ûj'a sina = R

Si Ton dispose, suivant la direction de R, un ressort à boudin dont Tune

des extrémités est reliée à la boule, l'autre à un point fixe, et qui soit à l'état

naturel quand a = o, la tension du ressort, dans une position quelconque,

sera proportionnelle à son allongement, c'est-à-dire à sina, en sorte que 6j

aura une valeur constante dépendant de la roideur du ressort.

3® Régulateurs paraboliques, — L'équation {i) devient, quand la charge Q du

manchon est équilibrée,

,. g ^ b COS a 11

H désignant la projection de la tige de la boule sur Taxe : il en résulte que, si la distance du centre do la boule au point d'articulation A varie de telle manière que sa projection H reste constante, pour toutes les positions, la vitesse u

96 GODRS Dl MEgARIQUB

expressions dont les deux dernières donnent la mesure de l'amplitude de course àa nanchon de part et d'autre de si position moyenne ou d'équilibre strict.

29. Ces mâmes expressions ayant pour facteur commun la quantité 3?-^' on voit que leurs rapports s'en trouvent indépendants, et ont des valeurs complètement déterminées dés qu'on s'est donné celles des nombres n', n', et n', qui règlent les écarts de la vitesse angulaire sur sa valeur moyenne ou de régime.

relie également conituie. Ce résultat e>t obtenu, li l'on fait mouToir le centre Je* boule* luiTaDt uoe parabole : l'exécution d'un tul syaléme «si difficile et compliquée; on a euajë de lui en subitituer un autre dans lequel les courba parabolique* sont remplacée* par de* brai ordinaire* k deux articulation*, permeltant aui boules de décrire dei arcs de cercle trè«-Toi*iD> de* arc* de parabole [Régulateur parabolique de Frank, Tecinologisle, t. IX, l8jB). 4° Mégulaleursà brascroiiéi. — M. Farcola imaeinéun régulateur repréaenlé dam li fig. ID, qui lieal h la Tal* de* Flg. 10. troia Bjitimei précédents : le contre

de rotation de la tige k boule* e*t en deliors de J'aie, et déterminé de telle manière, que le cercle décrit par le centre de la bouie soit, entre le* deui limite* de course, trés-voisin de l'are de parabole qui correspond à la lolulion rigoureuse; l'erreur réiultanl de la non-concordance de* deux courbe* est corrigée en partie par un coDbrepoîd* (Briable, en partie par un retsort à boudin qui enveloppa l'arim et dont l'une de* extrémité* e*t Btéa au blilis et l'autre k la face inférleai« du mancbon.

Si l'on déalgne par p la diataoM de l'articulation aupérieure à l'axe, par K a force verticale Tariable inlroduile par le re**ort, l'équaUoo d'équilibre Mt

-«•Je

i«(»iin> — p) = P£*iQ<x-l-(Q-1-H)a*i

qui donne la condition k laquelle doirant Miliiraire la dialance jsetle nod« de varialian des force* Q et R, pour a**urer 1* conitance de la Tilea*e m.

i" Régulaieurt à bouUs conju0uéei. — M. E. Rolland a donné une solatioa rigourcuM du problème de l'itocbronitme, Mm* faire mage de reaMWto ni de

Si l'on veut notamment s'imposer la condition que les amplitudes h — h\ h"^— h de la course du manchon soient égales entre elles, ce qui, au premier abord, parait assez convenable, ces nombres devront satisfaire à Téquation

Gi)

— I ou

Gi)

Celte relation fera connaître Tune de ces trois quantités, quand les deux autres seront données : en supposant, par exemple, n* = n', = o,o4, ce qui revient à prendre w' = 0,960),

contre-poids variables; le principe général consiste à compenser, à l'aide d*une

Fig. ir

deuxième boule, les Tariations résultant des déplacements de la première. La fig. ii indique Tune des dispositions des divers systèmes dus à M. Rolland. A' A'' est l'axe du régulateur : à cet axe est lié un support OA portant en G un petit arbre horizontal sur lequel sont calées deux tiges à angle droit OB, OB'; celles-ci portent des boules égales B et B', placées à la même distance de 0; elles sont articulées en C et G', avec les tiges CC et C'O", qui sont articulées elles-mêmes en 0' et C avec les bras horizontaux C'A', CA", terminés par des douilles A', A", mobiles le long de l'arbre. Ce dispositif est reproduit de l'autre côté de l'axe; il peut, du reste, être répété dans un nombre quelconque de plans, formant entre eux des angles égaux, autour de l'axe. Soient :

^ U disUnce OA = 0' A' = O'A" ;

/ U longueur aC = CO = OC = C'O" ;

L la distance du centre de gravité de chacune des boules B, B' au point O ;

P le poids de chaque boule ;

x^y des eflbrts verticaux exercés de haut en bas, l'un en O*, l'autre en O';

a l'angle BOO'.

L'équation d'équilibre, pour une position définie par a, est

— PL/»(8inoe-f-co8a)=(PL-{-37/)sina -4-(2x/ — PL)cosa,

les conditions d'isochronisme sont remplies si l'on annule les coefficients de •in« et de cosx; on trouve ainsi

Cm relations permettent de déterminer les râleurs à donner aux charges^ et x

f/H COCBS DS mECàHIQI'B

M -i.o^M, on trouve !<i'=: i .oagSu ou n' = o,o4à peu

MaH il oViil pas indispensable de limiter ici le nombre n', tlunl lu politesse indique le degré de sensibilité de l'appareil, pt rien «o s'oppose à ce îjue, se donnant à volonté n' et n', ou w' *'l n»'i . la valeuv de n' qui résulte de l'équation ci-dessus difr^rr lin peu de celle de n\; en prenant, par e'^emple, /t'=o,02 PI n', -«,o4, on trouve '.i'==o,g245w',,ou (1" = 0,037, de sorte iiiio les (écarts de la vitesse angulaire de part et d'autre de la inovonne u, bien qu'ioégaux, ne différeraient entre eux que (Ipk u,tK>3 (le u, quantité tout à fait négligeable.

Sl>, Conditions relatives à ta constitution matérielle du sttli-mf. — Supposons que le nombre n' ail été déterminé comme on vient de l'indiquer; la connaissance des nombres k', n\ , «', et des quantités ^ et A — A' ne suffit pas pour fixer la grandeur des autres éléments du problème, tels que P, a, A, M, A,.. .: car nous avons ici moins d'équations que d'inconnues: il faut joindre à ces équations les eo^UIoDS ou données particulières que Tournit la constilutlmT milérielle du

fflnr i>l>ii>uir la lilni^ raiiflautv n: •.•n loit qu'a l'aldo d# rctie diipo«tîon ri|t|>aivil iwat itrt rt^U pdur un« vihue n^rmaU qiKlcvDiiue, pat de ûmiilei Mi-diiirdlii'Bt «ui rharc«4 ailJiiionn«II« J #1 r.

Si IVn rhoiiil t île wWt mauiriv qu* sali ^1 à i, la cbarcc.i devienl

ni»nf . t-t l'on » J — P T : l» Joaill» m.>hilr inférieure peul alon être lappriBce, ■inu qur Ir* lij*» CO , (V\': on tnin >ii»i à un nfnUlnir boekvac JobI IVirruti.-n n'm \\tt flm <\>m|>l)>iii(v qoe relie d'an rvpiUlear «rdiBajrc.

KrfxU.rt'i i ^:.V .-.■■■,. — V. Yiun Mlbrreau .t\-'nr!fj mJiu A- r.4cajêmie Jri S.~.t*.-:i. } el i.» juin iS-j a fiil rfin»^)urr quf les deai Woles caniafvff* ie* re;v\»\can Je ¥. Rolland pvnt-rnl ^r« rrmplaraM par ane m»Me unifur ft»r.i*i:iM.r.nrut •IdrrMÎBiVi il a flndir en outre la qactdoa d«a nfaliteiir> iT.vhr\<'«r« Jttlinn a nainirnir le niiairaent anifiirme par lear action mr ift n*itttOK>. el plut iMnieuliêreBeat. wr la r<»jtunre de Tair ■ l'aide da dr|>l<*Maeal laii^le d'aitelm relie*» k t'«ip|unîl. Dan c« ma. ka nûatanns fjuaixrt pnMivaat 4e la BaBupaTre Je U ïaha d'adaaùi

système et qui limitent l'étendue des valeurs à attribuer aux quantités en apparence tout à fait arbitraires.

Parmi ces dernières conditions, les plus importantes ont déjà été indiquées h l'occasion de la disposition {fig. 6) qui nous occupe : i*^ les boules ne doivent pas, dans leur position la plus basse répondant à Tangle a", venir toucher le levier qui lie le manchon à la vanne motrice et dont la position est sensiblement horizontale ; ^^^ ces mêmes boules ne doivent pas non plus venir toucher les verges inférieures BC et DC du losange à l'instant qui répond à cette position la plus basse. A ces conditions, on peut joindre celle que l'angle a" ne soit jamais au-dessous de 20 à 3o degrés, afin de ne pas être obligé à évider par trop la chape qui reçoit en A les verges des boules ou de courber ces verges ellesmêmes, ce qui se fait néanmoins quelquefois. Enfin on peut admettre que le rayon des boules ne dépassera pas, en aucun cas, o"*,i2, ce qui leur suppose un poids d'environ 62 kilogrammes; que, d*un autre côté, la demi-largeur des verges CB et CD, ainsi que celle du levier GL, ne surpassera pas o™,o25;

ces dernières imperfections; l'ccart moyen de la vitesse constate sur un ré(;ulnteur construit par M. Bréguct dans ces conditions s'est trouve réduit à i millième* de la vitesse du régime, mal{jrc les variations du poids moteur dans le rapport de I à 6.

De tels régulateurs ne peuvent évidemment convenir que dans les cas où Ton n'a pas à se préoccuper de l'économie du travail moteur; ils sont surtout destinés à assurer une vitesse uniforme à des instruments de Physique ou d'Astronomie.

Sensibilité des régulateurs isochrones. — lorsqu'il s'agit de régulateurs des machines industrielles, les résistances passives ne peuvent jamais {^tre rendues néoiligeables ; il en résulte que, si l'équilibre est établi sous un angle «, à la vitesse normale Ug, cette vitesse peut augmenter jusqu'à une valeur ot' ou diminuer jusqu'à une autre valeur w", sans que le manchon se mette en mouvement. Ces doux vitesses, qui sont données par l'équation (i), deviennent, dans le cas de lay?^. 6, quand la condition d'isochronisme (s) est remplie,

^'^u^g^^' et ^'=u-, rjL^y.

\ » ^Po*cosa/ \ Vu eus v./

La résistance p varie, en général, avec la position de la valve ou du manchon ;

l'écart maiimum dos vitesses correspond à la position pour laquelle '

' cos a

lOO COURS DE MfiCANIQUB

qu'enfin le jeu à conserver entre les boules et ces verges oa ces leviers sera au moins de o'°,o35.

Désignant par 7 l'intervalle qui existe entre le milieu da manchon G et le centre des articulations C, les deux premières conditions donnent évidemment lieu aux inégalités

A — 6 cosa" ou 2

BOsinCBO ou (6-«)sin2a"

I — ^ ) sm a" ^ ^ -2. > o»,i8,

bj 1 — 2/1, w'

dans lesquelles a'' doit être pris égal à 20 degrés au moins.

est maximum. On reconnaît du reste que, dans les conditions pratiques, la

moyenne des Titesses extrêmes diffère très-peu de la vitesse moyenne w,,

en sorte que l'écart proportionnel des vitesses est sensiblement égal à

w' — w* ea

û), cu-F^* cosa

expression dans laquelle il faut attribuer à ^ sa valeur roaxima. "^ ces «

La sensibilité de l'appareil dépend donc directement de l'importance des résistances passives ; il en résulte qu'U n'y a aucun avantage à employer des régulateurs rendus isochrones par l'introduction de masses considérables qui, en chargeant les articulations, occasionnent un accroissement notable des résistances passives.

Dans ce qui précède, nous n'avons envisagé les régulateurs que dans leur état d'équilibre; si l'on veut se rendre compte du fonctionnement réel de ces appareils, il est indispensable d'étudier les conditions du mouvement qui les amène d'une position d'équilibre à une autre. A ce point de vue, leur moment d'inertie joue un grand rôle; M. Rolland a fait voir (Mémoire sur l'établissement des régulateurs de la vitesse. Journal de l'École Polj-technique, XLIll* Cahier) que, lorsque l'importance de ce moment dépasse certaines limites, il peut en résulter, pour les boules et par suite pour la vitesse de la machine, des osdllalions continues que les praticiens appellent oscillations à longues périodes. M. Rolland a étudié jes moyens à employer pour réduire au minimum l'inertie de l'appareil, et il a indiqué une disposition d'un régulateur parfaitement isochrone, dans lequel il n'existe aucune masse parasite {voir le Mémoire cité plus haut). (K.)

APPUQUÉB AUX MACBIIfES. 101

Ces inégalités feront connaître les limites des valeurs qui

peuvent être attribuées au rapport ^9 quand on se sera donné,

avec oL^j la valeur de l'une ou de l'autre des quantités &> et h— h't qui sont liées entre elles par la relation

^ b IH- 2W'. (0^

Ayant réglé les valeurs de a", «, /?, h — A' et ^j d'après ces

considérations et celles qui peuvent résulter de l'établissement du système de leviers servant à transmettre le mouvement des manchons à la vanne motrice, on en déduira immédiatement les valeurs de p, b, a,, . , au moyen des équations

2n'b^ cosa"(i — 2/1",) w'

31. Limites des proportions à adopter. — Pour que ces valeurs soient admissibles, elles ne devront pas dépasser certaines limites que l'usage ou l'expérience indique. Ainsi, par exemple, il y aurait quelque inconvénient à ce que P excédât de beaucoup 36 à 4^ kilogrammes et que b fût supérieur à I mètre ou à i",io. Or, d'une part, Texpression ci-dessus de b fait voir que cette dernière limite serait notablement surpas-

sée si l'on donnait à cosa" et à — des valeurs trop inférieures

g à l'unité, condition qu'on remplira en ne donnant pas à l'angle a" plus de 3o degrés, et ne faisant pas faire à l'axe du régulateur moins de 3o révolutions par minute. D'une autre part, on ne saurait attribuer à /i' une valeur au-dessus de o,o3 sans faire perdre à l'appareil sa propriété régulatrice; la première des inégalités ci-dessus donne

puisque y est au moins égal à o'",o2, que co' doit surpasser g^ d'après ce qui précède, et qu'enfin la fraction __',,? dans

laquelle n' est plus petit que n"y surpasse elle-même Tuniié, on aura nécessairement

0,6 4f>^* yL

r> tpy>iop, et partant p>- — >4*«

UjOO' ' '10

Celte condition pourrait conduire à donner à h — h\ dans

certains cas, des valeurs trop petites incompatibles avec

l'équation

f ,, , a rï, — n' a

car le produit p{/i — A' ), qui exprime en quelque sorte Teffei utile du régulateur, pour la course ascendante du man- "^ chon, a une valeur assignée par Tamplitude correspondante (lu mouvement de la vanne et de la résistance que ce mouvement entraîne avec lui, de sorte que p ne peut être diminué sans que h —-h' augmente. Substituant d'ailleurs la

valeur de j- tirée de celle dernière relation dans l'expression de P, il en résultera

Sn'in, — /i ) é>'

nouvelle expression dans laquelle le produit /i(A — A') est

donné, — >i, et qui peut conduire à une valeur de P supé-

rieure de beaucoup à 4^ kilogrammes, auquel cas il faudrait renoncer au dispositif de la Jig. 6 pour recourir à l'un ou h l'autre de ceux des^^. 8 et 9.

Je ne crois pas d'ailleurs nécessaire de rapporter'ici les équaiions de condition ou inégalités relatives à ces derniers dispositifs, les discussions qui précèdent montrant suffisamment la marche qu'il faudrait suivre.

32. Système d'embrayage pour suppléer la force du régulateur par celle de la machine. — Lorsque les valeurs de/> et de A — h' sont tellement grandes ({a-ft devient impossible de faire mouvoir directement la vanne pÉr'lo manchon du régulateur, on sait que Tusage des consirit|^urs est de tirer, du

APPLIQUÉE 4UX HACHIKES. Io3

mouvement même de la machine, la force nécessaire pour opérer celle manœuvre; le dîsposiiif employé dans ce cas esl représenté dans la^ig*. 12.

Fij. n.

Le régulateur est alors uniquement employé h faire mouvoir le manchon d*cmbrayagc L par riniermédiaire du levier GL; OK est un arbre qui tire directement son mouvement de la 4lnachinc, et autour duquel peuvent tourner librement, sans glisser longitudinalemcnt, les roues d'angles N, M qui engrènent dans la roue Q servant à transmettre, tantôt dans un sens, tantôt dans Tautre, le mouvement de Tarbre OK à lu vanne, dès que le manchon à griffe L, qui a au contraire la faculté de glisser sans tourner sur ccl arbre, vient à embrayer Tune ou Tautre des roues N ou M, de manière à les rendre solidaires avec ce même arbre.

Il résulte de ce dispositif que l'effort p est simplement remplacé par celui qui est nécessaire" pour faire glisser d'abord, puis embrayer le manchon L avec Tune ou l'autre des roues N et M dont il s'agit. Mais comme, à partir de Tinstant où les griffes du manchon L sont amenées en contact avec celles de

I04 '. ijT * QQDM BB MfiCANIQUB

■.*r ces roues» VeBùtl p doit être augmenté, pour vaincre les résistances inhérraies à Teinbrayage, il s'écoulera un certain temps avant que la machine ait acquis le nouvel accroissement ou la nouvelle diminution de vitesse que nécessite cesu^ croît de résistance (').

33. Conditions de l'établissement de ce système. — Nommant p' TeiTort que doit alors exercer le manchon G du régulateur» 'ij'j=(i-h/i',)a), w''j=(i — n' )w les vitesses correspondantes du régulateur, et observant que les angles a\ a' et les hauteurs A% h" n'ont pas varié, on aura à satisfaire aux nouvelles équations de condition

- wVft'cosa — P6— /i'a = o, - w^fr^cos a''— P6 -+-/>'« = o,

qui serviront simplement à déterminer les valeurs de (ù\^ &>', si l'appareil se trouve déjà établi, ou à déterminer les valeurs de P, a, 6, . . . conjointement avec les équations de condition précédentes, si l'on prétend se donner arbitrairement ces premières valeurs; mais, comme alors on aurait à satisfaire à plus de conditions qu'il n'y a d'inconnues si l'on continuait à

'^^) Régulateurs à cônes de friction» — Ainsi que cela est dit, à la fin du n® 35 du texte, le système représentée?^, la conduit à des écarts de vitesse notables et souvent à des oscillations à longue période. Cela tient à ce que les résistanoe» sur le manchon, qui sont ordinairement faibles dans le trajet entre les àtnÊ roues, deviennent brusquement très- importantes, au moment des embrayages ou des débrayages. On a cherché à remédier à cet inconvénient en substituant à l'embrayage à dents un système de cônes de friction dont la manœuvre est plus douce et plus régulière. M. Farcot est l'auteur d'un régulateur de oe genre; il a perfectionné, en outre, la réglementation en adoptant une disposiUon dans laquelle la valve d'admission est manœuvrée, non-seulement par la rotation résultant de l'embrayage, mais encore par le mouvement du manchon le long de l'axe; les deux cônes sont, du reste, mobiles dans le sens vertical entre certaines limites de course et d'eflbrt, en sorte que le mouvement longitudinal du manchon peut se continuer après l'embrayage. Le système ingénieuseniMit combiné, à l'aide d'arbres creux concentriques qui permettent de ramener toutes les pièces autour de l'axe du régulateur, est d'une exécution et d'un entretien difficiles; il n'est, du reste, pas établi au point de vue de l'isochro-» nisme, et le constructeur lui a substitué, depuis quelques années, le régulateur à bras croisés (Note du n» 28). (K.)

prendre &>', et (ù\ arbitrairement, on devra regarder les équations d'équilibre, qui renferment ces quantités, comme propres seulement à les déterminer quand les autres quantités du problème auront été fixées, et remplacer, en conséquence, les équations dont il s'agit et toutes celles qui en dérivent par d'autres, dans lesquelles on devra substituer p', (ù\, o}\, n\, n\ i p, to,, (k)', n',, n\ respectivement.

Relativement à la manière de déterminer p, elle consiste tout simplement à mesurer, à l'aide du dynamomètre ou par un moyen quelconque, l'effort nécessaire à appliquer au manchon G dans la direction de l'axe AH du régulateur pour faire embrayer le manchon L avec l'une ou l'autre des roues N et M pendant le mouvement même de la machine ; ce qui n'a aucune difficulté lorsqu'une fois le système de l'embrayage et du levier GL se trouve établi. On pourra aussi calculer directement les résistances de ce système, d'après ce qui sera dit dans les sections suivantes de ce Cours, en observant que la résistance à l'embrayage, mesurée dans le sens de Taxe OK du manchon L, provient essentiellement : i*^ du frottement produit sur les faces des griffes par la pression qu'il faut leur appliquer perpendiculairement pour vaincre la résistance opposée par la roue Q; a'^du frottement produit le long de l'arbre OK tant par le poids propre du manchon que par la réaction qui provient de cette pression, et qui s'exerce principalement sur la languette saillante servant de guide à ce manchon le long de l'arbre dont il s'agit.

Il est sans doute inutile d'observer que la résistance p' doit être évaluée, d'après les suppositions et pour l'instant les plus défavorables possible, de sorte que l'effort réel ne puisse jamais surpasser celui qui aura été adopté d'après le calcul ou l'expérience; et, comme il faut que cet effort soit exercé dans toute l'étendue de la course du manchon L, pendant l'embrayage ou le débrayage, il serait convenable de comprendre cette étendue dans les valeurs de A — A', A" — A, qui sont censées correspondre aux vitesses limites &/, et w' dont il a été question ci-dessus.

Les équations de condition spécialement relatives à l'établissement du régulateur deviendront ainsi, en admettant tou-

jours la disposition de \^fig. 6,

b\ «Ww *A 1 + 2/.; w»'

auxquelles il faudrait joindre les inégalités du n^ 31, qui deviennent ici

a^ [i — 9.n') I I A oi' ^ o,oq (i — an^J

b > ^^^) -^ l'''°9 -'• 2-/) 7 < ■ - sïïïï? r.^^'

et dans lesquelles a'' doit toujours être pris au-dessus de 2o degrés.

34. Action de la gravité et de la force centrifuge sur les verges du régulateur. — Avant de terminer ce sujet, nous croyons devoir indiquer la manière de tenir compte de l'action de la gravité et de la force centrifuge sur les verges du régulateur, action qui peut exercer une certaine influence dans le cas où la résistance /> serait très-faible.

Négligeant encore le frottement des articulations du système dont l'action, qui s'ajoute à celle de />, en demeure toujours une très-petite fraction, supposant d'ailleurs aux verges une forme prismatique ou remplaçant, dans certains cas, leurs sections variables par une section moyenne constante, ce qui altérera très-peu les résultats du calcul, on décomposera d'abord le poids des verges inférieures BC {Jig. 7 et 8) en deux, l'un agissant en C et l'autre en B : le premier s'ajoutera au poids du manchon 6 pour augmenter ou diminuer la valeur de pf selon la disposition du système et le sens propre du mouvement de ce manchon; le second sera de nouveau décomposé en deux autres agissant en 0 el A, dont l'un s'ajoutera au poids P des boules et l'autre sera détruit par la résistance de l'axe A. On décomposera pareillement le poids des verges ABP en deux autres, agissant aux mêmes points A et 0.

D'après cela, nommant 9, q' et Çx respectivement le poids

simple des verges inférieures et supérieures ainsi que du manchon G, on trouvera» en particulier pour le cas de \^Jig» 6 el en conservant les dénominations jusqu'ici admises, que le poids P des boules doit être augmenté de la quantité

- ( g j -f- g' j et la résistance p du poids ç -h 5, si le manchon

s'élève, ou diminué de ce même poids s'il s'abaisse.

Quant à la force centrifuge des verges, on trouve sans difficulté que, pour chacune d'elles, son action équivaut à celle d'une musse égale au tiers de la sienne propre et supposée concentrée à l'extrémité la plus distante de Taxe de rotation. Or il résulte de cette proposition que, pour tenir compte de Taclion de la force centrifuge sur les verges, il suffira d'aug-

p menter simplement la masse M = - des boules de la quantité

Dans le cas de la Jtg. 9, on observera que le poids du manchon et du losange supérieur ABCD est opposé à celui des boules; de sorte que, si Ton représente ici par q, q et 9'' respeciivemeni le poids des verges ou portions de verges AB, AP el BC, on devra remplacer, dans les équations d'équilibre qui s'y rapportent,

par P-^-7'- ;(V-T-r)-ïp

n . ' ' ^ i . yx^^ sin(/7/ H- a) 2 ' 2 ^ ^ h sina

P I , I / ,,, a rosf/72 -^ x)

g ôg^ 3 ' ' W; cosa

p par p — 7i — q" si la vîlesse augmente, et par p -^ q^-hq** si, au contraire, elle diminue ou que le manchon s'élève.

35. Observations générales relatives à l'établissement des régulateurs à foixe centrifuge, — Les développements dans lesquels nous venons d'entrer sont suffisamment motivés par

Io8 C0DB8 BB HfiCÀlflQUI

Timportance des applications que reçoit, dans l'industrie, le régulateur à force centrifuge et Tétat d'imperfection où se trouve encore sa théorie; mais nous n'aurions qu'imparfaitement rempli la tâche que nous nous sommes imposée s! nous n'insisiions quelque peu sur l'étendue de ces applications et lés attentions qu'on doit avoir lors de son établissement.

D'abord il est clair que, quelle que soit la manière dont il ail été primitivement réglé, les effets ne pourront être que trèsincertains, très- irréguliers si la résistance de la vanné ou du système qui la lie au manchon n'est pas constante, ou si elle est susceptible de croître au delà des limites qui lui ont été d'abord assignées, ce qui arrive pour beaucoup de cas.

Ensuite si la machine est par elle-même douée d'un mouvement oscillatoire ou périodiquement variable, telles que eelles qui portent des balanciers, des bielles et manivelles, le régulateur ne fera lui-même qu'osciller à chaque révolution, autour de la position moyenne, en imprimant à la vanne motrice des mouvements contraires, plus nuisibles qu'utiles, puisqu'ils ne peuvent en aucune manière empêcher la périodicité de la vitesse de la machine. Le volant, dont nous étudierons la théorie plus loin, est seul capable de diminuer l'amplitude de ces variations de la vitesse, pour ainsi dire momentanées, et l'effet du régulateur doit se borner à empêcher que ce mouvement ne s'accélère ou ne se retarde pas trop dans une succession de périodes de la machine (').

Enfin lorsqu'on a recours simultanément à l'emploi d'un volant et du régulateur, il convient de ne pas donner à ce dernier une sensibilité telle, qu'il puisse osciller pendant la durée du mouvement régulier ou de régime de la machine, oe^ui exige qu'on prenne pour /l'ot) ou n"(ù précisément le plus grand des écarts que reçoit la vitesse durant ce mouvement et malgré la présence du volant. On peut aussi, sans diminuer celte

( ' ) Corrélation entre le régulateur et le volant. — L'action du ré(^latear est en relation intime avec rénor{rie du volant; quelque sensible que soit an régulateur, il ne peut pas agir instantanément; les considérations exposées dAns le texte prouvent du reste qu'une trop grande sensibilité serait ordinairement plus nuisible qu'utile. Il faut ajouter que, dans la plupart des machines, surtout dans les machines à détente, le régulateur ne peut avoir d'action efficace

APPLIQUÉE AUX MACHllIBS. IO9

sensibilité, donner à la gorge du manchon .qui conduit les vannes une longueur telle que, moyennant un jeu convenable, ces dernières ne se meuvent qu'à partir de la position du régulateur, qui répond au plus grand écart dont il s'agit. Cette disposition est surtout nécessaire dans le cas où l'on est forcé d'employer, pour manœuvrer la vanne, l'embrayage dont il a été parlé au n** 32; mais alors le jeu, au lieu de s'établir sur l'un ou l'autre des manchons, doit l'être sur l'arbre même qui porte l'embrayage, de façon que le manchon de cet arbre ait un certain espace à parcourir avant d'embrayer dans l'une ou l'autre des roues. De plus, comme ici la vanne est susceptible de s'élever ou de s'abaisser d'une quantité très-grande avant que l'inertie des masses de la machine ait permis de ramener, d'une quantité sensible, la vitesse actuelle vers la vitesse de régime, on voit que ce dispositif pourra, dans certains cas, présenter des inconvénients fort graves, et aura dans tous celui d'amener la vanne à un état d*oscillation d'une durée plus ou moins grande, ce qui tient à ce que les amplitudes de son mouvement n'ont qu'une dépendance fort indirecte avec la cause qui fait varier la vitesse de la machine, et qui consiste évidemment dans la variation même des résistances qui lui sont appliquées.

Cette dernière considération nous conduit à une solution du problème qui nous parait plus directe et plus simple, outre qu'elle jouit de divers avantages très-essentiels que nous aurons soin de faire connaître dans l'article suivant.

sur le moteur que pendant une fraction de la course du récepteur, c'est-à-dire pendant la période d'introduction. Il résulte de là qu'il s'écoule nécessairement un temps plus ou moins lon(; entre le miimcnt de la production d'une variation dans la vitesse et celui où le ré[;ulateur ])eut apporter une correction aUIe. Pendant cette période, les volaiils seuls peuvent atténuer les inconvénients des variations; leur moment d'inertie duit donc être calculé de manière à ne pas laisser atteindre à l'accélération du systônic sa valeur dangereuse, et, en second lieu, à maintenir la vitesse entre les limites voulues, en 8up[)osant que la TariaUon de travail persiste pendant tout le temps ({uc le régulateur ne peut pas aToir d'action efficace {voir, au sujet do la corrélation entre le régulateur et le volant, le Mémoire sur les elTels des variations du travail, et sur les moyens de les corriger, par M. Ë. Rolland, Comptes rendus de V Jcadémîe des Sciences , JanTÎeriS;)). (K.)

COURS DE MÉGàMIQUB

Nouveau régulateur à ressort et instantané.

36. Description de V appareil. — A et A' (fig, i3) sont deux portions indépendantes d'un même arbre moteur, interrompu vers le milieu de l'intervalle compris entre les coussinets hg^ qui en supportent les extrémités voisines. L'arbre A entraîne» dans son mouvement, le tambour en fonte CC, qui est évidé

intérieurement et armé de mentonnets saillants a6; l'arbre A' fait corps avec le noyau a a' portant des lames d'acier droites et flexibles aa' dirigées suivant les rayons, et dont les extrémités les plus éloignées de Taxe sont pressées par les roentonnets ab du tambour C; de cette manière, le mouvement de rotation de l'arbre A est transmis à l'arbre A' par rintermédiaire des ressorts aa\ et réciproquement.

B, B' sont deux roues égales portant le même nombre de dents, et qui reçoivent le mouvement des deux arbres respectifs A et A'; ces roues engrènent avec les pignons F et F' montés sur l'arbre l>l>' parallèle à AA': mais, tandis que la roue F' fait

corps avec son arbre, la roue F, qui porte un manchon à gorge G et dont le noyau est taillé en écrou, peut cheminer le long de cet arbre qui, à cet effet, est taillé en vis. Maintenant il est clair que, si les portions d'arbre A, A' faisaient système, les roues B, B' décrivant les mêmes angles, Técrou suivrait le mouvement de la vis sans cheminer longitudinalement; mais que, comme ces arbres, au contraire, parcourent des angles dilîorents à cause de la flexion des ressorts qui les unissent, il arrivera que la roue F cheminera le lijng de son arbre d'une quantité qui sera exactement proportionnelle à Tangle de torsion des arbres A ei A', et dont elle donnera la mesure précise; qu'enfin, si Tefforl de réaction de ces mêmes arbres est constant, ce qui suppose le mouvement rigoureusement uniforme, la roue F tournera, sans cheminer, à la place que lui assigne l'angle de torsion relatif à cet effort. Concevant donc que le manchon G soit employé à faire mouvoir la vanne, qui sert à régler le volume du fluide moteur admis sur la machine, de manière que cette vanne s'abaisse quand la flexion des ressorts augmente et s'élève quand elle diminue, on voit que le nouveau dispositif remplira d'autant mieux les fonctions de régulateur qu'ici les quantités dont la vanne s'est élevée ou abaissée, c'est-à-dire dont l'orifice s'est agrandi ou diminué, seront exactement en rapport avec les variations correspondantes de la flexion de ressorts qui, en deçà de la limite pour laquelle l'élasticité est altérée, sont elles-mêmes, comme on sait, exactement proportionnelles aux variations de l'effort qui sollicite ces ressorts à leurs extrémités.

37. Dispositions diverses de ce régulateur. — Au lieu des roues dentées B et B', F et F', on peut employer de simples poulies qui se communiquent le mouvement par des cordes sans fin, pourvu que ces cordes soient convenablement tendues et que l'arbre DE soit assez éloigné de AA' pour que la poulie F; qui alors aura très-peu de largeur, ne se présente pas trop obliquement par rapport à la corde qui la lie à la poulie B.

Pareillement, au lieu de laisser au pignon F la liberté de cheminer dans le sens de l'axe DD',ce qui oblige à donner une grande largeur, soit à ce pignon, soit à la roue B, on pourrait

COURS DB MÉGÀMIQUB

le maintenir à la même place au moyen d'epaulemenls latéraux fixes, mais alors c'est Taxe DD' qui porterait le manchon et aurait la faculté de glisser longitudinalement, soit dans ses deux coussinets, soit dans l'œil de la roue F', qui serait épaulé latéralement et porterait des tenons saillants s'engageant dans des mortaises pratiquées longitudinalement sur l'arbre D, V.

38. 11 peut être avantageux, dans certains cas, de remplacer le tambour C par une roue d'engrenage de la machine, qui serait folle sur l'arbre AA', composé alors d'une seule pièce» et ne transmettrait son action à ce dernier que par l'intermédiaire des ressorts a, a' disposés comme dans le cas précédent. Dans ce dispositif la roue B', par exemple, ferait système avec la roue C, ce qui exige qu'elle puisse , de son côté , tourner librement autour de l'arbre A A'; mais alors la roue C peut ellemême très-bien en tenir lieu, lorsque sa denture est exécutée avec la précision convenable.

Enfin nous indiquerons encore la disposition très-simple de

Fig. lij.

layïgr* i4» ^^^^ laquelle la roue F et le manchon àgoi^e G,

APPLIQUÉE AUX MACHINES. Il3

qu'elle conduit, sont montés sur Tarbre même du tambour C, mis en mouvement par la roue d'engrenage £ : l'angle relatif décrit par ce tambour et par l'arbre AA', en vertu de la flexion des ressorts, fait mouvoir le double secteur denté B6% monté sur un arbre particulier D, faisant corps avec AA', etc.

39. Calcul des dimensions à donner aux lames ('). — Voyons maintenant comment on devra procéder à l'établissement du régulateur qui nous occupe.

Supposons les lames des ressorts égales et prismatiques; nommons P l'effort total qui les sollicite à leurs extrémités près du tambour C, n leur nombre, a leur longueur ou saillie sur le noyau, b leur largeur, c leur épaisseur, / leur flèche commune, qui, étant censée fort petite par rapport à leur longueur a, peut être prise pour Tare décrit par leurs extrémités, on aura, d'après les formules connues sur la résistance des verges élastiques à la flexion^

4Prt^ •^~ nEbc^'

dans laquelle le coefficient d'élasticité E est d'environ 21 ooooooooo kilogrammes pour l'acier fondu, et lorsque l'on prend le mètre et le kilogramme pour unités de mesure. Désignons, en outre, par P' et/' le plus grand effort et la plus grande flèche que doivent supporter les lames, afm que leur élasticité ne puisse être altérée, même après un long usage, effort qui est environ 7 de celui qui répond à la rupture, on aura, pour régler les dimensions de ces lames,

•^ nEbc^ nbc^ n ha

dans lesquelles E a la même valeur que ci-dessus; et R, coefficient de rupture, doit, d'après M. Morin, être pris égal à io3 333 333 kilogrammes.

r *} Voir^ pour la détermination de la forme et dcsT dimensions des lames, Ja Hotice sur divers upj^areils dynamométrùjues, par M. A Morin. (K.)

Il4 COURS DB MÉGAlflQUB

De là on tire, pour calculer Tépaisseur c et la largeur (, quand la longueur a et la flèche maximum /sont connues,

18E/' ' /' K/ic' ^' no»

Prenant f= o",o5, n = 32, P = 2000 kilogr. et a = o*,5, on trouve c=:o™,oo38 et 6 = 0™, 372. Cette dernière dimension ne pourrait être adoptée pour la largeur d'une lame unique; on remplacerait celle-ci par six ou sept petites lames de o^'yoS à o™,o6 de largeur dans le sens de Taxe de la roue, si mieux on ne préférait augmenter le nombre n ou la largeur a de manière à réduire b convenablement; résultat auquel on arriverait surtout en diminuant/, d'où dépend essentiellement la sensibilité de Tappareil.

D'ailleurs, si Ton donne au profll des lames la forme de la parabole d'égale résistance, en leur conservant toujours l'épaisseur c près du noyau de l'arbre, la flexibilité sera augmentée et les résultats seront plus avantageux. En effet, les formules deviendront alors

C = -rj-= :xj =0,OOl53 ■jr.i 0— =::0,07433 «^ F',

18E / / nixc* ' /la*

ce qui donnera dans les hypothèses ci-dessus, c'est-à-dire pour

C = 0™,0272 et 6=:0™,I22.

40. Disposition à adopter dans le cas de machines puissantes exposées à des cfiocs. — En supposant que l'appareil ait été monté sur un axe à grande vitesse, ce qui parait convenable, la valeur 2000 kilogrammes, attribuée à P, répondra évidemment à une machine très-puissante ; ce qui suflU pour démontrer Ja possibilité de ce genre de régulateur pour les divers cas d'application. Cette valeur sera toujours facile à déterminer approximativement au moyen du calcul ou de Texpérience; néanmoins on fera remarquer que, si cette même machine était soumise à des chocs ou changements brusques de vitesse, l'effort de réaction P pourrait acquérir momentanément de très-grandes valeurs et compromettre la solidité des res-

APPLIQUÉE AUX MACHINES. IfS

sorts. Dans ce cas, il sera à propos de disposer les choses de façon que, quand Tangle relatif ou de torsion du tambour C, par rapport à l'arbre qui supporte les ressorts, dépassera la limite qui répond à la flèche /', la couronne de ce tambour vienne porter contre des saillies ou bras faisant corps avec Tarbredont il s*agit, condition très-facile à remplir en plaçant, dans l'intervalle des lames, des tiges très-roides et très-fortes contre lesquelles viendront s'appliquer des saillies pratiquées sur le pourtour inférieur du tambour C. On fera bien d'ailleurs d'user de cette précaution dans Unis les cas, ne serait-ce que pour éviter les grands efforts de torsion, qui ont lieu, en général, lorsque l'on met la machine en train et que le moteur doit vaincre les forces d'inertie du système, en outre des résistances.

41. Loi qui lie le mouvement du manchon de l'appareil aux tensions, — Ayant ainsi régie les dimensions des lames et la limite des efforts qu'elles doivent supporter, ou de la flèche qu'elles doivent prendre, on trouvera sans difficulté la loi qui lie en général ces efforts aux courses correspondantes du manchon G. Nommant, en effet,

0 l'angle relatif ou de torsion du tambour, correspondant à

l'effort P et à la flèche quelconque/; a-\-d \^ distance de l'extrémité des lames à l'axe AA'; R le rayon des roues B, B' ; r celui des pignons F et F';

e le pas commun aux différents fllets de la vis DD'; enfin h la longueur de course du manchon parcourue pendant

que l'angle 0 ou l'arc /est décrit,

on aura évidemment

,, ^ , OR 2P/i>eR

pour fixer les positions du manchon relatives à chacun des efforts P exercés sur les ressorts.

42. Cet appareil peut servir de moyen dynamo métrique pour mesurer le travail des machines. — Les longueurs de

Il6 COURS DE MÉCANIQUE

course h, parcourues par le manchon, étant exactement proportionnelles aux efforts, on voit que cet appareil pourrait très-bien servir de moyen dynamomctrique propre à mesurer à chaque instant l*intensité de ces efforts; il ne s'agirait à cet effet que d*adapter au manchon un index et un limbe gradué, disposés à peu près de la même manière que dans le dynamomètre à ressorts de M. Régnier; ajoutant, en outre, à ce même appareil, le dispositif à plateau tournant (*), dont il sera parlé dans une autre partie de ce G>urs, on obtiendrait la succession des efforts variables de la puissance P et la quantité d'action ou de travail même qu'ils produisent, quantités qui sont me* surées par l'intégrale du produit de ces mêmes efforts et des chemins élémentaires décrits par leur point d'application, situé à la distance a + c/ de l'axe AA' en vertu du mouvement de rotation général de cet axe.

Supposons le mouvement uniforme et la force P constante remplacée par sa valeur moyenne; nommons, de plus, m le nombre des révolutions de l'axe AA' par minute, la quantité de travail sera pour chaque révolution de cet arbre mesurée

par le produit

\ • 27r(a-:-rf)P

et pour chaque seconde par

(*) Le Chapitre relatif au régulateur à ressort est extrait de l'édition de i836. La description de l'appareil a été donnée par Ponceiet, en i83o, dans le Cours de Mécanique industrielle Jait aux ous^riers messins,

1^8 principes fondamentaux des divers appareils dynamométriques, encore en usage aujourd'hui, dont il est question dans le n9 42, sont exposés en détail dans les Leçons préparatoires au lever d'usines (années iS3i), professées- par l'auteur à l'École d'application de Metz. T'oirf à ce sujet, dans la Notice anafy' tique sur les travaux de Ponceiet (mars i834), les articles relatifs aux appâtais suivants : Nouveau régulateur à ressort; appareil djneunométrique pour metmrtr le travail des moteurs et des machines; compteur servant à mesurer le travmil variable des forces, l'aire des courbes- et la valeur des intégrales; appareil pour découvrir expérimentalement les lois du mouvement varié des machines. Consulter é[;alement la Notice sur divers appareils dj-namométriques, par M. A. Morin. (K.)

expressions dans lesquelles on meilra pour P sa valeur en h déduite de Téqualion ci-dessus qui donne

et partant

2r(a-+-rf)P /i7t'(^ -+- rf)'E6cV/i 60 6oa>éfil

imrv(a -f- rf) P mm:^(rî -h dyEbc^rfi 60 "" 6oa*e\{

43. Manière de graduer ou de tarer l'instrument après sa mise en place. — Mais, au lieu de calculer directement P et le travail par ces formules, il sera à propos de déterminer expérimentalement, et cela après la mise en place du tambour à ressort et du manchon, la relation qui existe entre P et /i ou, ce qui est la même cliose, l'échelle de graduation de h dont les divisions en parties égales correspondront toujours à des valeurs égales de P, tant que ces valeurs n'excéderont pas la limite des efforts que peuvent subir les ressorts d'une manière permanente sans perdre de leur élasticité, limite que nous avons désignée par P', à laquelle correspond une course A' du manchon, qui sera donnée approximativement par la formule

7rr(r« -|- d) nEbc^ '

ou plus exactement par l'échelle de graduation dont il vient d'être parlé.

D'ailleurs l'expérience par laquelle on se propose de trouver, sans calcul, la longueur A, qui correspond à chacun des efforts P, consiste tout simplement à envelopper le tambour C d'une cordelle flexible k laquelle on suspendra verticalement un poids égal à cet ettort» en fîxant l'arbre AA', qui porte les ressorts, de manière qu'il ne puisse en aucune manière tourner, tandis que le.ttinbour et le manchon prendront la position d'équilibre giài; répond au poids dont il s'agit.

Ces opératioiijKfiiiséeutéet avant la mise en place du système

Il8 COURS DB MÊGàNIQUB

des leviers ou rouages qui servent à transmettre le mouvement du manchon à la vanne motrice de la machine, mettront à même d'arrêter complètement le projet d'exécution de ce système de manière à atteindre convenablement et sans aucune hésitation le but qu'on s'est proposé.

kk. Établissement du système de leviers qui donne le mouvement à la vanne. —.En effet, la vitesse moyenne ou de régime qu'on veut laisserprendre à la machine étant assurée, il ne s'agira que de faire travailler celle-ci sous la plus grande et la plus petite des résistances utiles qu'on aura à vaincre pendant la mise en activité, en levant à chaque fois la vanne motrice, de manière à atteindre la vitesse de régime dont il s'agit; observant ensuite les positions moyennes correspondantes des manchons ou les valeurs de A, on disposera le système des leviers de communication entre cette vitesse et ce manchon de façon qu'ils prennent nécessairement les positions simultanées qui ont été observées lors des expériences.

Si Ton voulait agir d'une manière tout à fait rigoureuse, on ferait travailler la machine à la vitesse de régime, sous une suite de résistances utiles comprises entre la plus grande et la plus petite et,observantchacune des positions correspondantes de la vanne et du manchon, on aurait à disposer le mécanisme qui rend leurs mouvements solidaires de façon que ces positions fussent simultanément aueintes, ce à quoi on parviendrait par le tracé convenable de la pièce que dirige la gorge du manchon. Mais comme il est dans la nature des machines que les efforts P croissent et décroissent avec la résistance utiley?, suivant ime loi exprimée sensiblement par la formule P = A 4- By?, dans laquelle A et B sont des fonctions de la vitesse et de la grandeur qui fixe la position des diverses pièces à un instant donné, on voit que, si la vitesse doit rester la même à chaque révolution ou à chaque retour de la machine à la même position, les efforts P correspondant à celte position se composeront d'une quantité constante A, exprimant la résistance quand /> = o ou que la machine marche à vide avec la vitesse de régime dont il s'agit, et d'une autre quantité B/; exactement proportionnelle à la résistance utile p. Or cette

condition sera naturellement satisfaite si le système des leviers qui lient le mouvement de la vanne motrice à celui du manchon est établi de manière que les espaces décrits demeurent exactement proportionnels, comme cela a été indiqué en premier lieu, car la vitesse restant, par hypothèse, constante, les quantités de travail dépensées dans chaque révolution de la machine ou livrées au récepteur croissent elles-mêmes sensiblement comme TefTort P et comme la masse de fluide écoulée par l'orifice de la vanne motrice.

45. Causes d'irrégularité auxquelles peut échapper cet appareil.— Ces considérations supposent implicitement que les causes qui tendent à troubler le mouvement de la machine proviennent uniquement de la variation des résistances, et c'est là en effet ce qui a lieu dans presque tous les cas où il arrive, comme dans les laminoirs, les machines à filer, les scieries, etc., que le travail de l'opérateur ou de plusieurs des opérateurs est momentanément suspendu ou modifié par une résistance tantôt plus forie, tantôt plus faible. Or si Tiniensité de l'action transmise par le fluide moteur à la machine pouvait varier par des causes indépendantes et de la vitesse que prend cette machine et de l'ouverture laissée par la vanne régulatrice, l'appareil qui nous occupe ne serait plus cl'ûucune utilité, partfe que l'effet P, et pqr conséquent la position du mqjuchon du régulateur, pourrait demeurer sensiblement constante pour des variations très-lentes du mouvement du récepteur, occasionnées par une variation correspondante de l'action du fluide moteur. Tout ceci, au surplus, s'cclaircira beaucoup par l'étude de l'action des moteurs, sur laquelle il ne conviendrait pas d'insister ici. Nous nous contenterons seulement de faire remarquer que les causes qui tendent à faire varier d'une manière absolue l'intensité de l'action motrice sont très-rares dans les machines bien établies, et que le véritable remède consiste alors dans les soupapes de sûreté, les orifices de trop-plein, les grands réservoirs régulateurs dont il a été parlé aux n"*" let 8. Quant au cas où cette même action éprouverait forcément un changement d'état durable et sensible^ il sera très- facile de modifler en conséquence l'ouverture

moyenne de la vanne moiriSe; mais il nous sérail impossible ici d'entrer dans ces dciails sans dépasser de beaucoup les bornes que nous nous sommes prescrites.

(•G. Manière d'éviter les oscillations dans des variations momentanées de mouvement, — Nous ne terminerons pas néanmoins ce sujet avant d'avoir dit un mot de la manière dont on doit disposer le régulateur à ressort, pour éviter les oscillations périodiques que ne manquerait pas d'éprouver le système de la vanne et des leviers, dans le cas où la machine ne serait pas naturellement susceptible d'un mouvement rigou^^ reusement uniforme (*).

11 est évident qu'ici, comme dans le cas du régulateur à force centrifuge, rétablissement d'un volant est une chose absolument indispensable pour diminuer l'amplitude de ces

(*) Équation du mouvement d'une transmission^ en tenant compte de l'étaS' ticité des liens. — On peut établir les équations du mouvement des deux arbres A et A'; celui-ci est un cas particulier du mouvement d'une transmission, qaand on tient compte des déformations de ses organes, en supposant qu'elles ne dépassent pas les limites d'élasticité. La question peut toujours être ramenée à la suivante (Z>ff l'élasticité dans les machines en mouvement, par M. Krets, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 2\ juillet i865) :

L'arbre moteur A, dont la vitesse angulaire est ta, est sollicité par une force P, agissant tangenticllement à une roue de rayon r; sur l'arbre mené A', dont la vitesse angulaire est ci\ agit la force résistante Q, tangentiellement à ua|B roae de rayon r'; le mouvement do rotation est transmis de l'un à l'autre |4M|J^termédiaire d'un lien élastique, agissant tangentiellement aux deux ro«etip«vec une tension T; trouver les lois du mouvement.

En désignant par m et m' deux masses fictives qui, réparties sur des circonférences de rayons r et r', auraient les mômes moments d'inertie que les deux arbres avec leurs roues, et remarquant que la différence des chemins élémentaires (ro) — r'u')dt décrits par les circonférences des roues est égale à l'allongement kdl du lien, k ne dépendant que des dimensions et du coefficient d'élasticité du lien, on trouve

f/<» P - T , </oi' T - Q , , ^ rfT

dt m de m' dt

11 est à remarquer que ces équations sont les mêmes que celles du mouvement rectiligne de deux masses m et m', reliées dans la direction du mouvement par une tige élastique; cette propriété existe du reste, quel que soit le nombre d'arbres en mouvement.

Il est facile de trouver l'expression de la tension et des ritesses, quand les

varialions momentanées; le tambour à ressort C étant placé sur Tarbre de ce volant du côte où les efforts sont le moins irréguliers dans une même période, on devra laisser au système de levier qui transmet le mouvement du mancbon à la vanne le jeu nécessaire pour que cette dernière ne bouge que quand les efforts de la maciiine dépasseront la plus grande ou la plus petite valeur relative à une même période de mouvement, ce à quoi on arrivera expérimentalement en observant les oscillations du manchon après que le volant aura été établi et quand la machine travaille dans les conditions prescrites avec sa charge moyenne. Mais, au lieu d'user de ce moyen, il serait préférable, sans aucun doute, de donner au système de levier dont il s'agit une élasticité, une flexibilité assez grande pour qu'il puisse céder aux accroissements ou diminutions momentanés de l'effort P, sans que le mouvement soit com-

forces eitéricures sont constantes. Si l'on désijyne itar Q' l'intensité normale des deux forces F et Q, quand le régime est uniforme, on peut mettre P et Q sous les formes P = Q'-^pi Q ^= Q'-*- y, /? et y étant supposés constants pendant tout le mouvement; soit de plus, Q'+ ^t ^o ^^ ^o ^^ tension et les vi-

m H- /Il

testes angulaires initiales, et posons — ; p = N: on trouve

A mm

*» ^» ^"^ ^ pm' / qm -^ pm'\ ^ .— rw. — /-'m- . i^

T = Q'-f-i -— i-(y— 1 '. — .)cotrv^^ — = — î^sinryN,

.^ ' r /, - q,t - kmW>(y - ^^^L±^VinrV^ m -h- m L ' ^ ' ^ y- m-^m* ) ^

-+-/w'(r<ij,— r'w'j'cosry^ 1»

, mrti^-\-m'r'ta\ . i F- > i /^/ qm-*-pm'\ . .-

m -fin' /n-f-w'L' " ' y- m -h m' J '

— m(rw,— r'û}',)cosr^ l-

I.,es valeurs des tensions et des vitesses oscillent périodiquement au-dessus et an-dessous de celles qui répondent au cas où A est nul, c'est-à-dire où les pièces seraient parfaitement rigides. Si, à l'origine, le mouvement normal est établi, il faut, dans les équations précédentes, faire x — o vt rù)^-= r' a' ; on peut étudier les circonstances qui su présentent, soit lorsque P et Q varient en même temps, soit quand Q est seul variable, ainsi que le suppose le texte; dans ce dernier cas p est nul. Cette étude fait ressortir les diverses difTicultés que l'appareil décrit peut présenter dans la pratique, difficultés indiquées par l'auteur dans les n®* 45 et 4G. (K.)

122 COURS DE MËGAlflQUB

muniqué à celte vanne qui tend à la fois à résister, en vertu de son inertie et de son frotiement, à ces variations instantanées, tandis qu'elle ne peut manquer de se mouvoir sous l'action résultant d'un changement durable de refTorl P.

Dans le cas où l'on se servirait d'un système de rouages pour transmettre le mouvement du manchon à la vanne, il n'y aurait qu'à disposer l'une de ces roues à peu près comme l'est luimême le tambour C, c'est-à-dire de manière qu'elle ne puisse entraîner son arbre qu'au moyen d'un léger angle de torsion.

47. Dispositif à adopter dans le cas oà le mouvement des vannes offrirait une grande résistance. — On ne doit nullement s'inquiéter ici de l'effort plus ou moins grand qui est nécessaire pour faire cheminer la vanne et son système de levier, attendu que cet effort sera toujours vaincu par les roues B, 6' aux dépens de l'action motrice de la machine. Néanmoins, si cet effort était très-considérable, comme il arrive dans les machines mues par des roues hydrauliques, il conviendrait de sacrifier un peu sous le rapport de l'instantanéité d'action du régulateur en faisant opérer la manœuvre de la vanne, non plus directement par le manchon G, mais par l'intermédiaire d'un système d'embrayage dans le genre de celui qui a été mentionné au n^ 32, de manière à faire marcher la vanne, tout en diminuant considérablement la tension des lames. ,

48. Combinaison du régulateur à ressorts avec le volant à ailettes pour régulariser directement le mouvement. — Enfin on pourrait encore se servir du dispositif qui nous occupe pour modifier directement le mouvement de manière à le ramener sans cesse vers l'état du régime uniforme; il ne s'agirait que de l'appliquer à un axe indépendant de la machine, mais qui en recevrait directement le mouvement de rotation, comme cela a lieu dans le régulateur à force centrifuge, et qui porterait un volant à ailettes dont la résistance, croissant rapidement avec la vitesse, produirait la torsion du tambour C sur ce même arbre. On conçoit, en effet, que, les choses étant disposées de manière que, pour la vitesse de régime, la vanne

APPLIQUÉE AUX MAGBINES.

iq3

ait la position moyenne qui lui convient, il ne pourra survenir aucun accroissement de vitesse sans qu'il ne survienne une diminution correspondant à l'ouverture de Torifice et réciproquement. Or il arrivera ici que les amplitudes de course du manebon, de part et d'autre de la position moyenne, croîtront sensiblement comme les écarts mêmes de la vitesse sur la vitesse du régime. Du reste les propriétés de cet appareil seront analogues à celles du régulateur à force centrifuge, et le problème de son établissement deviendra facile au moyen de tout ce qui a été dit déjà dans les n^* 5 et suivants.