SUPPLÉMENT AU LIVRE PREMIER
PROBLÈME DE MOnTfeHEMT NON PERMANENT.
Fig. 71
98. Le problème suiTant montre à la fois Tusage quç l'on peut faire de Tancienne hypothèse do parallélisme des tranche f, et la manière dont on peut traiter la question de
récoulemetit d'un liquide quand le régime permanent n'e.«t pas encore étabil.
Un Tase ABCD est rempli d*eau juRqn'au ^ niveau AB. On ouvre i'oriflce CD, et l'écoulement commence ; pendant tout le temps qu'il dure, on suppose que le nfveau AB est maintenu à la même hauteur, sans quoi le régime permanent ne tendrait pas à s'établir.
La forme du vase est quelconque; cependant nous admettrons que les sections horizontales varient d'une manière continue, et que l'oriÛce d'écoulement^ CD^ occupe la totalité de la section la plus ba^se. En dehors de ces conditions, l'hypothèse du parallélisme des tranches serait par trop contraire à la vérité.
Le problème consiste à déterminer en fonction clu temps la vitesse de l'écoulement dans la section CD^ et la quantité d'eau débitée en an temps donné. Le mouvement de l'eau s'effectue, d'après notre hypothèse, par tranches parallèles horizontales MN, M'N'; les moléouleN contenue)» dans une même tranche sont animées au même instant d'une même vitesse u; la tranche subit sur ses faces horiionlales MN, M'N', des pressions également réparties. Enfln, nous donnerons À chaque tranche une hauteur PP' telle, que les molécules situées dans le plan supérieor HN aUelg;nent le plan M'N' au bout du temps inflnimcnt petit dt, le même pour toutes les tranches.
Rapportons le vase à un plan de comparaison horizontal, OX, et à un axe vertical descendant, OZ. Les sections ca, faites dans le vase par des plans horizontaux, seront coanues en fonction de l'ordonnée r qui déûoit la position de cette tranche; la vitesse u as la tranche sera exprimée en fonction de Zj et du temps i qui marque l'instant où on la coDiidère. La vitesse t7 de l'écoulement en CD est fonction de la variable t seule.
Noos désignerons par p la pression par unité de surface qui règne sur toute l'étendue delà seetioa horizontale correspondante à une valeur de 2. Cette pression est fonction a !a fois de z et de t,
Appelons encore :
a l'ordonnée OE de la surface libre du liquide ÀB;
b l'ordo :née OF de Toriflce d'écoulement CD;
h la distance yertlcale EF^ différence de ces deui orëamMS;
A l'aire de la section AB;
û Paire de l'orifice CD.
Écrivons l'équation du mouvement de la tranche infiniment petite ^ NNUTI' en projection sur Taxe OZ. Cette tranche est animée d'une vitesse u parallèle à cet axe. Soit u' son accélération. Le volume liquide est égal au produit iùdt, la
masse est— tùdz, en appelant n le poids spécifique du liquide. Nous obtiendrons donc
l'équatioD cherchée en égalant— tùti'dz à la somme des projections des forces sur Taxe
vertical.
Ces forces sont la pesanteur, et les pressions du liquide et du v«e.
Le poids de la tranche est Jhùdz', il agit dans le sens positif.
La pression en MN agit aussi dans le sens positif; elle est égale à poi.
La pression en M'iN' agit dans le sens négatif; elle est égale en valeur absolue & la pression pu augmentée de sa différentielle partielle relative à zj car nous devons considérer les forces qui agissent sur la tranche à un même instant t\ par conséquent la pression sur M'M', prise avec soa signe, est égale à
Enfin, ies pressions du vase sur le liquide, le long des parois profilées en MM', NN' sont sensiblement égales par unité de surface à la pression p, et en projection sur OZ, elles donnent une force totale égale à + pdt^'
Réunissant toutes ces parties^ on a l'équation du mouvement :
H / d{pîù) \
(1} — cauVz = nwrfz 4- fx* — iP'«>H ■T—*dz\'\'ndià\
9 \ az /
Kéduisant, et observant que cd est fonction de z seul, ce qui permet de remplacer
— dz par dtù, puis divisant par Utùdz^ on la ramène à la forme très simple :
u' 1 dp
' ^ ff ndz
L'accélération u' est une fonction de z et de <, mais on peut séparer, paur ainsi dire, ces variables, au moyen de l'équation
(3) tùu ^ QVf
laquelle exprime que le liquide MNDG occupe un volume ooMtant, en Teria ée s»q incompressibilité, quand il passe de la position MNB€ à la poeition iHfiniseal voIsfcM M'N'D'C; en d'auUes termes, ceUe équaUoo exprime qne.le ^wiwne MNIi^MV ^ «><mi^^ est égal au volume CUB'C, ou Qvdt, De l'équation (3} on déduit
Ov
Ci>
DE MOUVEMENT NÔW PERMANENT. t63^
et par f ofCe
DiTlsant par dt les deox membres de cette éqaatlon, il vient
(I dv V diù\ Zdt" ^ Itf
dtM Comme tù est nne fonction de z, nous remplacerons la fraction — par le produit
d(ù dt dz PP'
■Y- T.y 6t noQB obserrerons que -7-, on --rr* n*est autre chose que la Titesse m des mo-
ai di dt Ai
lécnles de la tranche MNN'M'. Donc on a
,^ç.hdv uv rfc*\ " ~ \w 5? "" «« dzr
Qv
OQ eocore^ eo remplaçant u pai sa valeur — ,
SabstitHonB-dans l'éqoation (2) et rëaoWoos par rapport à ^. Nous' aurons
dz g \oi dt fs^ d% f
dv Cette éqaatlon est intégrable par rapport à la variable z ; car ^ et v sont des fonc-
tioQs de t aeai, ^! doWent être traitées eomme des eonstantes daiu tetto lofégration. Quant à tù, c'est une foncUon de x comme d'après la fannt du.Tase. On oMtent, en déftoltta^.
9 dt)iù g Jw» g dtja ta î^ w«
Nous prendrons x= a pour limite inférieure de lintégrale \ ~, ce qui retient à modifier la Taleiir de l'arbitraire C; cette arbitraire est une constante reiatlTement k m, c'est-à-dire une fonction de t.
Dans réqnatlon (6) faisons successivement 2= a, et z=ib; nous devons trouver pour p la preasioD atmosphérique po9 V^^ s'exerce à la fois sur la surfase libre AB, et sur la veine liquide sortant par CD» Donc
p^ = CH-nfl -rw», dans le plan AB,
-*-.«. n ^dvÇ^dz n . , , . ^-^
□f ssG •4-06 û — \ v*, dans le plan CD,
g d4 y^tù ^ '
Retranchons; les quantités po ^^ ^ s'éliminent, et on a pour l'équation du monvement
r* dz Divisons par n, puis remplaçons 6 — a par A, \ — par m, quantité dépendante de
la forme et des dimensions du vase, enfin 1 — y; par {j.*; l'équation prend la forme
Pour rint<grer résolvons-la par rapport à dl, pois décomposons la fraction dans le second membre en fraction simple :
mO dv mû r~ dv dv
(8) di=— — - = r
11 Tient en intégrant
,=Sx!f[..*(..^)-...*.(.-J=)]
)/2gh
Nous n^ajoutons pas de constante, pour aroir v=0 et / s=o en même temps; ce qui revient à compter le temps à partir de l'époque où récoulement commence.
L'équation (9) résolue par rapport à v, donne la vitesse de l'écoulement en fonction du temps t :
1^ H-V^2g/« ^ H- H-V^ __liV^
1 4- e «^ e *'»û ' ^ g amû
La dépense .totale, Q, s'obtiendra en faisant l'intégrale
Q=l avdt=-Jl^
(11) û = \ û»cfi = — ^^^ log nép. ^
Au bout d'un temps / suffisamment long, les exponentielles e ^^^ ei e **^
