THÉORÈME DES AIRES
libre, la force est nécessairement nulle et le mouvement uniforme. Dans le mouvement circulaire uniforme 6n a constamment
r;. = *' et dv = 0. Enfin nous allons voir que le cas particulier
connu sous le nom de théorème des aires projetées n'est qu'une application de cette équation,
58, Soit AB la projection sur le plan du papier de la trajec* ioive d'un point matériel; on suppose que la force qui sollicite le point rencontre constamment un axe normal à ce plan et projeté au point 0. Menons par le point 0 un axe polaire quelconque OX, et rapportons la p<Jsition du point mobile M aux coordonnées r =^ OM ei 0=:MOX. Menons au point M une tangente MT à la trajectoire AB, puis uoe ttongente M'T au point M' infiniment voisin. Les deux tangentes M' T' et MT se coupent en un point 1 , et l'angle T'IT est l'angle de contin- . gence dco. Le rayon vecteur MO est, par hypothèse, la direction de la force projetée sur le plan ; donc l'angle TMO, 'ou son supplément, est ce que nous appelions tout à l'heure l'angle ^l ; supposons que la force soit dirigée de M vers 0 ; alors {/ sera égal à TMO, et par suite l'angle T M'O sera égal à (jl -}- d[x. La formule connue des tangentes en coordonnées polaires nous donne d'ailleurs
Fig. r.
tg OMT" =
dr
Donc
rdO
Nous pouvons Êtcilement évaluer l'angle dco ; la somme des angles du quadrilatère MOM'I étant égale à quatre droits, nous aurons Téquation
(s — dw) + ji + de + (n— |A — dii)= %r..
^S THËORËMË
Réduisant, il vient
dix} = dô — - (2(ju
SubstituoM cette valeur de dw dans l'équation — = , nous
^ V tang ijl
trouverons,
dç __ dO dfjL
V ~ tang {JL ~~ tang (&'
Nous remplacerons tang (x , dans le premier terme du second membre seulement, par sa valeur — -j— , et nous aurons
V r tang [A '
équation intégrable qui donne
xr &in {A '= constante.
Or r xrsin jjL est le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon vectenr OM ; en effet, dans le temps rff , le point M décrit un élément vAt de trajectoire, et le jayon vecteur engendre un triangle qui a pour base vdt et pour hauteur r sin [x. L'aire décrite par le rayon vecteur OM, dans l'unité de temps, est donc constante, et le théorème des aires est démontré (*).
Enfin l'équation — = est la traduction analytique d'un
théorème très célèbre dans l'histoire de la mécanique, le théorème de la moindre action.
S9. Nous, tirerons une troisième conséquence de la considéra- ^'«' *^- tion du triangle auxiliaire OCD. Nous
avons entre les trois côtés de ce triangle ^^ la relation
ÔD* = ÔC* -4- CD* H-20CxCDxcosp.
{*) n est fadle de démontrer géométriquement ce théorème, et d« troatrer de plus Ifr valeur de rac«élération totale. Voir noire Traité de Mécanique^ \, §§ ]12, 113 et lié- (Hachette, 1880).
Remplaçons OD par v^, OC par v, CD par 76 :
^i* = u* + j* 6« + 2y;6 cos{ju Il est facile d'en déduire le théorème des forces vives.
ÔH
Fig. i9.
Prenons en effet Tindicatrice des accélérations totales PP', construite en menant
par le point 0 des droites OP, OP,,
égales et parallèles aux vitesses successives du mobile aux points M, M,,.....
de sa trajectoire. Les arcs infinimait
petits PP,, P,P,, de Tindicatrice
représentent les prodiâtsyô, y,8,/,0,
des accélérations totales par Tintervalle de temps 8, et nous aurons , en appliquant successivement l'équation précédente aux pct'.ts triangles OPP,, OP^P,,
