CONSERVATION

et réunissant tous les termes dans le même membre de Téquation, on pourra formuler le théorème des forces vives ainsi qu'il suit :

If une position à une autre d an même système matériel mobile^ la somme des travaux des forces extérieures^ des forces intérieures et des forces d inertie^ est canstamnient égale à zéro.

Cette relation est une conséquence immédiate du théorème gêné* rai de d' Alembert, en vertu duquel ily a à chaque instant équilibre entre les forces qui sollicitent un système et les forces d inertie de ses différents points.

A9. Le travail élémentaire d'une force F appliquée à un point m

qui subit un déplacement ds a pour exprès- P sion F cos [Jidj. Si Ton appelle X, Y, Z, les composantes de F parallèles à trois axes rectangulaires, et dx^ dy^ dz^ les projections sur les mêmes axes de l'élément ds, on peut remplacer F cos |jid« par Xdx + Ydy + Zdz. La somme des travaux élémentaires de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, pour un déplacement infiniment petit, s'exprimera donc par une somme

2](Xda? + Y(îy + Zcfz).

Si X, Y, Z sont des fonctions des coordonnées a;, y, t, â/, y\ «',.... des différents points du système, il pourra arriver que

V (Xdx + Ydy + Zdz) soit la différentielle exacte d'une fonction f

de ces mêmes coordonnées; alors le second membre de l'équation des forces vives sera inmnédiatement intégrable, sans qu'on ait besoin de déterminer préalablement le mouvement effectif du système, et l'on aura une équation à laquelle ce mouvement satisfera nécessairement, quel qu'il soit d'ailleurs. Elle aura la forme

^-mr»— 2^^ »iV= 9(x, y, z, «', y\ /, ...) — <p (a:,, y^, z^ ic'o, y^^o»—)

Si donc, à une certaine époque, tous les points du système repassent à la fois par les positions qu'ils occupaient à unç époque

antérieure, la force vive à ces deux époques se retrouvera identiquement la même. C'est ce cas particulier qui constitue le théorème de la conservation des forces vives.

50. L'équation des forces vives résume toute la statique. Considérons un système matériel sollicité par des forces données. Si pour un déplacement virtuel quelconque, compatible avec les liaisons auxquelles le système est assujetti, la somme des travaux des forces est nulle, le système, s'il est en repos dans la position considérée, demeurera en repos sous l'action de ces forces ; car il ne peut se déplacer sans que ses points acquièrent certaines vitesses, c'est-àdire sans que le système acquière une certaine force vive; or l'équation, appliquée à une position infiniment voisine, montre que la force vive reste nulle, quel que soit le déplacement qu'on ait supposé. Le théorème des forces vives renferme donc le théorème du travail virtuel. Il fait voir de plus que, lorsqu'un système en mouvement passe par une position où les forces se font équilibre, la force vive dans cette position atteint, en général, un maximum ou un minimum.

L'équation des forces vives est encore employée en mécanique pour faire juger de la stabilité ou de l'instabilité d'un système en équilibre. Nous en avons donné un exemple (§ 29). Enfin, Tindividualité du théorème des forces vives est surtout mise en évidence par le théorème de la moindre action^ qui consiste en ce que toutes les équations de la mécanique se déduisent de l'équation des forces vives, quand on y joint une condition unique de minimum, à savoir, le

minimum de la fonction V \ mt?d5, la somme pétant étendue à tous

les points du système; l'intégrale i est prise pour chacun d'eux entre

les mêmes limites du temps, le long d*une trajectoire arbitraire, menée de sa position réelle, à l'époque initiale, à la position réelle qu'il ooeape à Tépoque finale en vertu de son mouvement effectif.