que prennent les deux membres. Le renversement de l'inégalité

montre qu'il y a une racine réelle de l'équation comprise entre Q = ^'

et 6 = te.

L'interpolation par parties pre^ortionnelles entre ces deux valeurs fait connaître une valeur approchée de f inconnue. On troove ainsi

9 = T^ «. Cette valeur pourrait être corrigée en appliquant le môme

procédé, mais si Ton veut seulement déterminer la valeur du maxi^ otum du débita on peut^ sans erreur sensible, se contenter de cette première approximation, puisque le caractère d'un maximum est précisément de varier peu quand on fait varier la quantité dont il dépend. On trouve, en achevant le calcul pour l'aqueduc plein, le rayon a étant pris pour unité.

Qi-Y/|\/M*X 3,14159,

et pour Taqueduc rempli jusqu'au point où 6 = j^ tr (165*),

fi80

Donc enfin

Q^VWX 3,12980^ Qi v/Ô3ÔÔx3,14i59

OU environ 4 p. 100 de plus que le débit à plein tuyau.

164. Remarquons à ce propos qu'au moment où récoulement s'établit dans la section entière, le canal devient à proprement parler un tuyau^ de sorte que les coefficients de la formule d'Eytelwein devraient changer brusquement de valeur pour être d'accord avec la formule de Prôny pour l'écoulement par les tuyaux. Une théorie complètement rationnelle ferait disparaître cette variation.

165. La formule Rl = (p(M) montre que le rayon moyen' intervient de la même manière que la pente dans la détermination de la vi* tesse u. C'est grâce à cette influence que Ton peut drainer et dessécher au moyen de canaux des terrains ayant de très faibles déclivités. Les anciens ingénieurs, préoccupés d'une fausse assimilation entre l'écoulement d'un liquide et le mouvement d'un corps solide qui glisse sur un plan incliné, paraissent n'avoir pas connu cette loi.

166. Si l'on veut avec une pente constante écouler le plus grand volume. d'eau possible par une section dont la largeur ÂB au plan d'eau et le périmètre mouillé ^ sont seuls donnés, il faut accroître

le plus possible la section, puisque de cette manière on accroît à la fois la vitesse u et le produit Î2t/, ou la dépense. La question est donc ramenée à un cas particulier du fameux problème des isopérimèires (*) :

tracer du point A au point B une courbe AGB ayant la longueur donnée ^, et renfermant entre elle et la corde AB la plus grande surface possible. U est facile de reconnaître que

Fig. 103.

(*) Voir Lagrange, Lsçotissur le calcul des fonctions, Leçoo XXI.

DES ISOPËRIMËTRëS. 281

cette courbe est un arc de cercle. Voici la démonstration que nous en donnerons, d'après M. 0. Bonnet (*).

Soit ACB la courbe cherchée qui a une longueur donnée ACB = y^ , et qui renfçrme la surface maximum. Traçons une seconde courbe ACB infiniment voisine de la courbe ACB, terminée aux mêmes extrémités, et ayant la même longueur y^. Cette courbe renfermera la même aire que la première, à cause de la propriété du maximum, aux environs duquel les variations de la quantité variable sont des infiment petits d'ordre supérieur au premier. Rapportons les points M' de cette nouvelle courbe à la première courbe ACB, en abaissant les perpendiculaires M'M sur celle-ci; appelons s Tare AM, et y la longueur de l'ordonnée MM', que nous compterons positivement si elle tombe d'un côté de la courbe ACB, négativement si elle tombe de Tautre côté ; la courbe ACB sera définie par une certaine relation entre y et 5, et l'aire comprise entre les deux courbes, du point A à une

SAP yds ; prise entre

les limites o et y^ qui correspondent aux extrémités des deux courbes, cette aire doit être nulle pour qu'il y ait maximum. On a donc

Ç^ yds = 0.

Les deux courbes ont la même longueur* y. Calculons l'arc M'M\ de la courbe C, correspondant à l'arc élémentaire MM, = ds de la courbe ACB ; soit 0 le centre de courbure de cette dernière courbe au point M, et p le rayon de courbure OM ; l'angle de M'M\ avec MM' est par hypothèse infiniment petit; nous aurons donc la proportion

WW, OW p±J/

(*) Mémoire sur la théorie générale des surfaces, Journal de r École polytechnique, t. XIX^ 32* cahier, p. 44, 1848. — M. Bonnet applique sa méthode à un problème plus général, celui de Taire maximum parmi les isopérimètres sur une surface donnée; et il irouve que la courbe qui satisfait à cette condition est celle dont la courbure géodefigue est constante.

m POLYQONE MAXIMUM

Donc

ds ^ p

et, par suite,

WW.'-ds = ^,

Si nous ajoutons ensemble toutes les équations analogues écrites pour tous les arcs infiniment petits dans lesquels on peut décomposer les courbes AGB, AG'B, nous aurons pour résultat

y — y ou 0 = \ • .

On a donc à la fois les deux équations

Jyrf.= 0 et 5^'^^ = <>.

Posons avec }lk. Bonnet, d'après un procédé indiqué, par Gaucby,

o étant une fonction définie par cette équation pour toutes les valeurs de s comprise entre o et*)^, et s'annulant à ces deux limites; il viendra en différentiant

Substituons dans la seconde éqoration', elle devient

L'intégration par parties nous donne Fintégrale générale

qu'il fant prendre entre les limites oeij^\ (xf, aux limi'tes le terme ^^ s'annule et dîsparaît. Donc