PRESSION MUTUELLE DE L'EAU ET DES SOLIDES DANS LEUR MOUVEMENT RELATIF
229. Proposons-nons de chercher Faction normale exercée par une veine liquide qui tombe sur un plan matériel fixe avec une vitesse connue. Noos admettrons que le plan matériel soit assez étendu dans tous les sens pour que la veine, animée d'un mouvemut permanent, s'applique exactement sur sa surface, et qu'à une certaine distance du point où elle tombe, l'écoulement du liquide se fasse parallèlement au plan fixe. Le théorème des quantités de mouvement projetées nous permettra de déterminer la réaction normale du plan sur la veine liquide.
Soit AB le plan fixe; MN une section de la veine liquide, à Fîg. 138. une distance assez grande du plan
AB pour que Técoulement s'y opère par filets parallèles. Appelons V la vitesse de cet écoulement, supposée commune à tous les filets. Cette vitesse fait avec le plan un angle que nous désignerons par ^. Le plan fait avec la verticale ZZ' un angle a qui est également donné. .
Coupons la masse liquide par une surface cylindrique normale au plan AB, et assez étendue pour que toutes les molécules fluides qui
384 PREBSÏÔJeJb^UI^È VElNTE'^^iitlDE
U tcayerseoi .méat piiirftUôte& m piiini iix^y joe/Kiw.i^ff( ^^i»4y)QGB possible, puisque la veine vient s'apIatirfiuit.c^pllinitàK^Ji^èlg^l^^ trices extrêmes PQ, P^Q, de la surface cylindrique, sont seules représentées sur la figure. — «
Appliquons le théorème de la quantité de mo\tUMptàt\i -éùb j^rojétant les vitesses et les forces sur un axe OX, normal au plan AB.
Au bout d'un tèitfps"ft très "peiit,'ltt ièààsé^Jkçirde comprise entre la section MN et le cylindre PQl\Qi s'est déplacée, et occupe Tintervalle compris entre la section M'iV et le cylindre* F(yP'ify^,^, *^accroissement des quantités de^ iiiQu\5en?jBHt pfpjetées est égal à la projection sur OX des quantités de mouvement de l'anneau PQFQ'
PiQiP'iQ'ii aw)ios^l^ .quaj;iJi^^MdQ.a»o,9vwiçplv.pr(a^té%^4p^ MNM-'IS'- <>• 1^? mpléciries .çoiï^pri^? (J<^?i,JL>ïJPgg^^l,^^I>li 403 \ifessçs normales à OX; les prqj€5p4i9ii$/ de^le^wai^qwptiié^ ,^.n^y^e^e^i sont nulles, et il reste pour accroissement de la quaf|tité de mou' veinent projetée^' lii'^pi^ïeéUo'rf 'dé U ijifanfetë dViftotiVéttiéîil de ]p.lS:M:„.priae..ajy^(; le.mgRe nr;.,!? m^^^î ^^K^Af^^^^W^^^
' : '"i "•« «; . '■ *-r,,t •Mi<'.Ti •) i '/ •;' i.-i'il / ■* .1-' ^'i ;;ii*h ^-Ji-i-r; *{
— -AVOxVsiflp, - , ^ ■
A étant Taire de la section MN. , ^^'
Le second membre de l'équation comprend les impulsions éléiiientaîres des forc.es, qui sont ici le poids de la masse liquide mNPQI\0, et la réaction du plan A6;, enfin la pçessÂpn atmosphérique, laquelle agit sur toute la masse, y compris 1» section MN, où l'écoulement a lieu par filets parallèles sans action les uns sur les autres. Les pressions du liquide: sur. la aiufi^e dû i^Unto>I^Qv/P'tiS^'/r:^QtiliBûrmaies à l'axe de projection et ne dpnnent rien dans Téquation. Il en est de même de la pression atmosphérique. Il n'y a donc à consldérei que le. poids du liquide, que nous repré^enlterons ^par P, et la composa ïjte normale R de la réaction du plan; car la composante tangeiitielle au plan est normale à l'axe de projection. Le poids P fait avec l'axe OX un angfe égal à 90° — a, et par suite sa projectîon sur OX est égale à Psina; c'est une force mouvante; la force R se projette
(Psina — R)e.
d'où r<|i^4^u,,,„;,,,.,^ ,. /;./;,;,;.„., ,,, ,„ ,, ,,,^
' Cétee rtaètîdti Hot-male! S6 "dédbmjfyôse en de(tot"|'^rtiéd:'ni'Ae, Téîti o(, est lia j>m5îjt)n rtaaijrie exerce sur te plàtt AB, ndraiafëàlént à dèplàîi',' pat le système pesant MNPQP^Q^î * ^^ ' ' '* " •»
. L'n^>xç^„-AV'sin^^ e3t la pression dynam i^u^ qui^ coDsidécée
totirtiè* Wferrièlé 'p'ar îé t^làri sur ft. teïne, îfti6^iirt€J tine'Ve/tiîne déviation aux filets liquides. Cette partie ptut être repiésèlitée par
le poids d'un cylindre liquide ayant: pour base A, pour longueur
d'arête — , ou le double de la hauteur due à la vitesse, et dans lequel
les arêtes feraient avec le plan de la base un angle ^. EÛjB peut encore se metire sous la forme
■ A' ' Vaiii^^^est i^ 'tottip(»ante de 4à vitesse noimale au. plaa^ et -r^ est
la section de la veiue par un plan parallèle. ' '
Le tnéoréme des quanutés dé mouvement nous donne ainsi la réaction totale R, mais la répartition dé cette pression R sur les divers éién^ents àfi contact du plan et du liquidé reste entièrement inconnue*
23Ô. Si, au lieu de prendre la section MN, oh avait pris une autre
. Fig. 159.. ,, ,£ect4oni4fl>l?i.M^«^ftffl(»eoiSft,ii(m)«Mr«t
. ,. trouvé! d'autres valejuiî^|3joutrte)pOa(i$'f, ; ;.la, vitesse \rh geetiw A>ôt3*3Wgle .â; , iï]iai&la<rjéMion,JR;4Qi!t*oujoi|jfaiîresler là même; si donc on coupe la veine liquiae par un second plari normal M', et cpi' en appelle ,A' , V pv P^i ' I^^ va teura que priefiftient' respectiretoiônf A, r^^ Vi p, P quand on étend le système liquide jusqu'à la section If, on doit avoir idwtiqtïemént" ■'» - '
P sin « + - XV sin ? = F sin a + - A'V'« sin ?',
fu J)îen . - ' .
tP' — P)siii aî^ ^ (AV'sin,?— A'V'sinP'). ' ^ ' '
Cette équation est facile à vérifier 5 P''— P pst k poids du système liquide compris entre les plans M et M'; désignons ce poids par f\ lious pouvons remplacer AV et AV par la dépense Q, Commune ' . «ux sections, et Téquatibn devient .. . ^
no
• 26sina.=t-*^(Vsmp— Y'sinp'). • •
Multiplions par Je temps 8 très çourA pembat, lequel. J^s .^Qtiops M et M', s'avaucept; en M,, et AH\,.VéquAtiw pr4Qéd£Wteî,.aju,ilti|)Uée par 0, n'est autre chose que l'équation des qufatités de,jjPjÇ.i:^viement
du système matériel MM'; sollicité. par la. pe;sa^iteur,. quand .gn lait
la projection sur Taxe OX. ,
