DE CONTINUITÉ

sera généralement remplie au sein de la masse fluide et dans lei points voisins des parois solides, mais qui pourra ne pas l'être pour la région voisine de la surface libre, on parvient à Téquation smvante, dite équation de continuité (*) :

ou bien,

(2) ^ + ^^ + <^^p^) ^ i!fî?l= 0.

Celte équation se dédouble dans le cas des liquides parfaits, parce qu'alors p est constant pour chaque molécule, bien qu'il puisse être variable d'une molécule à l'autre, si plusieurs liquides sont mélangés.

Elle peut se mettre sous la forme

(dp dp dp , dp \ , / du , dv , dw\ ^

Or la première pa^snthèse est le rapport à dt de la différentielle totale de p prise le long de la trajectoire d'une même molécule (§ 52). Si donc la molécule conserve la même densité, cette (Mfférentielle doit être nulle, et Téquation (2) fournît alors les deux équations

dï"^dy"*"dJ-*'

dx'^^dy^^dz'^^d^-''-

Les équations (1) et (3) sont alors au nombre de cinq, et suffisent pour définir analytiquement les cinq fonctions x^ y, z, p et c. Si le fluide est un gaz parfait dont la température soit constante, la

(*) Od feot y parfCttir d'une antM manière, en iniTâDt le Tolnme Ûnide le long de 'a route qa'il pareourt, et en exprimant que sa maase totale n'a pas changé malgré »on altération de forme. V. Poisson, Mécanique^ t. II, { 6G2. Voir aussi une Note sur léquaiûm decontirmti du mouvement des fluides, par M. G. F. W. Baehr, professeur à i'Êcole polytechnique de Oelft (Amsterdam, G. G. Van der Pobi, 1872).

^^ ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE.

densité p varie pour la même molécule, et, par suite, le dédoublement de l'équation (2) n'est plus possible. Hais alors on connaît une relation

W P=Kp,

entre la pression et la densité ; de sorte qu'on a encore cinq équations, savoir les équations (1), l'équation (2) et l'équation (4) , pour définir les cinq fonctions inconnues.

55. Les équations générales de rbydrodynamique lient entre elles les cinq fonctions

et les quatre variables indépendantes

Elles sont établies ça supposant t

l"" Que dans le fluide en mouvement, de même que dans un fluide en équilibre, la pression en un point est la même dans toute direction autour de ce point ; ce qui revient à admettre une fluidité parfaite, ou une viscosité nulle;

2^ Que le mouvement du fluide n'en détruit pas la continuité.

Ces équations ne sont pas intégrables, et les analystes ont renoncé à en chercher la solution générale (*).

Elles se simplifient notablement dans certains cas particuliers. Admettons, par exemple, que la fonction Xdx + Yrfy + Zdz soit la différentielle , par rapport à a:, y et z, d'une fonction T des variables j?,y ,z et / ; on obtient alors l'expression Xdx + Ydy + Zi% en différentiant la fonction T comme si la variable t était une constante. Supposons de plus que la fonction udx + vdy + wdz soit aussi une différentielle complète, relative à x^y et z, d'une fonction ç des ces trois variables et du temps t. Lagrange a fait voir

(') F. Lagrange, Mécaniguê analyiiqvê, II* partie, section X.