DE PENTE ET DE SECTION CONSTANTES

n faut aussi chasser la différentielle du. Pour cela, observons que le produit

est constant dans toute action.

Oifférentiant, il vient

ûdu== — «dû.

Or, soit X la largeur de la section AB à la hauteur de la

rig. us. ligne d*eau ; la variation dQ de la

\<, — .s> ^>.^ section sera égale à xdh^ et par suite

Remplaçons dz et du par ces valeurs dans l'équation difiér6ntielle« nous aurons

ou bien

dh '-S*"'

ds . M* X

Pour appliquer cette équation, il faudra exprimer x, ^ et Û en fimction de h^ puis remplacer la vitesse u par le rapport ~, dans

lequel la quantité Q est constante. Toutes ces substitutions faites, l'équation prendra la forme

ds^F (A) dA

que l'on pourra intégrer par quadrature. L'intégrale de cette équation sera

*=CF(/i)dA4-C;

elle représente une infinité de courbes toutes égales entre elles, et qui diffèrent seulement par leur position le long du lit du canal. La solution s'achève en exprimant que la courbe passe par un point donné.

32G MOUVEMEKt VARIE

197. SupposoB» par exemple quîil s agisse à' un lit iectangulaue de largeur /; on aura ' *

Û"" Ih

et pai- sute

(if = dhx — ^

' équation que l'on pent intégrer en dâoamposant en fractioDS simples la fraction rationnelle qui multiplie la différentielle dk^Do-puit a fait Tintégrationi en simplifiait le problème par la sup*

aO*'

pression du terme m, et en supposant au lit une largeur îndé^

finie.

198. Au lieu d'éliminer djs, on peut éliminer ck, ce qui conduit à une relation entre les variables z et h. Ou en déduit ensuite s en. intégrant l'équation

ids = dz -{' dhi ^ qui donne

Appliquons cette méthode à un courant rectangulaire de largeur indéfinie; ce qui revient à poser

en négligeant 2h vis-À-yis de /, et

L'équation idtt mouvement devint aorte cevenbstitutlons. et aprè§<

DANS UN-GAN4L Rl€TÀfi^LAlRE. 327

la sappression du facteur a, que l'on peut regarder comme égal à l'unité, '

Remplaçant ds par — ^ — , puis séparant les variaUeSy on a

saut

Cette équation se lûmplifie en faisant d'abord 7 = ? » puis en po^

= 1/ -4-, La quantité y sera le débit du courant rapporté

à f unité de i^eur du Ht; la quantité H sera la profondeur du régime tmiférmê'^ ou la profondeur qu'aurait l'eau dans le canal si le mouYement y était uniforme, le débit étant toujours égal à q par unité de lai^ur. En effet U étant la vitesse, et H la profondeur

ou le rayon moyen, on aurait alors

ou bien

ou enfin

On obtient, par suite de ces transformations,

Faisons enfin :^ = h'; l'équation iprenA la forme suivante :

S28 MOUVEHENT VARIÉ

On intègre facilement la fraction rationnelle rrr^ji ®" ^^ décomposant en fractions simples :

JprZTÎ * 3 L W^ "^ A'« + À' + 1 "** J

L'intégration donne ensuite

Pour déterminer la constante, M. Bresse, à qui nous empruntons celte analyse , prend pour plan horizontal de comparaison le plan vers lequel tend la surface du cow*anl quand la profondeur augmenle indéfiniment {*). A mesure que la profondeur augmente» la vitesse u diminue, et la surface libre approche de plus en plus du plan horizontal qui conviendrait au liquide en repos : si donc nous faisons A' infini, nous devons trouver 0 pour z, et par suite aussi

pour l'intégrale.

' {/ff i)i

Or, pour h' infini, le rapport ,,; , > , , ^ est égal à l'unité; son

2A'4- 1 logaiitlime est nul ; la tangente — 4-— devenant infinie , on peut

admettre que l'arc correspondant est égal à ç, La constante prend

alors la valeur ^-ïî.

Dans ces conditions l'intégrale de l'équation donnée devient

(•) Hydraulique, p. 240.

DANS UN CANAL IlECTANfeULAIRE. 329

IL, Bresse a calculé la table (*) des valeurs de la fonction

Les valeurs de z se trouveront à Faide de cette table, en appliquant la formule

Puis Tintégration de Téquation ids =dz + dh donne, comme on Fa vu plus haut, entre deux points quelconques,

11 vient en définitive

DÉTfiaiairAiioif du nomAe «•

199. La valeur à attribuer au nombre a dépend des différences de vitesses des filets, car ce nombre est égal au rs^port ^^-j- . H. Bazin a montré qu'on peut poser d'une manière générale

=,+N(ï iy,

en appelant V la vitesse maximum, u la vitesse moyenne, et N un

nombre qui dépend de la forme de la section et de la nature de la

paroi. Appliquant à cette recherche les résultats qu'il avait obtenus

pour la répartition des vitesses dans les sections rectangulaires très-

laiges ou dans les sections semi-^circulaires, il a obtenu N s —

n Hydrttuiigue, table IV.

33» UÊJBBUmkflim^

pour les premières, et N = j^ pour les secondes. Puis traitant la

question par rexpériénce, il a recoDonr cpie a-rp^nmâfts^priiiier en fonctioû du coefficient A, par la formule

En définitive, la limite a = 1.1 indiquée par Bélanger est très rarement dépassée, et il n'y a pas d'erreur sensible à craindre en

l'adoptant dans totis les cas. M. Bmù a aussi étudié lés valeurs du

rapport a' = — -j- qui peut s' exprimer très simplement par la formule

1 + 70 A, et dont nous verrons le rôle dans F étude du ressaut superficiel.

DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DU GOimCIENT A.

200. Pour déterminer le coefiicient A par expérience, M. Bazin met l'équation du mouvement varié sous la forme

puis il construit une ligne ayant pour abscisse X la quantité

/^ u*ds , et pour ordonnée Y la valeur correspondante de

Y Sile coefikiBntAvét&itrigo«H«ii8emeirt«OBBtBnt,Jbrr^ ^ q«

lui est égal serait aussi constant, et la ligne serait une droite passant par Tong^ne. En. appliquant cette cons&mction'iài^dea'portioiM de courants, M. Bazin a tracé plusieurs lignes qui, en effet, se rapprochent très sensiblement d'une ligne droite, et qui pennetteot

d'évaluer la valeur moyenne du coefficient A. Pour une même nature (le paroi, on peut attribuer à ce coefficient A une valeur constante, ou^airoftveat tenir compte dea vaiiAtiona du rayon moyen, lui donner la valeur qu'aurait le coefficient A dans la fonuule du mouvemeat uniforme. L'expérience montre en effet que les valeurs de A sont, tantôt au-dessus, tantôt au-dessous de celles qui correspondent à Funirormité du mouvement,. nuiis que les écarts sont négligeai)lesi Les expériences de M. Bazin sur le répartition des vitesses ont ainsi prouvé qu!il n'y avait pas de différence marquée, à cet ég^rd, entre le mouvement uniforme et le mouvement varié.

DISCUSSION SOMMAIRE DE l'ÉQUATIQN DU MOUVEMENT VARIÉ POUR UN