ÉQUILIBRE D'UN SOLIDE

En effet, imaginons un déplacement virtuel imprimé au solide ; tout élément infiniment petit de surface a> recevra un déplacement 8s, faisant un angle a avec la normale, direction de la pression pci> qu'il subit; le travail correspondant est donc pwxSscosa. Mais coSscos a est le volume engendré par l'élément w dans son déplacement. La somme des travaux élémentaires est donc égale à la pression p multipliée par la somme algébrique des volumes engendrés par tous les éléments, c'est-à-dire au produit de p par Ta variation totale du volume du corps. Cette variation étant nulle, le travail est , nul, et l'équilibre est démontré.

M. Lalanne a donné, en 1877, une démonstration élémentaire du même théorème, fondée sur la considération de l'équilibre d'un polyèdre convexe quelconque. Étant donné un polyèdre convexe, sur chaque face A on applique en son centre de gravité, perpendiculairement à la face, une force P proportionnelle à Taire de cette même force. Pourvu que les forces ainsi définies soient toutes dirigées vers l'intérieur du polyèdre, ou toutes vers Textérieur, l'équilibre sera assuré. En effet, décomposons chacune des forces P suivant trois axes rectangulaires pris arbitrairement, et considérons les contours apparents du polyèdre par rapport aux trois plans coordonnés formés par ces axes. La composante P cos a, parallèle à l'axe OX, et appliquée au centre de gravité G de la face A du polyèdre, va percer le plan ZOY au point g y centre de gravité de la projection a de la face A sur ce même plan, ce qui revient à regarder cette composante comme une force proportionnelle à Taire a et appliquée au centre de gravité de cette aire. La composition de toutes les forces parallèles analogues, appliquées respectivement aux centres de gravité des projections des faces du polyèdre qui sont situées d'un même côté du contour apparent, donnera une résultante appliquée au centre de gravité du polygone formé sur le plan ZOY par la projection de ce contour apparent, et proportionnelle à Taire de ce polygone. Il en sera de même pour les faces du polyèdre situées de Tautre côté du contour apparent, et par conséquent les résultantes des forces Pcosa appliquées aux deux régions du polyèdre que sépare le contour apparent, sont égales, de sens contraires, et appliquées toutes deux au centre de gravité du contoifi*

PRINCIPE DARCHIMÈDE. 39

apparent projeté. Donc elles se détruisent. Il en est de même pour les autres composantes Pcosp, Pcosy. En définitive les forces considérées peuvent se décomposer et se recomposer de telle sorte, que

les composantes se détruisent deux à deux ; ce qui démontre le théorème, sans qu'on ait besoin d'employer le théorème des monienis.

La démonstration donnée pour ce polyèdre convexe s'étend sans difficulté à un polyèdre, puis à un solide de forme quelconque ; car on peut toujours considérer un solide comme formé de la juxtaportttion d'une infinité do tétraèdres infiniment petits.

25. On fait souvent usage, dans l'hydrostatique, de la proposition suivante, qui résulte des mêmes principes. Si un contour plan ABC subit, soit à l'intérieur, soit à l'extérieur,

une pression normale en tous ses points, à raUon , de p unités de force par unité de longueur^

ces pressions ont une résultante égale et contraire à la pression totale exM.cée dans les mômes con- -"-""""^ * di tiens sur la droite A G qui ferme le contour. Si le contour est fermé de lui-même, les pressions qu'il subit se font équilibre.

La même proposition a lieu pour une surface terminée à un contour plan. La résultante des pressions, soit intérieures, soit extérieures, réparties uniformément à raison de p kilogrammes par unité de surface^ et toutes normales aux éléments pressés, est égale et contraire à la pression totale exercée dans les mêmes conditions sur le plan qui achève de fermer cette surface.

PRINCIPE o'aRCUIMÈDE.

26. Le théorème d'Archimède fait connaître la résultante de toutes les prêtions exercées par un fluide pesant en équilibre, sur un corps solide en repos qui s'y trouve plongé en tout ou en partie. Cette ré-

sultante est une force verticale dirigée de bas en haut, égale au poids du volume de fluide déplacé par le solide, et elle est appliquée au centre de gravité de ce volume.

On démontre très facilement ce théorème en décomposant successivement le solide en éléments prismatiques parallèles à trois axes, dont deux horizontaux et rectangulaires, et le troisième vertical. On reconnaît aisément que les pressions projetées sur les deux axes horizontaux y donnent des composantes qui se détruisent deux à deux, tandis que, quand on projette sur Taxe vertical, chaque élément prismatique entièrement immergé subit sur ses deux bases une différence de pression égale au poids du liquide dont il tient la place, et dirigée

de bas en haut.

On remarquera que, pour énoncer le théorème d'Archimède» nous n'employons pas l'expression consacrée de perle de poids, expression inexacte, qui a trompé un grand nombre d'inventeurs.

27. Lorsqu'un corps solide M est entièrement plongé dans un fluide, la poussée exercée par le fluide sur ce corps ^»- '^- est une force verticale, dirigée de bas en haut, et ^^-- M égale au poids du volume de fluide déplacé. Elle a pour ' ] point d'application le centre de gravité 0 de ce volume. ^g / 11 faut et il» suffît pour qu'il y ait équilibre, que la v^l^ poussée P du fluide soit égale au poids Q du corps, et ^Q que le point 0, centre de gravité du volume déplacé, et

le point G, centre de gravité du corps solide, soient sur la même verticale. Pour la stabilité , il faut de plus que le centre de poussée 0 soit au-dessus du centre de gravité G du solide; autrement, un petit dérangement du solide ferait naître un couple dont l'effet serait de faire chavirer le corps plongé.

Dans cet exemple, les points d'application des deux forces P et Q, qui s'équilibrent, sont fixes dans le corps M, comme si le corps était

suspendu dans le vide à un fil attaché au point 0. Il n'en est plus de même quand il s'agit d'un corps flottant à la surface d'un liquide; ici, iâ poussée est appliquée au centre de carène , c'est-à-dire au

centre de gravité de la partie plongée ;

'^" * si Ton imprime au solide un dérange-

A, . ' ment très petit arbitraire, ce dérange-

*( ^' ™6ïït modifie généralement à la fois la

valeur de la poussée et la position de son point d'application, et le problème de la stabilité présente par suite une diflRculté d'un ordre plus élevé.

La première théorie proposée sur ce sujet est due à Bouguer (1746) ; elle manque de généralité, car elle suppose, d'une part, que le solide flottant a un plan de symétrie vertical, et d'autre part, qu'on lui donne un déplacement infiniment petit parallèlement à ce plan de symétrie, sous la condition de laisser constante l'aire AEB de la section transversale immergée. Dans ce mouvement, qui n'altère pas la valeur de la poussée, puisque le volume déplacé ne change pas, le centre de carène 0 décrit dans la section transversale un élément de courbe 0(y parfaitement déterminé. Bouguer a donné le nom de mélacentre au point P où la verticale (XF, menée par le nouveau centre de carène, coupe la position OF prise par la verticale menée par le point 0, centre de carène primitif. Le centre de gravité du corps est situé quelque part en G sur la droite OF. Le corps tendra donc «\ revenir à sa position 'l'équilibre sous l'action du couple formé par les forces égales n et F', si le point P est au-dessus du point G, c'est-à-dire, si le centre <'e gravité du corps est plus bas que le métacentre.

28. Dne théorie plus récente, due à Duhamel, résout la question ^vec plus de généralité et plus de rigueur, sans toutefois l'épuiser complètement. Elle est fondée sur l'application du théorème des forces vives.

Soit XY le plan horizontal qui forme la surface libre du liquide. Le corps AEB, lorsqu'il est dans sa position d'équilibre, plonge dans

Fip. iO.

le liquide jusqu'à k section AB; le centre de graTité 0 de la partie plongée est donc alors situé sur la même verticale, OG, que le ceatre

de gravité 6 du corps, et la poussée du liquide, qui fiiit équilibre au poids du corps, est égale au poids du volume AEB de liquide. Appelons a la distance des deux points connus 0 et G. Imaginons qu'on ait imprimé au solide un déplacement infiniment petit ; la figure le représente plongé jusqu'à la section CD ; à cette position correspondent une quantité Ç = MI, dont s'est abaissé au-dessous de la surface libre le centre de gravité, I, de la section à fleur d'eau, et un angle 0=:HGO, dont la droite GO s'est inclinée sur la verticale, angle égal à celui qne Mt la section AB, dans sa nouvelle position, avecle plan horizontal. Nous commencerons par chercher le travail de la pesanteur et des poussées, lorsque le solide passe de sa position d'équilibre à la position qu'il a sur la figure. Les poussées, au sens près, sont assimilables à la pesanteur ; car elles se réduisent à des forces verticales agissant de bas en haut, et égales au poids d'un certain volume de liquide; on pourra donc appliquer à la recherche de leur travail la méthode qui sert à évaluer le travail de la pesanteur.

1° Le travail du poids du corps s'obtient en multipliant ce poids par la quantité verticale dont s'est abaissé son centre de gravité, G. Or le poids du corps est égal au poids du volume liquide AEB, que le corps déplace dans sa position d'équilibre ; appelons V ce volume et Il le poids spécifique du liquide ; le pioduit n V sera le poids du corps. A l'origine, le centre de gravité était à une distance GF = z de la surface libre ; il est maintenant à la distance GH =z, du même plan horizontal. Donc il s'est abaissé de la différence 2, — s, et le travail de la pesanteur est égal au produit

nvcz, — r).

2" Le travail des poussées peut s'évaluer en considérant successivement les deux volumes AEB, ABDC ; Tun AEB représente le déplacemeiit primitif du solide (*), tandis queTautre, ABDC, provient du dérangement du corps. A Tégard du premier volume , tout se passe comme pour un corps de poids nV, dont le centre de gravité se serait élevé de la quantité OK — OF ; le travail correspondant est exprimé par le produit

— nv(OK-OF).

Or

OK = GII — a cos 6 = 2j — a cos 6, et

OF = GF--a = r — a.

La première partie du travail des poussées est donc égale à

• — nV[5;i— r + a(l— cosO)],

ou encore à

— nv^z, — 2 + 2asin*^V

8" Le volume ABPC peut être confondu, sans erreur sensible, avec un prisme tronqué à arêtes verticales, qui aurait pour base oblique la section AB ; car la distance des plans AB, CD, est supposée infiniment petite, et de plus nous admettons que les sections du corps solide varient d'ime manière continue dans le voisinage du plan de flottaison. Nous pouvons donc, en négligeant un anneau infiniment petit dans deux dimensions, substituer un prisme à génératrices verticales à Félément solide compris entre les deux plans de flottaison successifs. Nous pouvons ensuite décomposer ce prisme en éléments prismatiques verticaux, mn, ayant pour base oblique dans le plan AB un élément dX de la surface de cette base, et pour hauteur la distance mn de cet élément au plan de la section CD. Pour évaluer cette hauteur mn^ menons par le point I, centre de gravité de la section AB, un plan CD' parallèle à CD. Les deux plans AB, CD', se couperont suivant une droite LN passant par le point L Du point m

;*' Le mot déplacement est pris ici dans le sens de volume du liquide déplacé, qu'on lui aUribtie dans la marine et dans les constructions navales.

abaissons sur cette droite LN une perpendiculaire ml; le plan CD' coupe le prisme élémentaire mn suivant la section p. Joignons pi ; cette droite sera perpendiculaire à LN, et fera avec ml un angle mlp égal à l'angle des deux plans AB, CD', ou enfin égal à l'angle 0. Soit X la distance ml de l'élément d\ à la droite LN, cette distance étant prise positivement au-dessous de la droite LN, et négativement au-dessus. Nous aurons

mp = xsinÔ, et par suite

mn = MI + wip = 1^ + a; sin 0.

La section droite du prisme élémentaire est d'ailleurs égale à dXcos6, et son volume est égal à

(Ç + a?sin6)cos0dX.

11 s'agit de trouver le travail de la poussée sur tous ces éléments Fig. 20. prismatiques, qui, dans l'état d'équilibre, étaient

q't 1 en dehors du liquide, et qui s'y sont tous enfoncés,

y Pour cela, considérons d'abord d'une manière générale un prisme droit pq, déjà enfoncé dans un liquide xy jusqu'à une certaine profondeur, pr=u, et ayant une section droite a>; supposons qu'on l'enfonce encore d'une quantité infiniment petite pp'=du; le travail de la pression du liquide sur la base p sera égal, en valeur absolue, à Quiùdu ; le travail total correspondant à un enfoncement h déterminé est la somme de tous ces travaux élémentaires, entre les limites u == 0 et t* = ft j c'est-à-dire

\ Uutûdu = - IIco A* = Uwh X - .

C'est, en d'autres termes, le produit du poids du volume liquide déplacé, par la distance de son centre de gravité à la 'surface libre. Le travail ainsi obtenu doit d'ailleurs être pris négativement.

Appliquons cette règle à l'élément prismatique mn (fig. 19) ; nous

obtieodrons le travail cherché en multipliant le poids de Télément

n(î: + xsin6)cos6dX,

par la moitié de sa hauteur ^-f-^^^i^ ^9 ^^ ^^ donnant le signe — au produit : le résultat est

— 3 n(Ç + X sin 0)* CCS edX,

et nous devons faire la somme de toutes les expressions analogues, en l'étendant à tous les éléments dX de la section AB. Développant le carré, et indiquant les sommations, il vient :

— 5 n ces e

h* \\ dk + 2î: sin e {[ xd\ -h sin* 8 [\ x^âxl.

Or, Il dX est l'aire û de la section AB; \\ xdX, somme des

moments des aires élémentaires, est le produit de Taire Û par la diâtance x' du centre de gravité de la section AB à la droite LN, c'€5i-à-dire par zéro, car la droite LN passe par le centre de gravité de la section ; la seconde intégrale est donc nulle. La troisième est \^momenld[vtertie^ I, de la section par rapport à la droite LN. La ioûction précédente se réduit ainsi à

— incose rû;« + isin*ô].

Réunissant les trois parties que nous avons séparément calculées, il vient pour le travail demandé

T = nv(zj ^) ^nv ^Zj — 2 -f 2a sin* ^) — | Ocose (ûî;» + I sin» 6) = — 0 fv X 2a sin* g + ^ I ces 6 sin* o] — 5 nû?*cos 0.

Celte formule n'est vraie que pour de très petites valeurs des variables 9 et î^; et, en nous bornant aux infiniment petits du second

ordre, nous pourrons y remplacer sin 6 par 6 et ces 9 par l'unité ; il vient alors

29. Introduisons cette expression dans l'équation des forces vives.

Soit V m^Q* la somme des forces vives communiquées au corps dans

une position initiale définie par les valeurs Ô, et ^^ des variables 8 et w,

Tq la valeur de la fonction T quand on y fait ^=\ et î^ = Ç^ ; V mu'

la somme des forces vives qu'il possède dans la position représentée par la figure. Nous aurons, en faisant abstraction des frottements du liquide et des résistances afférentes aux mouvements communiqués à ses propres molécules,

2 mt- « = 2 ^V+2T - 2T, = C - n(aV-f 1)0» —Hûi:».

G désignant la constante 2mro* + II(aV-fI)6^" + nûÇ"^, qui est

nécessairenfient positive et infiniment petite.

La stabilité de l'équilibre sera assurée si les variables 0 et ^ ne peuvent acquérir que des valeurs infiniment petites. Or l'équation précédente, dans laquelle le terme "^tnt)* est essentiellement posdijfr, nous montre que la somme

n(av + 1)0* + nùv

est toujours moindre qu'une quantité positive G, constante et infiniment petite. Deux cas peuvent se présenter ici, suivasit que le point 0 est au-dessus du point G, ou au-dessofus.

1° Si le point 0 est au-dessus du point G, la quantité a est positive, et par suite la somme

n(aV + 1)0' + UQl*

est composée de deux termes essentiellement positifs ; elle est d'ailleurs moindre que G. Donc 6 et Ç sont tous deux limités, et la stabilité de Téquilibre est certaine.

2* Si le point 0 est au-dessous du point G, la distance OG doit être prise Bégativement dans la formule, ce qui éqiûyaut à changer a en — fl, en la prenant en valeur absolue. La fonction de 9 et de ÎJ prend alors la forme

il(l — aV;0*4-BÛî:*,

et la stabilité se trouve encore assurée si I — aV est positif, ou si

Mais si l'on avait a < =i, le premier terme deviendrait négatif, et

par suite l'équation des forces AÎves n'assignerait aucune limite pour les valeurs de 8 et Ç Dans ce cas, le petit dérangement donné au solide peut s'accroître au point d'amener le corps à chavirer.

Pour que VéquiUbre soit stable par le seul jeu -des pousséeSy il

H?. 21. faut ionc et il suffit que le centre de gravide 6, du corps

flottant soit situé au-dessous d'un point P, pri5 au-dessus

du centre de carène 0, sur la verticale qui passe à la fois

•' par les points 0 et G^ et à une distanœ OP égale au rapport^

rz, du moment d inertie de la section de flottaison par rapport

**> à wte êroïle menée dans son pttm par son centre de gravité^ au volume de liquide àéfdaeé. C'est à ce point P qu'on peut donner le nom de métaccntre.

Le moment d'inerfie I de la section AB varie avec la direction de

la droite LN, par rapport à laquelle on prend la somme U x^dk.

La condition a < t; doit être remplie pour toute droite passant par

le centre de gravité decette section ; il suffit donc qu'elle le soit pour la mokidre valeur du moment d'inertie» qui correspond au cas où l'on bit coiQcider la diroiie LN avec la direction du girand axe de ^'flitpse eemtrale d'inertie.

Les actions dynamiques du fltiide sur le solide immergé sont négligées dans cette analyse. Lorsque le solide subit des déplacements dans un liquide primitivement en repos, les actions dynamiques

équivalent à des résistances qui tendent à restreindre les oscillations; le corps flottant refoule le liquide du côté où il se porte, et appelle au contraire le liquide du côté qu'il abandonne; il y a augmentation de pression d'un côté, et diminution de pression de l'autre ; les forces ainsi développées tendent à ramener le solide à la position qu'il vient de quitter. Les actions dynamiques augmentent donc alors la stabilité de l'équilibre. Il n'en est pas toujours de même des actions dynamiques qui proviennent des mouvements propres du liquide, et le problème de la stabilité d'un bateau au milieu des vagues, ou plutôt le problème des oscillations auxquelles il est exposé dans de semblables conditions, est loin d'être encore scientifiquement résolu.

30. Lorsqu'un corps de forme prismatique flotte à la surface d'un liquide, de manière que ses arêtes latérales soient horizontales, il peut y avoir plusieurs positions d'équilibre, et Ton passe de Tune de ces positions à l'autre en faisant tourner le corps à la surface du liquide autour d'axes parallèles à ses arêtes latérates. Il est facile de reconnaître alors, que les positions d'équilibre successives sont alternativement stables et instables^ et qu'elles sont par conséquent en nombre pair. En effet, deux positions d'équilibre stable successives, A et G, sont caractérisées par la tendance du prisme, quand on le déplace, à revenir à la position qu'il a quittée. Or, si l'on augmente suffisamment le déplacement à partir de la position A, on pourra donner au prisme une position telle, qu'il tende à revenir vers G et non vers A; entre les positions A et G existe donc une position B, où il y a doute si l'équilibre se détruira vers A ou vers G, c'est-àdire une position d'équilibre instable. Les déplacements qu'on a en vue ici sont effectués autour d'horizontales parallèles au prisme. On peut comparer les positions A et G à deux vallées parallèles entre lesquelles existe nécessairement un faite, B. Entre deux positions stables consécutives, il y a une position d'équilibre instable ; donc le nombre des positions d'équilibre est pair. On excepte le cas où l'équilibre serait indifférent.