MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ

entre deicx époques^ de la somme des quantités de mouvement projetées sur un axe fixe^ est égal à la somme des impulsions élémentares des forces extérieures^ projetées sur le même axe, pendant le même intervalle de temps,

II peut arriver que, parmi ces forces intérieures, il y ait des forces tenant lieu de certaines liaisons. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour un corps solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe ; les réactions de l'axe sont des forces extérieures au système, dont les projections doivent entrer dans l'équation des quantités de mouvement.

hh. Le théorème du mouvement du centre de gravité est un corollaire de la proposition précédente. Le centre de gravité d'un système est le point dont les coordonnées jj^, y,, jz,, sont à chaque instant définies par les équations

X, y, z étant les coordonnées d'un point quelconque m du système, et les sommes V étant étendues à tous les points.

Prenant les dérivées par rapport au temps, et appelant V, la vitesse du centre de gravité, nous aurons

Vm 2 ^ = 2 ^^""^

Vi^ 2 *" = 2 ^^•^

les indices r, y, z indiquant toujours les projections sur chacun des trois axes.

éi MOLVEMExNT DU CENTRE DE GRWITÊ.

Nous pouvons remplacer les expressions y]mV^ — ^fnv^^... dans le premier membre des équations des quantités de mouvement, par les quantités égales Ç^^^ — v^J ^m,... ce qui nous donnera, en définitive,

MVi,. - Mo,,, = 2 ^ f » dL

M est la masse totale du système, que nous représentions par V/w.

Ce» trois équations sont les équations du mouvement d'un point de masse M, sollicité par toutes les forces F transportées en ce point parallèlement à elles-mêmes, et animé de la vitesse v^ à l'origine du mouvement. Le centre de gravité du système se meut donc comme

un point de masse M= ^m, sollicité par les forces extérieures

transportées en ce point parallèlement à elles-mêmes, et donnant lieu par leur composition à ce qu'on nomme la résultante de translation.

D*où résulte encore ce corollaire, que si les forces extérieures soni toutes nulles, ou se font équilibre, ou se réduisent à un couple unique, le centre de gravité a im mouvement rectiligne et uniforme, ou bien demeure immobile.

àb. Le théorème des moments des quantités de mouvement est susceptible d'une pareille extension, qu'on lui donne au moyen d'un artifice tout à fait semblable. On prend pour chaque point, à deux époques, les moments des quantités de mouvement par rapport à un axe fixe; l'accroissement subi par cette quantité, d'une époqi:e à l'autre, est égal à l'intégrale des mouients par rapport au même axe des impulsions élémentaires de toutes les forces appliquées à ce poiiU. On distinguera, dans le second membre de cette égalité, les forces extérieures des forces intérieures ; puis l'addition de toute -

les équations éliminera ces dernières fwces, puisque, à toute force Z^, correspond, comme nous l'avons vu, une réaction — f^^ agissant en sens contrsdre sur la même droite. Les moments de ces forces par rapport à un même axe sont donc égaux en valeur absolue et ont des signes contrsdres. Leur somme se réduit à zéro, et on arrive,, en définitive, au théorème suivant :

L accroissement^ entre deux époques^ de la somme des moments des qtuinlitésde mouvement par rapport à un aœe fixe^ est égala la somme des moments par rapport à cet axe des impulsions élémentaires des forces extérieures pendant le même intervalle de temps.

46. Proposons-nous, en dernier lieu, de généraliser le théorème des forces vives.

Pour un point matériel de masse m, soumis à une force extérieure F, et à des forces intérieures /,, /,, /,«•••• A» on aura, entre les forces vives mV et mv^ relatives à deux positions successives du système,

1"»^*— -m^=\PC0Sfidj+V/|C08[JL|rf*+ \/tC0Sj4d*+,..+ \/»C08fAnCÏ*i

h l^tf* v^n ^^^^^^ I^ angles des forces F et / avec la trajectoire du point.

Si Ton écrit la même équation pour tous les points du système, et qa*OD ajoute, on obtiendra pour résultat une équation unique,