DISCUSSION ANALYTIQUE DE L' ÉQUATION

^ 18. Revenons à réquatîon générale

(4) dp = p (\dx + Ydy + Idz)

pour en déduire certaines conséquences analytiques.

X, Y, Z sont des fonctions données de x^ y, z.

Si dans ces conditions l'équilibre d'un fluide a lieu, la pression p est déterminée en chaque point du fluide, ainsi que la densité p, et par suite on est certain que l'équation [h] a une intégrale, et que la fonction p (Xda? + Xdy + Uz) est une différentielle exacte, ce qui peut avoir lieu de deux manières.

1*» Xdo? + Ydy + Zd2 peut être la différentielle exacte d'une fonction f{x^ y, z) des coordonnées x^ y et z. On a alors

dp = pdf.

L'équation f{x^ y, z) = G représente toutes les surfaces de niveau : la pression p est constante le long de chacune de ces surfaces. Donc p est fonction de G, et par suite p est constant, ou bien fonction de p. Le premier cas se présente lorsque le fluide est un liquide homogène; lé second, lorsque le fluide est un gaz soumis à la loi de Mariotte, car alors on a entre p et p là-relation p=Kp, où K représente une constante. Nous retrouvons comme conséquence un théorème déjà obtenu quand il s'agissait de la pesanteur : la surface de séparation entre deux liquides superposés de densités différentes est une surface de niveau. Autrement, le long d'une même surface de niveau

p serait variable, ce qui est incompatible avec la relation p = --^.

La densité p d'un fluide gazeux en équilibre étant la mCme tout le long d'une surfape de niveau, la température 0 y est aussi constante ; si la température varie, l'équilibre ne saurait subsister. De là les mouvements incessants de l'atmosphère terrestre, produits par l'inégal échauffement que le soleil communique à ses différents points.

De l'équation

àp=T9d/

DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE. 29

on tire, en observant que df = Xdx + Ydy + Zdz est le travail élémentah-e de la force (p, et que cette force est normale à la surface (le niveau du point où elle est appliquée,

dp = p9dj,

où ds représente la distance de la surface de niveau p à la surface de niveau p -+• dp.

La densité p étant constante pour toute la couche comprise entre ces deux surfaces, ainsi que la différence dp^ le produit ^d$ est constant en tous points de cette couche. Donc la distance de deux surfaces de niveau infiniment voisines est en chaque point réciproquement proporlionnelie à t intensité de la force extérieure en ce point,

2^.11 est possible que la fonction Xdx-^-Ydy + Zdz ne soit pas une diiTérentielle exacte; si l'équilibre existait néanmoins, il faudrait que Téquation

Xdx + Ydy + Zdz = 0

lût intégrable, car elle représenterait encore les surfaces de niveau, c'est-à-dîre les surfaces le long desquelles les pressions du liquide sont égales. Dans ce cas, c'est le facteur p qui rendrait cette équation intégrable, mais alors p ne pourrait plus être constant, ni fonction

de p seul : autrement, la fonction — aurait une intégrale qui appar-

tiendrait aussi à la fonction Xdx -f- Ydy -{- Zdz, laquelle n'a pas d'intégrale, par hypothèse. Ce cas ne se présente jamais dans les applications, les conditions physiques du problème étant généralement incompatibles avec la nécessité analytique d'une variation de densité.

19. De là il faut conclure que l'équilibre n'est possible, en gênérai, que ai la fonction Xdx + Ydy + Zdz est par elle-même une (lifTérentielie exacte, ou si les directions des forces dans l'espace ^nt telles, qu'il existe une série de surfaces les rencontrant à angle droit. On sait que, pour que cette propriété appartienne à la fonction proposée, il faut et il suffît que les équations de condition

dX dY

d\ dZ

dY dZ

dy dx^

dz ^ dx'

dz ^ dy*

soient identiquement vérifiées.

ao. INTÉGRATION DE- LTÉQUATION DlFFÉRE5TiELLE.

La tonctioD^, dofitla différentielle totale est égaléàXcfa?+Ydy+Zd2, s'obtiendra en effectuant trois quadratures. On peut poser, en effet,

U étant une fonction de x^ de y et de 2 ; V une fonction de y et de 2, et W une fonction de z seul. De ces hypothèses, on déduit successivement :

df « dV dx ' dx'*

dy dy dy*

Tz^''^ dz ^ dz ^ dz'

donc

dl '-^'

ËX=Y — — dy dy'

^ = Z-- — — — dz "" dz dz '

Les équations de condition montrent d'ailleurs qu'on a '= 0,

— —=0,^—7- = 0, de sorte que, conformément aux hypothèses,

dV dW

—- ne contient pas i», et -r— ne contient ni x ni y. On obtiendra

dy ^ dz ^

donc U, V, W, eu faisant l'intégration de Xdx comme si y et « étaient

(JTT Y — zn)^^ comme si z était constant, enfin de

fZ — J")^*' ®^ ^'^^ ^"^^ '^^ formule définitive

Cauchy a mis la solution sous une forme élégante :

Jlr!' / = C' X(x, y, z)dx + f Y(Xe, y, z) dy + {* 1[T^ yf,jZ)dz.

TRANSMISSION DES PRESSIONS. 3i

La première mtégration porte sur la variable x seule, la seconde sur y, la troisième sur z; x^, y^, z^ sont trois limites complètement arbitraires. Cette relation est aisée & vérifier.