mV«— 2 ^ mt>*= 2 V FcosfJid^ + 2 N/iCOSjndj

les sommes "V. étant étendues à tous les points et ài toutes les

forces. Le second membre contient deux groupes de termes : le premier groupe est la somme des quantités de travail développées par toutes les forces extérieures pendant le passage de la première position à la seconde; le second groupe est la somme de tous les travaux des forces intérieures. Cette dernière somme peut s'exprimer plus élégamment en observant que les forces intérieures sont toutes mu-

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tHelles, ee que le travail éléiBcntairededeuxforces conjuguée» (/,,-*/,)

3st le produit de leur yateor coramane par la yanatton dr de la dis-

Figr- 3«. tance de leurs points d'appIîcatSon. Le travail

f--::r- des forces intérieures peut donc être représenté

par une somme dlntégrales de la forme

fiir; et ces intégrations pourront s'effectuer dès que l'on connaîtra

la loi qui lie la force mutuelle / à la distancé r des molécules entre lesquelles s'exerce cette acticm mutuelle.

47. L'équation des forces vives se distingue de celles que nous avons précédemment obtenues, en ce que les forces intérieures ne disparaissent généralement pas. Il y a cependant trois cas principaux où Ton n'a pas à en tenir compte : !• le cas des systèmes invafiables^ parce qu'alors les distances r des molécules sont constantes et que tous ks dr sont nuls ; — 2* le cas d'^un système fluide parfait, lorsqu'il n'est soumis à aucune variation de volume ; car alors, les forces intérieures / sont toutes nulles» ou bien les dr sont tous

égaux à zéro ; — S"" enfin, le cas d'un systène élastique soumis à des vibrations qui font repasser périodiquement ses molécules par les

mêmes positions relatives. Les éléments de la somme \ fdr ne sont

pas alors constamment nuls, mais la somme elle-même s'annule périodiquement, et, pourvu qu'on applique Téquation des forces vives entre des époques convenablement choisies, on n'aura pas à y introduire les termes relatifs aux forces intérieures.

A8. L'équation des forces vives est la plus importante des équations de la mécanique : nous nous arrêterons un instant à la dis* cuter.

Observons d'abord que cette équation laisse de cAté toute force dont le travail est nul : ainsi les réactions normales des surfaces et des courbes fixes sur le^uelles les points sont assujettis à glisser, les réactions des points ou des axes fixes, les tensions des li^s dont k longueur reste invariable, les réactions mutuelles de corps qui glissent l'un sur l'autre sans développer aucun firotteme»! tangentiel,

DES FORCES VIVES. ti7

toutes ces forces, la plupart du temps inconnoea dans les questions qu'on a à traiter, n'entrent point dans l'équation des forces vives.

Si le système proposé est à liaisons complètes, c'est-à-dirç, si le trajectoires des divers points sont connues, et si le mouvement d'ui point en particulier suÏBt pour déterminer le mouvement de tous ie* autres points, il suffit d'une équation pour définir le mouvement du système, et c'est, en général, l'équation des forces vives qu'on adopte de préférence aux autres. C'est pour cela que cette équation est d'un usage si fréquent dans la théorie des machines. La considération des travaux des forces a, dans ce cas, une importance particulière.

L'équation des forces vives étabUt l'équivalence entre une somme

de travaux élémentaires, et la variation, V - mV — V - mu', de

la demi-force vive du système. On peut donc assimiler cette variation à un travail II est facile de trouver la force à laquelle ce travail

correspond. Observons, en effet, que la différentielle de ^mi;* est mvdvy

OU bien,, en remplaçant v par — «

dv , at

Or, m -|- est la composante tangaatidle de la force qui sollicite

le point m considéré comme libre; m -r X d5 est donc le travail élé-

at

meotaire de cette force. On donne le nom de force d inertie à une

force égale et contraire à la force qui sollicite un pomt libre; c'est,

pour ainsi dire, la réaction du point, égale et opposée à l'action qui

s'exerce sur lui. On voit que le produit m — x,ds, ou mvdv, pris

avec le signe — , est le travail élémentaire de la force d'inertie. Prenant rintégrale entre les deux positions du point mobile, on aura pour ==omme l'accroissement changé de signe de la demi-force vive de cti point, et par suite, faisant la somme pour tous les points du système

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