TOTALE

limite, ce polygone se change en une courbe, et le tracé de cette courbe indique toutes les circonstances du mouvement du point

Fig. 2i. donné. A mesure que le mo-

bile se déplace sur la combe AB, l'extrémité du rayon vecteur OC parcourt la courbe auxiliaire CD; on peut donc considérer le point G comme un mobile fictif, dont les vUesses successives sur sa trajectoire CD seraient égaies et paraiîétes aux aeeéléf allons totales du mobile sur. sa trajectoire AB. -En eflèt, si pendant le temps 9 l'accélération du mobile M est égale à /, le mobile auxiliaire G décrit dans ce même temps, sur Ja courbe CD, un arc parallèle à j et égal àj9; sa vitesse est donc é-ale àj. "

Nous appellerons cette courbe auxiliaire l'indicatrice des accélèrelioM totales. M. Paul Serret a donné le nom ai indicatrice sphirique à la courbe que l'on obtient en menant par un même point 0 des parallèles aux tangentes successives d'une courbe donnée, et en coupant la surface conique ainsi engendrée par une sphère ayant le point 0 pour centre ('). Notre indicatrice des accélérations totales devient l'indicatrice sphérique de la courbe AB, si lé mouvement du point M sur la courbe AB est uniforme. Gar alors tous les rayons QC, OD,... égaux aux vitesses, sont constants, et la courbe CD appartient à une sphère dont le centre est au point 0. On peut remarquer aussi l'âBalogie de rindicatrice des accélérations totales avec le polygone de Varijffum, dont on aesert en statique pour établir la théorie des polygones et des lignes funiculaires. Les rayons vecteurs de ces lignes • aaxilisftres sont proportionnels et parallèles aux vitesses dans un cas, aux tensions dans l'autre, et les arcs ou côtés de ces courbes sont proportionnels et parallèles aux accélérations dans le premier cas

;*) Celte courbe anxiliafre a élé souvent employée par Gausg. — Voir sur cette ques- '•"n te TraM de calcul différmiiel de M. J. Dertrand, § 666. — L'indicatrice «es accélëc»- "'«ns totales est Ykodographe de la ttiéorie des quaternions.

o2 PRINCIPE DE L'INERTIE.

aux forces extérieures appliquées à la courbe funiculaire dans le second.

33. La dynamique du point est fondée sur ^cette décomposition d'un mouvement quelconque en deux autres mouvements, l'un uniforme et tangentiel, Tautre uniformément varié. On sait qu'elle repose sur trois principes, ou postulata, qu'on ne peut démontrer directement, mais qu'on admet, sauf ensuite à vérifier Faccord de leurs conséquences logiques avec les faits observés.

Le premier de ces principes est le principe de finertie; il consiste en ce qu'un point matériel ne peut de lui-même modifier son état de repos ou de mouvement; s'il est en repos, il y demeure indéfiniment; s'il est en mouvement, il conserve indéfiniment sa direction et sa vitesse, tant qu'il ne subit pas d'action extérieure.

Appliquons ce principe à un point mobile qui parcourt une courbe pjg 23: avec une vitesse variable de grandeur et de

direction. Au mument où le point est en A, il a une certaine vitesse v dirigée suivant la tangente AT. Si ce point était abandonné à lui-même, il parcourrait donc la droite AT avec une vitesse constante r, et au bout d'un temps très court , 9, il serait parvenu en G, après avoir décrit l'espace AG = uô. Or, au bout de ce temps 6, le corps se trouve en B au lieu d'être en G , ce qui constitue un écart BG entre sa positioa réelle et la position que lui assignerait le principe de l'inertie. Cet écart nous révèle l'existence d'une cause qui agit sur le point mobile, c'est-à-dire d'une force^ qui, pendant le temps Ô, a eu le point mobile pour point d'application, qui a été dirigée parallèlement à

GB, et qui enfin est proportionnelle à l'écarl produit, ou à la distance

GB = - yS*, ou encore à l'accélération j. La décomposition du moa-

lit

vement eu deux, l'un uniforme et tangentiel, l'autre uniformément varié et dirigé suivant l'accélération totale, conduit donc à assi* gner le rôle spécial de l'inertie et celui de la force appliquée au mobile.

INDÉPENDANCK DES EFFETS DES FORCES. r>3

54. Lo principe de find^endance des effets des forces les unes à l'égard des autres, et de chacune à Tégard du mouvement antérieurement acquis, permet d'additionner, de retrancher, de composer et de décomposer les forces, comme on ferait pour les accéléi-ations qui leur sont proportionnelles. Puisque .l'on peut regarder l'écart CB subi par le mobile comme décomposé en deux ou plusieurs déplacements simultanés, dont la coexistence équivaut an déplacement unique CB, on peut aussi regarder la force proportionnelle à CB comme équivalente à l'action simultanée de diverses forces, proportionnelles à ces divers déplacements composants. On passe ainsi, à l'aide du second postulatum, d'un fait cinématique, la composition des mouvements, à une loi mécanique, celle de la composition des forces; on peut en déduire aussi les lois des mouvements élémentaires produits par une force de grandeur constante, à savoir le mouvement rectiligne uniformément varié, et le mouvement parabolique.

La force qui intervient dans le mouvement d'un point pour altérer à chaque instant, d'une certaine manière, la vitesse de ce point en direction et en grandeur, est, à chaque instant, proportionnelle à l'accélération j. La mesure de la force s'obtiendra donc en multipliant Taccéléralion par un certain coefficient, constant pour le m^me point matériel, et variable d'un point matériel à l'autre. Ce coefficient est, pour ainsi dire, la mesure numérique d'une propriété iohérente au point matériel que l'on considère, propriété en vertu de laquelle ce point, sollicité par une force donnée, prend une accélération parfaitement définie. Ou appelle masse ce coefficient ; si on le représente par m, le produit mj sera la mesure de la force, et l'on pourra poser l'équation F=mj; elle suppose cette convention : que l'on prend pour unité de masse la masse du point matériel auquel Tunité de force imprime une accélération égale à l'unité.

55. Le troisième principe, ou principe de C action égale et contraire à la réaction^ nous apprend que les forces naturelles sont binaires et coojugaées, de telle sorte, qu'à une force F, agissant sur le point matériel A et émanant d'un point matériel B, correspond nécessai-