ÉQUILIBRE DUN FLUTDE PESANT
Déterminons d'abord la constante G. Pour cela, exprimons que la surface libre ATB', qui correspond à p = p^, pression atmosphérique, laisse au liquide un volume ÂTB'DG égal à celui qu'il occupait précédemment. La condition s'exprime par Féquation
\ %Krzdr. = sa* A,
en appelant a le rayon OD du vase, et h la hauteur initiale 01; le z de cette équation se rapporte à la surface libre. Or, pour cette surface on a
C + ^-Po
et par swte
\*23çr2dr = 2nf£ÇVdr + ^rr«dr— ^ ^ rdr\ Jo \pyJo 25^ Jo p^ Jo /
= «(£a« + îi!2!-EiiaA = .a«A.
Donc
C = pgh — pw« j + /)o»
et l'équation de la surface libre est
Po = 99^— ^^ + Po + ^ 99^^
OU bien
Sous cette forme on voit que la surface passe par le parallèle z===A, r==:-^, indépendant de la vitesse de rotation co et de la densité p.
l'oR polaie avoir à la Mb a:^ =s 0, y' x; 0 ; pac suite las palati de la Mnfaaa ■aliifeni à l'équalioD aux déiivées partielles py-^^ffscO^ doBiMntépralagéiiéraleest 2=r9(â;*4.yt^. Ce théorème correspond, dans ta géométrie de l'espace, à )a propriété <tue le cercle possède dana ta jplau da aoupar à angle «farolisat. layona.
TOURNANT AUTOUR W& fcA VERTICALE. 27
La distribution des pressions est donnée par la formule et dans le plan du fond du vase, où 2 = o»
Mais
p=:p„ + p^A est la preflBÎtm à l'état statique.
Elle eat dioiinuée pour tcHis ht» ppisita pour lesquels, r < -^ ; Elle reste la même si r =— :r , ou pour la projection du point K.
Elle augmente au delà, pour les points pour Ijssguels r > — :r .
Il en résulte un pliâionëiie curievx. Smfp^mm qu'on mette dans le vase de Teau et de l'huile. Si Ton feit tourner le vase avec une vitesse angulaire w, l'huile, étant plus visqueuse que l'eau, prendra la première la vitesse angulaire co ; l'eau, plus liquide, restera plus longtemps en repos et prendra d^abord des vitesses moindres. Elle formera donc dans les premiers instants comme un fond déformable sous les pressions de Thuile, qui, pressant plus fortement la région au delà
du cercle r = --= que la région extraie, kn f>r«adne à la surfiace
(le séparation une fonne concave vers le bas. A masure que le mouvement se prolonge» la communication du mouvement se fût entre i'iiuile et l'eau , de manière que l'eau finit par acquérir la vitesse angulaire de l'huile; en même temps la surface de séparation s'aplatit gradaellement, puis passe par la forme plane, devient concave vers le haut, et prend enfin la forme du paraboloîde de révolution qui correspond à la vitesse o) coounune à toute la masse. Le temps que met le mouvement à se propager d'un liquide à autre peut servir à mesurer la viscosité relative des deux liquides. Sur ces phénomènes si curieux on peut consulter, dans le PoUteamo de 1874, vol. XXII, un mémoire de M. Stanislao Veccbi, suivi d'une note de M. Marangoni. (Y. Nauftiû« Idraultcd^ vol. î, p. 391.)
