CHAPITRE II Théorie dynamique des moteurs à vapeur

MAOHINES MONOOYLIiarBBIQirBS

18. — Calcul de la puissance (Tune machine donnée. — Soient, pour une machine à double effet, supposée d'abord sans espaces nuisibles :

jt?o, la pression absolue de la vapeur pendant Tintroduction ;

Vq, le volume d'introduction à chaque coup de piston ;

V,, le volume total engendré par le piston; ce volume est le même pour les deux courses si l'on fait abstraction des tiges;

5, le rapport de détente, ou des volumes t?, et v^ ;

p\ la contre-pression absolue pendant l'échappement à l'air libre ou au condenseur;

w, le nombre de tours de l'arbre par minute.

Le travail exercé par la vapeur sur une face du piston pendant un

1. Nous ne revenons pas, dans cette étude, sur les questions déjà traitées d'une manière générale dans la Théorie des Mécanismes, qui forme le premier fascicule de cet ouvrage, et qu'il sera facile d'adapter à la machine à vapeur: telles sont les résistances passives auxquelles donnent lieu les transformations du mouvement rectiligne du piston en mouvement rotatif, la théorie de la régularisation (volants et régulateurs), etc. Nous n'examinerons pas davantage les questions qui se rapportent aux variations du couple moteur, variations qui sont influencées par le mode de réglage, les forces d'inertie, l'accouplement d'un nombre plus ou moins grand de cylindres, Tangle de calage des manivelles; tous ces problèmes se résolvent facilement en s'appuyant sûr les données que fournissent la Cinématique et la Statique, ainsi que sur les théories exposées ici.

On consultera avec fruit une étude importante intitulée : Eine dynamische Théorie der Dampfmasdhinen, par W, Hartmann (Zeitschrift des V. £)./., 1892), dans laquelle le principe des courbes intégrales est appliqué aux diagrammes des pressions, de l'inertie, de la contre-pression, des frottements et des poids non équilibrés ; cette étude constitue en quelque sorte le développement du procédé que nous avons appliqué à l'étude générale du mouvement des machines (v. i^"^ fascicule, ch, pr).

tour s'obtient en ajoutant algébriquement les travaux de l'introduction, de la détente, et de Tévacuation.

Le calcul du travail de détente ne peut être fait qu'en se basant sur une hypothèse ; on sait en effet que la loi de détente est influencée par le titre initial de la vapeur, notablement abaissé pendant l'introduction, et par l'action consécutive de la paroi (3* fascicule Gh. V, § V); on ne peut supposer que cette détente a lieu suivant la loi adiabatique, représentée pour la vapeur d*eau par l'équation ;

po^ pz C« (3" fascicule, n« 89)

mais on constate le plus souvent par les courbes d'indicateur que la loi de détente est fort rapprochée de l'hyperbole équilatère (jjl=1); il faut évidemment, pour interpréter cette courbe, connaître l'espace nuisible avec précision.

Pour les problèmes qu'on peut se poser sur les dimensions des cylindres, et en écartant soigneusement toute conclusion relative au rendement thermique, on arrive à des résultats suffisamment exacts en raisonnant sur l'hyperbole équilatère, qui a l'avantage de se prêter à des constructions faciles (*). 11 serait du reste sans objet de prendre un autre point de départ; le travail est influencé par les pertes de pression de la vapeur dans les lumières, le titre, le fonctionnement plus ou moins satisfaisant de l'enveloppe ; il est impossible de chiffrer avec exactitude ces diverses circonstances.

Au reste, il est clair qu'une erreur sur la loi de détente aurait comme seule conséquence de donner au cylindre des dimensions un peu trop grandes ou un peu trop faibles, et d'exiger une introduction ,un peu moindre ou un peu plus forte que celle que l'on avait prévue. Cette modification se fait automatiquement par le régulateur,, et n'affecte pas le rendement thermique dans les limites où elle se produit.

1. La concordance plus ou moins grande de la courbe d'indicateur avec l'hyperbole équilatère est interprétée quelquefois comme une preuve de bon rendement; il est à peine besoin de dire que pareille interprétation ne se justifie en rien. La figure 36 représente une série de courbes de détente de la vapeur pour un titre initial variant entre 0,3 et l'unité, la détente est supposée avoir lieu suivant autant d'hyperboles équiJatères, et les courbes tracées en sont les transformées entropiques (3* fascicule, n» 60). L'hyperbole équilatère du diagrapame d'indicateur peut être l'indice ou d'une forte condensation à

MACHINES MONOCYUNDRIQUES

En admettant finalement que la loi de détente est Thyperbole équilatère, on a, pour le travail sur Tune des faces du piston :

Po VoA\ + In 8) — pV,

En supposant que les volumes sont les mêmes sur les deux faces, on trouve, pour la puissance exprimée en chevaux :

2nv, ( l + /n5 \

Lorsque Ton tient compte du volume occupé par les tiges, il faut donner à ^0 et V, des valeurs différentes pour les deux courses, à moins que 8 n'ait la même valeur pour les deux faces, auquel cas il suffirait de remplacer v, dans la formule finale par la moyenne des volumes engendrés.

On peut calculer à l'avance la valeur du premier terme de la parenthèse, en faisant varier p^ et S, et construire une table à double entrée qui donne la pression moyenne pendant la course motrice pour diverses pressions et divers degrés de détente.

rintroduction sans restitution importante de chaleur pendant la détente, ou d'une faible condensation initiale avec forte restitution de chaleur par la

Fig. 36

paroi, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de conclusion à tirer de la coïncidence plus ou moins pariaite entre la loi de détente et l'hyperbole.

'-■^jif^'-rr^^^r*

i -4- / S Tableau des valeurs de p^ — ■ ^

l+/nB

On peut aussi construire un abaque, ou représentation graphique de cette table, comme Ta fait M. Hertay (*) (fig. 37), les valeurs de Po sont portées en abscisses ; à chaque valeur de 5, correspond Tune des droites inclinées dont les ordonnées sont le premier terme de la parenthèse. La valeur de p' se retranche en relevant la base du diagramme, qui devient AB pour les machines à condensation {p' n 0,2 atm. ou 2.067 ''«*. par mètre carré) et CD pour les machines sans condensation {p' =1.1 atm, ou 11.400 ^»^ par mètre carré).

On tire de la formule (1), ou de l'abaque qui représente son terme variable, les remarques suivantes :

1**) Toutes choses égales d'ailleurs, la puissance développée est proportionnelle au nombre de tours effectués par minute, ainsi qu'au volume engendré par le piston, c'est-àrdire qu'elle est proportionnelle au volume engendré par unité de temps.

2°) Pour la même fraction d'introduction, la puissance augmente plus vite que la pression absolue initiale, à cause de la contre-pression p' ; toutefois, pour iQS machines à condensation, dans lesquelles p' est faible,

1. Nouveau diagramme ou tracé graphique pour le calcul des machines à tapeur, par Edmond Ilertay, Bruxelles, Ramlot, 1891.

et lorsque la pression initiale est assez élevée, Taugmentation est à peu près proportionnelle à i?o-

30 Pour une même machine fonctionnant à la même vitesse, la puissance diminue avec le rapport de détente, mais décroît moins vite que celui-ci; la courbe MN du diagramme fournit les ordonnées moyennes pour une même pression et les degrés de détente indiqués par les abscisses.

tn^

4**) On [peut réaliser la même puissance dans un cylindre donné, la vitesse restant la même, en augmentant la pression initiale en même temps que le rapport de détente; celui-ci est donné par l'intersection d'une ligne horizontale avec le faisceau des lignes inclinées du diagramme.

^ .mm wvifmmmmfmmv^ .■ ' j" j"w«j'"^"'!^«i»-ii.'HijM'i''»iPkiMi'''^4!JBi'^ï» u!ï'i.«ifiiiii.W"p^P'*',

19. — Influence de l'espace nuisible et de la compression. -- Appelons Vn le volume de l'espace nuisible, et t le rapport du volume emprisonné dans le cylindre, y compris Vn, au moment où Téchappement se ferme, au volume de Tespace nuisible ; supposons que la compression s'effectue suivant l'hyperbole équilatère, et soit S le rapport du volume engendré par course au volume introduit.

Le volume de l'espace nuisible est ordinairement donné en fonction du volume Vj, c'est-à-dire que l'on a :

a varie de 0,02 à 0,10.

La puissance est donnée par la formule ci-dessous, qui s'établit facilement :

-y D:i-(T~l)« + «T/nT] j

Y devrait être choisi de manière à rétablir la pression initiale d'admission dans l'espace nuisible dans le cas de la détente complète; mais pour les machines à condensation, où la compression s'exerce sur de la vapeur à pression très faible, la pression initiale n'est jamais atteinte dans l'espace nuisible (3® fascicule, n°^ 124 et 125).

Le premier terme de la parenthèse est encore donné par une ligne -droite passant par l'origine, puisque p^ figure en coefficient, mais cette ligne est d'autant plus relevée, pour chaque valeur de o, que a est plus grand; en donnant différentes valeurs à cl, chacune des lignes de l'abaque (fig. 37) sera remplacée par un faisceau secondaire : ainsi, pour •5 =1 6 et a = 0,02, on obtient la ligne en trait fort.

Le dernier terme représente la contre-pression moyenne, il varie avec a et Y ; si la compression commence au même point de la course quelle que soit la pression initiale, le terme sera constant mais supérieur à p\ les lignes AB et CD de l'abaque seront donc remplacées par -des faisceaux de droites parallèles, correspondant chacune à une valeur -de l'espace nuisible. Si, au lieu d'être constant, y augmente avec la pression initiale, AB et CD seront remplacées, pour chaque valeur de a, par des courbes telles que a' 6', c' d\

Comme on adopte le plus souvent un même réglage pour les diverses

grandeurs d'un type donné de machine, il peut être très utile de construire un abaque complet d'après les principes que nous venons d'indiquer, l'influence des termes correctifs pouvant devenir très grande pour les fortes pressions, et les détentes prolongées.

20. — Coefficient de réduction du diagramme. — Les formules (1) ou (2), quelquefois appelées formules théoriques, peuvent être appliquées à une machine quelconque dont on veut déduire la puissance par le calcul. D'autre part, une expérience à l'indicateur fait connaître, pour le même degré d'introduction, la même pression initiale et la même allure, la puissance effectivement développée ; en appelant T» cette puissance, on trouve :

(3) Ti = KN

K étant un coefficient généralement plus petit que l'unité. La valeur de ce coefficient n'est, en aucune manière, une mesure de la perfection de la machine au point de vue du rendement; K est abaissé par les étranglements, l'avance à l'échappement, etc. Pour une première approximation, on pourra en général se servir de la formule (1) en donnant kp' et K les valeurs suivantes, qui supposent des machines à espace nuisible réduit, sinon, ces valeurs devraient être augmentées pour la marche à faible introduction :

Machines à condensation à faible introduction, à distribution

par déclenchement 1800 0,90

Machines à grande introduction. • 2000 0,75

Machines sans condensation, à faible introduction . . . . 11400 0,85

Machines à forte introduction ».'... 12400 0,70

Il doit être bien entendu, au surplus, que ces valeurs sont affectées dans une notable mesure par le réglage de la distribution, et, pour les machines à condensation, par l'état d'entretien de la pompe à air et des bourrages, la température de l'injection, etc. Lorsqu'on applique le calcul à une machine en projet, il est prudent de ne pas adopter une valeur de K trop élevée, parce qu'il vaut mieux pécher par excès que par insuffisance de dimensions. Pour un type déterminé de machine, K ne varie que dans une mesure insignifiante, aussi les constructeurs peuvent calculer à l'avance, avec une grande certitude, des tableaux complets donnant la puissance indiquée de leurs machines pour diverses dimensions, différentes pressions et rapports de détente.

La pression absolue à ririlroduction se déduit de la pression des chaudières, dont il faut retrancher la perte provenant de la canalisation (4® fascicule, n*^ 117), perte que Ton évalue largement, en tenant compte du diamètre et de la longueur de la conduite.

21. — Dimensions du cylindre. — L'équation (1) ou, si Ton veut procéder plus exactement, l'équation (2), peuvent être résolues par rapport [à V, lorsque Ton connaît les autres quantités; il faudra avoir soin au préalable d'affecter le second membre du coefficient de réduction K.

Il existe donc une infinité de cylindres de même volume répondant à la question, dont le diamètre pourrait être choisi arbitrairement. Lorsqu'on a égard aux phénomènes thermiques et à d'autres conditions qui seront exposées ci-après, la solution se précise.

1** 11 existe un rapport de la course au diamètre qui réduit au minimum l'échange nuisible des parois; ce rapport n'est pas celui qui donne au cylindre, couvercles compris, la surface minimum, à cause du r<!ile plus actif des surfaces du type couvercle (3® fascicule, n** 163); il conviendrait à ce point de vue d'adopter de longues courses, mais on se trouve alors devant des difficultés pratiques, notamment, celle de donner aux lumières une section suffisante sans exagérer la course des distributeurs du genre valve ou tiroir.

2** En diminuant le diamètre relativement à la course, on diminue l'importance de l'espace nuisible, qui, même dans les machines à compression finale, occasionne toujours une perte d'effet; cette conclusion est surtout vraie lorsqu'on augmentant la longueur du cylindre, on n'augmente pas en même temps celle des canaux de distribution, c'est-à-dire dans les machines à obturateurs séparés.

3^ Lorsque le nombre de tours est donné, la course détermine la vitesse maximum et la vitesse moyenne du piston ; celle-ci ne peut, a cause des forces d'inertie, dépasser une certaine limite.

4° Dans toutes les machines, surtout les machines verticales, le prix d'établissement augmente, pour le même volume de cylindre, avec le rapport de la course au diamètre.

Comme conclusion à ces considérations, si on appelle d le diamètre du piston, et l sa course, on adopte (*) :

1. Pour Je» machines verticales et surtout pour les machines marines, les proportions sont très différentes (6® fascicule).

avec la condition que la vitesse moyenne du piston ne doit pas dépasser une certaine limite, que les progrès de la construction et surtout une plus grande légèreté des pièces, à résistance égale, ont constamment élevée; on devra avoir dans les cas ordinaires :

Cette limite (28) pourra être plus élevée pour de très grands moteurs (jusqu'à 4 mètres), et plus élevée encore pour des machines spéciales telles que locomotives, machines de laminoirs, machines marines. (Voir le tableau du n« 28).

Si le nombre de tours n est donné, on -calculera v^ par Tune des équations (1) ou (2) ; Téquation (4) achèvera de déterminer d et /, on vérifiera si l'équation (5) est satisfaite, sinon, on substituerait cette dernière relation à l'équation (4), à laquelle on devrait renoncer.

Si le nombre de tours n'est pas donné, on pourra toujours satisfaire aux deux équations (4) et (5).

Comme le prix des machines diminue avec le volume du cylindre, il y aurait intérêt d'après les relations (1) ou (2) à augmenter le nombre de tours, mais l'équation (5) montre que la course devrait être de plus en plus réduite, ce qui donnerait bientôt des cylindres de proportions défectueuses s'éloignant de la coii^dition (4).

22. — Les machines motrices sont généralement munies d'un volant qui maintient entre des limites aussi resserrées que l'on veut les variations de la vitesse angulaire (fascicule I, n^' IH à 120); dans les filatures, le coefficient de régularité s'élève à 100 et l'on pourrait pour cette raison considérer la vitesse angulaire comme constante ; mais certaines pièces du mécanisme, comme le piston, la tige, la crossette, les organes de la pompe à air, possèdent un mouvement rectiligne alter-

FORCES d'inertie DU MÉCANISME 49

natif accompagné d'accélérations ; la bielle est animée d'un mouvement plus complexe.

Les forces d'inertie modifient la loi suivant laquelle se développe le couple moteur, elles ont également de l'influence sur la douceur de la marche, sur l'état de sollicitation des pièces mobiles, des bâtis et de leurs attaches. Il n'est nécessaire de prendre ces forces en considération que pour les vitesses assez grandes, mais comme celles-ci sont aujourd'hui de règle à peu près générale, nous ferons une analyse complète des effets de l'inertie en mettant à profit les belles théories graphiques que M. Massau a fait connaître en 1890. Il est du reste facile d'obtenir une approximation en négligeant l'obliquité de bielle, mais cette approximation n'est pas toujours suffisante (*).

23. — méthode de M. Massau. — Soit (fig. 38), OB la manivelle de rayon r, AB la bielle, nous supposerons que la tige passe par le centre, de l'arbre ; (Fauteur de la théorie a examiné un cas plus général, qui pourrait servir pour l'étude du moteur Westinghouse (12) ou du système Fleming et Ferguson (7).

On démontre facilement, par la considération du centre instantané, que les vitesses des points A et B de la bielle sont données par »xOK G> X OB, CD étant la vitesse angulaire de l'arbre et OK la perpendiculaire à 0^ menée jusqu'à l'intersection de la bielle prolongée. La vitesse d'un point intermédiaire C, est donnée par »x OD, le point D partageant KB comme le point C divise la bielle AB ; ce point D est du reste relié

1 . On n'a comnoiencô à se préoccuper des forces d'inertie qu'à une époque relativement récente ; d'après D.-K. Clark ( The Steam Engine, 1890), les premiers travaux sur cette question datent de John Watt (1839), Mac Naught (1845), et surtout G.-//. Strype (1863). C/i.-T. Porter, de Philadelphie, a contribué à développer la théorie, et a été le premier à en utiliser les résultats en rendant possibles des vitesses inconnues avant lui ; les travaux du professeur Radinger, de Vienne (Ueber Dampfmaschinen mit hoher Kolbengeschwindigheit, 3« édition, Vienne, Gérold) ont également éclairé la question. L'étude des accélérations de la bielle a fait Tobjet de nombreux travaux, nous citerons: en France, ceux de Résal, Nillus (Annales des Mines, 9* série, t. I, p. 277); ^^ Angleterre, ceux de Fleeming Jenkin {Transactions ofthe R, S, o/Edinburgh, 1877, p. 1,1879, p. 703, cités par le professeur Ewing {Minutes of Proceedings of C. £., vol. LXXXIII, p. 25i). M. Massau a traité la question d'une manière très générale et très complète par des procédés graphiques nouveaux {Annales de r Association des Ingénieurs de Gand, 1890-91, t. XIV, p. 210 à 248). Le professeur A.'C. Elliott vient de donner {Engineering, 1895, l«r sem., p. 587 et 711) un procédé de détermination des accélérations qui n'est autre que celui de Massau. L'accélération du piston avait déjà été déterminée graphiquement en Allemagne par Mohr ou par Schadwill {Burmeister; Kinematik, 1. 1), probablement vers 1879. (V. aussi Engineering, 1895, 2« sem., p. 55).

FORCKS d'inertie DU MËCANlSlriË

au point C parla conslrucUon CN, ND, indiquée sur la figure ; les lignes telles que OD sont en outre perpendiculaires aux vitesses des points eorrespondants* Pour obtenir les accélérations des différents points de la bielle, on

Fig. 38-39

commence par supposer <*> constant. L'accélération totale d'un point C de la bielle résulte de l'accélération normale et de Tacôéléralion tangentielle de ce point.

Dans le mouvement de rotation uniforme autour de 0, 1*^ point B possède Taccélératlon normale wV, qui est aussi pour ce point l'accélération totale, et que nous pouvons, au facteur w' près, représenter par BO.

Pour la position considérée, le mouvement du point A peut èlre obtenu par la translation du point B et par la rotation de AB autour de ce centre, cette rolatioti ayant la vitesse angulaire a>' qui est celle de la bielle autour du centre instantané 1. Le mouvement de translation donne une accélération Am parallèle et égale à BO, La rotation autour de B donne une accélération normale dirigée de A vers B^ ayant pour

yaleur;

FORGES d'inertie DU MÉCANISME «^1

et comme nous la divisons par «•, nous porterons :