A /AI

84 COURS OB HÉCàNIQUB

C'est, comme on voit, le double de la durée des oscillations

d'un pendule qui aurait pour longueur la hauteur AI = — h

des boules au-dessous du sommet fixe C du losange. Supposant, par exemple, que le régulateur accomplisse une révolution en 2 secondes ou fasse 3o révolutions par minute, on aura T = 2, et AI deviendra la longueur o",g94 du pendule qui bat les secondes dans nos contrées.

19. Insuffisance de cette règle. — Telle est la règle fort simple, ordinairement Indiquée par les auteurs pour déter* miner la position des boules relative à une vitesse moyenne ou de régime d'une machine, lorsqu'on s'est donné cette vitesse à l'avance; mais ces règles ne sont rien moins que satisfaisantes» attendu qu'elles sont indépendantes du poids des boules et qu'elles ne tiennent nullement compte de l'énergie que doit posséder leur force centrifuge, pour vaincre les résistances passives inhérentes au mouvement du système, qui sert à faire ouvrir ou fermer les soupapes, ou vannes motrices.

Tredgold, ingénieur anglais, qui a écrit un Traité sur les maehines à vapeur, paraît avoir senti l'insuffisance de la règle établie ; il propose de fixer la plus grande amplitude du mouvement vertical des boules de manière que, quand la vitesse de la machine dépasse le vingtième de sa valeur moyenne, les soupapes soient entièrement fermées, tandis qu'elles seraient complètement ouvertes, au contraire, quand la machine atteindrait sa vitesse moyenne de (égime, afin, dit-il, d'éviter pour cette dernière vitesse les étranglements de la conduite qui amène la vapeur sous les pistons de la machine, et la perte de travail moteur qui en est la conséquence; mais il est évident qu'une semblable disposhion aurait l'inconvénient de produire une diminution de force motrice précisément à l'instant où il surviendrait un ralentissement de la vitesse, ce qui est absurde et montre que, sans avoir égard à l'inconvénient des étranglements, on doit donner forcément à la soupape, pour le cas d'une vitesse moyenne, une position intermédiaire entre celle où elle laisse affluer en plein le fluide moteur et celle où elle l'intercepte d'une manière complète.

20. Véritables conditions de l'établissement de l'appareil, -— Nommant h' la hauteur du manchon qui correspond à la vitesse angulaire û)' = (i -t- n)», h'' celle qui répond à la vitesse &)'= (i — n)(ù, (ô étant toujours la vitesse moyenne de régime et k la hauteur correspondante, on aura

(i-f-/i)'w>6 (i-+-n)'' [i-nycù'b [i—ny

et, par conséquent, pour l'amplitude du mouvement d'élévation du manchon, qui doit régler celui des soupapes d'admission,

à très-peu près, si Ton néglige n^ vis-à-vis de l'unité. i

Supposant, avecTredgold, n = — , on aura h'^— h'=-=h en- ' ^

viron; ce qui montre que, pour un changement de vitesse assez faible, les espaces décrits par le manchon et le système qui le met en relation avec les soupapes pourront élre trèsappréciables; de sorte que l'on peut dire avec cet ingénieur que, si le régulateur à force centrifuge est en défaut, ce n'est certainement pas à cause du manque de sensibilité que lui ont reproché certains auteurs, qui lui ont substitué, au détriment de l'action motrice, le jeu d'un régulateur à pompe dans le genre de celui qui nous a occupé précédemment.

21. Influence du poids des boules et de l'angle des tiges. — Quant à l'influence du poids des boules sur l'action régulatrice, Tredgold se contente d'observer que, dans les machines à vapeur, ce poids varie de la à 36 kilogrammes, et que son effet dépend beaucoup des angles formés par les tiges : dans la disposition représentée par la Jig. 6, la force du régulateur pour mouvoir le manchon est considérable, mais l'étendue du mouvement est petite; ce qui a lieu à plus forte raison pour la disposition représentée /Ig. 8, et qui est souvent adoptée dans les machines; dans la disposition de lay?g'«9, au contraire.

la force est petite, mais l'étendue du nnouvement très-grande; en d*autres termes, l'énergie du régulateur crott en raison inverse du chemin que tend à décrire le manchon dans chaque dispositif» ce qui est bien évident, d'après le principe des vitesses virtuelles.

22. Équation d*équilibre dans le cas d'une accélération et en axant égard à la résistance à vaincre. — Pour montrer comment de cette considération dérive la théorie véritable du régulateur à force centrifuge, nous supposerons, d'après les auteurs anglais, qu'on ait établi l'appareil de fait, ou que lorsque la machine atteint la vitesse de régime, mesurée par &>, le manchon G (Jig» 6) et le système du levier et de la vanne qu'il conduit n'exercent aucune action l'un sur l'autre; ce qui exige que ce système se trouve, pour la position du manchon,

fixée par la relation h = -j~ (18), dans un état d'équilibre strict

et abstraction faite du frottement. Cela posé, on remarquera que la vitesse angulaire du régulateur pourra augmenter d'une certaine fraction donnée de sa valeur primitive, avant que Teffort exercé sur le manchon ne soit capable de (aire mouvoir la vanne motrice, c'est-à-dire de vaincre les résistances inhérentes à ce mouvement; il faudra, en effet, que l'intensité de la force centrifuge des boules augmente, de manière qu'elle puisse faire équilibre à la fois à l'action du poids et des résistances dont il s'agit; ce qui donne une nouvelle équation de condition à laquelle le régulateur doit satisfaire, et qu'on obtiendrait facilement à l'aide de la simple décomposition des forces, mais que, pour plus de généralité, nous rechercherons par le principe des vitesses virtuelles.

23. Considérons d'abord la première disposition qui est reproduite Jig. 7, et, conservant les dénominations déjà admises (17), nommons, de plus, p la résistance à vaincre par le manchon et &)'=(! -h it')ci> la nouvelle vitesse angulaire que doit acquérir le régulateur pour vaincre cette résistance; faisant, pour un instant, abstraction du mouvement angulaire dont il s'agit, on supposera qu'on relève le sommet C d'une

quantité infiniment petite dliy qui pourra être prise pour la vitesse virtuelle de /i; le centre de gravité des boules décrira Tare élémentaire OS = 6rfa, la vitesse virtuelle de la force centrifuge estimée suivant sa direction sera OScosa= bcosada, celle du poids des boules 6 sin a d(x\ enfin, puisque h = 2a cosa, dh = — 2as\nada sera la vitesse virtuelle de C ou de p.

D'après cela, le principe du travail virtuel donnera, pour réquation d'équilibre des forces, en observant que les actions de aP et de p sont opposées à celle de la force centrifuge,

aMw'^é'cosasinarfa — iPbslnada — 9.pasinada=^ o,

ou, en divisant par ^slnadx et observant que M h = nacosoc,

P - et

Pw"t'A — 2ag{VbH'pa) = o.

Mais on a, par hypothèse (18),

88 COURS DB HtCANIQUB

donc cette dernière équation devient

6P« » — 6Pû)»— apw'= o,

ce qui donne, pour le rapport à établir entre le poids P des boules et la résistance p,

ou, en se rappelant que n est censé très-petit,

p ~~ 6(2/i'-f-n'*) ~~ nn'b'

^k. Il existe donc une relation nécessaire entre le rapport dont il s'agit et les quantités a» b, n', qui fixent les dimensions du régulateur et la grandeur de l'écart de la vitesse angulaire, par rapport à la vitesse de régime. Si l'on veut, par exemple,

que cet écart ne puisse surpasser le ^- =0,02 de w, on aura

et, comme dans la disposition représentée par la Jig* 7, 6 ne

peut surpasser sensiblement -a sans qu'on ait à craindre

que les boules ne viennent rencontrer le levier GL pour la position la plus basse du système, on devra donner à P une

valeur d'au moins ^25 = 16,67 fois/? pour produire l'effet dési ré.

25. C'est parce que cette valeur dé Ppeut devenir trèsgrande, dans certains cas, que l'on a été conduit à adopter la disposition de la fig* 8, dans laquelle on donne à b jusqu'à trois et quatre fois la longueur a, au moyen d'un allongement correspondant des verges inférieures CB et CD.

Nommant c la longueur de ces verges, qui doit être presque égale à b, ei conservant toutes les autres dénominations, on aura, par le triangle ABC,

AC = A =acosx -r }/c' — a'sia'a;

h = ~aslnx(i -h —-- — ( dct,

\ ic"— a'sin'a/

pour le déplacement virtuel de C ou de p, et l'équation d'équilibre deviendra ici, après avoir divisé par sin acda,

ap6-a/ .+ r^,-]P =

Faisant /> = o dans cette équation, on aura, pour déterminer l'angle a qui répond à la position moyenne du manchon ei à la vitesse de régime u de la machine,

b cos a = -^ -

u'bcosa — g-

d'où

Cette relation, comme on voit, est entièrement identique avec celle que nous avons obtenue précédemment ( 18) pour le cas du simple losange, ce à quoi l'on devait bien s'attendre.

Substituant la valeur de a qu'elle donne, dans l'équation en p^ on aura, pour calculer le rapport de P à p.

en négligeant n" vis-à-vis de in'.

Ici la valeur du rapport - ne dépend plus seulement de

celle de n' et du rapport ^» il varie avec les grandeurs absolues de c, a et w, et devient d'autant plus petit que C— û» et &)' croissent davantage, la valeur de -r restant constante.

Prenant, par exemple, 6 = 4fl, c = 3,5a, a=ro",3, n'=o,o2 et ot)' = ^, ce qui revient à supposer que le régulateur fasse moyennement près de 3o révolutions à la minute, on trouvera

valeur très-petite par rapport à celle qui a été trouvée pour le cas précédent, mais qui doit être considérée comme une limite inférieure dans ce système.

26. L'inconvénient que présente en lui-même l'allongement des verges BC, DC, résultant de l'obligation de placer le manchon G à une certaine distance au-dessous des boules P, fait souvent préférer à ce dispositif celui de la^?^. 9, qui Jouit aussi de la propriété de permettre d'augmenter, en quelque sorte à volonté, le rapport de 6, a, et dans lequel la figure ABCD est un véritable losange; mais, au lieu de placer les tiges AP, AP' qui portent les boules dans le prolongement exact des côtés AD et AB, on leur fait former, avec ce prolongement, un certain angle que nous nommerons m, et qui a pour objet d'éviter la trop grande acuYlé des angles A et C lors des faibles vitesses de la machine.

APPLIQUÉE Al'X MACHINES.

Pour celle disposilion, on aura évidemmenl

h =. ^acos{m -f- a), d/i=z — 2a sin(m H- a)rfa,

- 6'û)''sînaC0Sa— Pésina — apsïn(ni h- a)=r o,

et toujours

- Al£

6cosa = Al= -^»

en posant p = o et remplaçant co' par &>.

Fiff. 9.

De là on tire successivement et approximativement

a sînfm -4- a)

p ï sina (&/' — w'i 2/t'6 sina

= — 7T ( cosm-f 2n by

-=è=rsinm I

Adoptant les mêmes données que ci-dessus, et, de plus, faisant m = 3o% sinm = o,5o, cosm = 0,866, on trouvera

Si l'on prenait, au contraire, m = o ou qu'on mît les tiges AP,

g2 COURS DB MtCANIQCI

AP' sur le prolongement exact des verges AB, AD, on trouverait P = 6925/9 seulement, de sorte que l'augmentation de l'angle m tend à faire croître le rapport de P à/i.

Cette discussion servira à fixer le choix ou la préférence que Ton doit accorder dans chaque cas à Tune de ces dispositions sur les deux autres; elle fera pressentir, apriorij l'inOuence de chaque genre de dispositif, pourvu que l'on se rappelle que le rapport dont il s'agit ne peut être diminué sans que l'étendue de la course du manchon ne décroisse en même temps (*).

27. Cas oà le mouvement se ralentit; relation entre la plus petite et la plus grande vitesse nécessaire pour vaincre la r^ sistance, — Lorsque la vitesse de la machine, au Heu d'augmenter comme on vient de le supposer, diminue de manière i devenir w"=:(i~n'')ck), c'est le poids des boules qui doit faire équilibre à l'action de la force centrifuge et de la résistance/»; les équations restent donc les mêmes, au signe près de p, ce qui établit, dans chaque cas, la relation nécessaire

—r- = OU W^ -f- Oy^^ =r 2 w' ;

d'où l'on tire, en remplaçant w' par ( i -f- n' ) w et &)'' par ( i — ii'')«,

rrrn'(i-f-|/i')— i/i'»(i-i- j/i')'-h j/i'»(i-h ;n')' — ...,

ou, en négligeant les puissances de n' supérieures à la quatrième, •

résultat qui montre que le manchon et la vanne régulatrice

(' ) Les déTeloppcmcnts sur la théorie du ré{]ulateur qui sont reproduits dani les n^ 22 à 35 n'existent que dans l'édition de i836. Toutefois, nous deTons signaler que, dans l'édition de 1836, Poncelet avait déjà tenu 'compte de la force p nécessaire pour vaincre les résistances du système, et avait établi l'équation d'équilibre (i) du n® 23.

Depuis cette époque, do nombreuses études ont été faites sur la théorie du régulateur et sur les meilleures dispositions à adopter; on trouvera qd résumé de ces recherches dans la Note du n** 2d (K.)

commenceront à se mouvoir pour des écarts de vitesse sensiblement égaux de part et d'autre de la vitesse moyenne ou de régime o), pourvu que la grandeur de ces écarts, qui mesure ici le degré de sensibilité de l'appareil ou son énergie régulatrice, soit suffisamment petite.

Hais cet appareil doit remplir d'autres conditions qui, conjointement avec les précédentes, servent à déterminer, dans chaque cas, la valeur qu'on doit adopter pour a et 6; il doit, en effet, être capable de faire fermer ou ouvrir complètement la vanne motrice au moyen d'un nouvel accroissement ou d'une nouvelle diminution de la vitesse de la machine; car le manchon ne se mettra pas en mouvement tant que cette vitesse n'excédera pas &)', ou ne descendra pas au-dessous de u'^

S8. Conditions relatives aux limites de vitesses qu'on veut laisser prendre à la machine ('). — Soient a' et a", h' et A" les

(') Des régulateurs isochrones, — Pour l'un quelconque des dispositifs qui ■ont décrits dans le texte, la position du manchon et, par suite, le degré d*ouvertare de la vanne ou de la soupape d'admission du moteur se trouvent déterminés par la vitesse de la machine à l'instant considéré. Or, pour- que, sous one charge donnée, la machine conserve un mouvement régulier, il faut que ee degré d'ouverture soit tel que le travail moteur fourni par tour soit égal au travail résistant à vaincre dans le même parcours. Il résulte de là que, malgré la présence du régulateur, la vitesse de marche dépend de l'importance du travail transmis, et que toute variation dans ce travail est nécessairement accompagnée de variations de la vitesse.

On a cherché à éviter cet inconvénient; le problème revient à faire en sorte que la Titesse angulaire sous laquelle le régulateur reste en équilibre soit la même pour toutes les positions, ou du paoins pour celles qui sont comprises entre les deux limites de la course; les régulateurs qui jouissent de cette propriété ont reçu le nom de régulateurs isochrones,

Reportons-nous à lay?^. 6; conservons les notations du texte d'après lesquelles a est le c6té du losange articulé, b la longueur de la tige à boules, 0 la résistance à vaincre par le manchon, résistance qui agit toujours en sens inverse du mouvement et qui doit, par suite, être affectée du signe H- ou du •Igné — , suivant que le mouvement est ascendant ou descendant; désignons de plus par Q le poids du manchon ; l'équation d'équilibre, pour la position définie par l'angle a, devient (23)

(i) - w»*'cosoc=. P*-t-Qtfd:/>tf.

La valeur de m ne peut évidemment rester constante, pour toutes les valeurs

valeurs de l'angle a et de la hauleur h qui fixent simultanémenl la position des tiges et du manchon, relatives à la fermeture et à l'ouverture complète de la vanne motrice; nommons, de plus, w', = ( 1 -h /i',) w, w", = ( I — n" ) w les vitesses angulaires correspondantes, qu'on veut laisser prendre à la machine, on aura à satisfaire simultanément aux quatre équations suivantes, en considérant ici, pour exemple, le cas qui se rapporte aux dispositions de lay?^. 6 :

-û/*6*cosa — P6 — pa = o, - w' i' cosa — P6 = o,

-w'^ft^cosa'— Vb — pa^=Oy - û/'6*cosa" — P6 -^ pa = o\

ce qui suppose d^allleurs que la résistance /i demeure sensiblement constante pour toutes les situations de la vanne dont il s'agit. S*il en était autrement, il faudrait remplacer p par ses

de a, que si p est nul, ce qui n'a jamais lieu en pratique. U ne peut donc pas exister, pour les machines industrielles, de régulateur rigoureusement ejocAro/te; mais on a conservé cette dénomination pour les régulateurs disposés de telle manière qu'ils seraient réellement isochrones, s'ils n'étaient soumit à aucune résistance passive; dans cette hypothèse, l'équation (i) devient

p il) —&»'*' cosa = P*-»- Qa.

Diflércnts systèmes de solution peuvent être adoptés :

i^ Régulateurs à contre-poids, — La charge Q qui a{>it sur le manchon peut être rendue variable, et déterminée de telle sorte que, ta étant supposé constant, l'équation (2) soit vérifiée quel que soit a. On a proposé diverses toiations reposant sur l'emploi d'un contre-poids fixé à l'une des extrémités d'un levier dont l'autre tend à soulever le manchon, en s'appuyant contre lai par l'intermédiaire de cames convenablement déterminées; la plus ancienne disposition de ce genre est due à M. Charbonnier {^Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse, n<» 83, i8/|a).

o9 Régulateurs à ressorts, — Au lieu d'introduire des contre-poids dans le système, comme il vient d'être dit, on peut faire agir des ressorts conTenablement disposés pour faire disparaître le terme en a. Dans l'une des dispotitions imaginées par L. Foucault, le sommet inférieur C du losange est fixe, le sommet supérieur A porte la douille mobile le long de l'axe; on fait de plus 5 =: aa, condition |qui maintient les boules, pour toutes les positions, dans un même plan perpendiculaire à l'axe et passant par le sommet C. Le travail virtuel du poids P se trouve ainsi annulé; si nous supposons en outre qu'on ait rendu

APPLIQUÉE ÀUl MACHINES. gS

valeurs p* et p" qui correspondent à as! el a" respectivement. Ces équations peuvent être remplacées par leurs équivalentes

a UY a

cosa = -^, 6cos«'— ^ jj__(i -f-2/t g-^

\ §• __ (l — 2/lM £

6cosa"=r

en négligeant encore ici, vis-a-vis de Tunité, le carré des fractions /i', n, , n" y censées très-petites.

De là on tire, en remarquantque Ton a en général l\=^ia cos a,

nuUe la charge Q du manchon, et que nous introduisions une force noufeUe R» agissant sur le centre de gravité de la boule, suivant la perpendiculaire menée de ce centre sur Taxe, l'équation d'équilibre se réduit à