ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE L'HTDBODTNÂMIQUS

54. Le problème général du mouTement des fluides consiste à déterminer, en foncti<Hi du teioQips, pour chaque point de l'espace occupé par le fluide, le^ valeurs de la pression, de la densité, et des composantes de la vitesse des molécules qui viennent successivement passer eo ce point On renverse, pour ainsi dire, le problème de la mécanique ordinaire. Au lieu de suivre les points mobiles le long de leurs trajectoires, on se place en des points géométriques fixes, et l'on observe les mouvements des points matériels qui sont amenés 4 y passer. Si Ton connaissait pour chaque point géométrique et pour chaque valeur du temps les composantes de la vitesse des molécules à l'instant de leur passage en ce point, (hi pourrait en déduire la trajectoire de chaque molécule et la loi du mouvement sur cette trajectoire, c'est-à-dire que l'on reviendrait du nouveau point de vue auquel on s'est placé, au point de vue auquel on se place habituellement 52. S<Ht A un point géométrique défini par ses coordonnées rectangulaires a;, y, s; soit t le temps. A un moment défini par une valeur de /, une molécule passe en A, avec une vitesse dont les imposantes parallèles aux axes sont », o, to. Cette mdécule dé- crit, dans un temps infiniment court dt, un arc de trajectoire AA', qui a pour projections sur les trois axes, udî^ vdt^ u>dU

Fig. 88.

HYDRODYNAMIQUE. 7i

Les quantités v , i;, w sont variables k la fois avec le iemps / et avec la position du point géométrique A; en d'autres termes, ce sont des fonciîons des quatie variables indépendantes x^ y^ z et L

Ontre ces trois fonctions, on doit encore considérer la pression/» subie par la molécule qui passe au point A, et la densité p de cette molécole. La pression p peut être considérée comme la même en tous sens autour de la nolécule» s'il s'agit d'un liquide parfait, pour lequel la viscosité soit nulle, on si l'oD fait entrer les forces de viscosité dans les forces extérieures, s'il s'agit d'un fluide naturel. Les foncûons p et p dépendent aussi des quatre variables indépendantes x, y, X et ^

Soit /une fonction quelconque de ces quatre variables; la différentielle totale de la fonction / s'obtient par la formule

dans faqoeH#> -?^, r^, etc.» représentent les dérivées partielles de /

par rapport à x, jf , etc. , en «apposant que les quatre variables reçoivent chacune des accroissements arbitraires dm^ 4g^ é%^ et.

Mais ci, au lieu de laisser ces accroissements arbitraires, on prend la différentielle d^pour une molécule fluide en particulier le long de sa trajectoire AA', alors il faudra remplacer dx par uil^ dy par t?dl, (bpartDcU, car ce sont là les accroissements pendant le temps dt des coordonnées or, y, z de la molécule mobile. La formule spéciale

relative à ce cas devient donc

et la quantité entre parenthèses représentera le rapport de df à d^ quand la molécule mobile passe du point A au point Â'.

53. Ces préliminaires posés, cherchons les équations du mouvement delà molécule qui passe au point A. ^k

ËQUÀTIONS

Les équations du monrement d'un point dont les vitesses parallèles aux axes sont u^v^w^ s'expriment en égalant aux projections delà force qui sollicite ce point les produits de la masse par les projections de l'accélération. Nous représenterons par u\v\td^ les projections sur les trois axes de l'accélération de la molécule. La quantité t/ s'obtiendra en divisant par dt Taccroissement total de la vitesse u^ parallèle à OX, quand la molécule passe de A en Â' ; appliquant donc la formule précédente à la fonction t/, nous aurons

et de même

, du , du du , du

, dv dv . d» dv

, dw , dw , dw dw

Mais la molécule est sollicitée par une certaine force extérieure, dont les composantes, rapportées à l'unité de masse, seront représentées par X, Y, Z, et, en outre, par les pressions des parties voisines du fluide. Si le fluide était en équilibre, les équations suivantes seraient satisfaites {%^)i

ou bien

p dz

Sous cette dernière forme, on voit qu'il y a équilibre entre la force X et une force ^, parallèle à Taxe des x, et qui repré-

DE L'HYDRODYNAMIQUE. 73

sente l'eiTet des pressions au point  sur l'unité de masse; entre la

force Y et une force ^, entre la force Z et une force -^.

e dy p dz

Cette interprétation subsiste encore pour l'état de mouvement;

seulement, au lieu d'égaler les sommes à zéro, comme pour Téqui'

libre, on les égalera respectivement à u\v\w\ composantes de

l'accélération totale, sans introduire le facteur masse^ puisque nous

l'apportons tout ici à une masse égale à l'unité. Les équations du

mouvement deviennent en définitive :

V i dp du du du , du

p dx dx ' dy dz dt

-, i dp dv dv dv , dv

p dy dx dy dz dt

i dp dw dw dw , dw

p dz dx dy dz dt

5&. Ces trois équations ne suffisent pas pour déterminer analytiqoement les cinq fonctions u.v^w^p et p, et les lier aux quatre variables indépendantes x^y^z^t.

Pour achever de poser les équations du problème, cherchons, à

exprimer la variation subie pendant le temps dt par la densité du

fluide compris dans un volume géométrique fixe.

Considérons pour cela le parallélépipède ABCDEF6H, qui a un

Fîg. 34. sommet A défini par ses coordonnées

x,y,z, et doBt les dimensions parallèles G aux axes sont des quantités infiniment

petites arbitraires , AB = dxy AD = ày^ AF = d«. Le volxune de ce parallélépipède sera dxdydz; la masse de fluide qu'il contient à l'instant défini par le temps (, est donc pdxdydz, et au bout du

temps t + dt^ elle est égale à (p + ^ dt) dx dydz. Cette variation est

due aux vitesses qui font entrer dans ce volume, ou en font soitir des molécules fluides * pendant le temps considéré; faisons donc

eA — Y\

^4 ÏOOAIWF

successivement lecakul 'de toutes les masses de fluide qui passent {)ar chacune deâ six faces du parallélépipède : en additiounaDt algébriquement toutes ces quantités, nous aurons l'accroissement de masse subi par le volume entier.

Perpendiculairement à la face ADEF, rfegne la vitesse «; dans le temps dt, efle amène dans Tintéiieur du parallélépipède une raass(*

de fluide égale à

Par la face qpposée BCHG il sort, pendant le même temps, une masse fluide égale à c^e même quantité augmentée de sa difléreotielle relative à x\ par suite, le parallélépipède gagne par l'écoulement opéré perpendiculairement à ces deux faces, un excès de masse égal à la différentielle changée de signe, c'est-à-dire égal à

ouenffin à

-dy.d,d<X^)*,

^dxdydzdtx^^.

On prouverait de même que Fécoulement parallèle à Taxe OT aqgmente la/iiasae intérifflire du parallélépipède de la quantité

^d;cd9dzdt:x^,

et qu'enfin récoalemettt paraMftle à ÛZ 1 augmente de

L'TfcddBfion cle 'ces trois quagttités adonne pour résultat Taccroissement total, ^ éiéwègéz^ deU'nafisecdnteDBe'dans^ceT&kime^/Mwrrti

/fue le mouvement du fluide ne iats9e ^Bucun ^ide à finiérieur et \olume 'géométrique ABGDEFGH. En admettant cette condhion, qoi