III. — Des manivelles
Notions préliminaires snr les manivelles.
49. Disposition générale des manivelles. — Les manivelles offrent, comme on Ta vu (24, Section I), le moyen le plus convenable, en général, de transformer le mouvement alternatif en mouvement de rotation continu et réciproquement; le plus ordinairement elles sont formées d'un bras AB(yîg^. i5 et i8) fixé perpendiculairement à l'extréniité d*unaxe ou arbre tournant A, et au bout duquel agit, par l'intermédiaire d'une pièce
Fig. i5.
Fig. i(î.
rectillgne BF, nommée bielle ou chasse, une résistance ou une puissance F douée du mouvement al ternatif, dans une direction
ia4 COURS DB KÉCAHIQOS
quelconque BF, que nous supposerons d'abord constante, comme cela a lieu sensiblement dans les bonnes machioes, oCi l'on cherche à éviter les décompositions de force ioutiles, mais qui, dans la réalité, est soumise à de légères déviaiions périodiques, dépendant du mode de mouvement de l'eitrémité de la bielle opposée au bouton.B de la manivelle, c'està-dire du chemin que celte extrémité est assujettie i parcourir.
Lorsque l'arbre se prolonge au delà du plan du mouvement de la bielle, on remplace le bras AB par un coude ABA'
50. Des excentriques circulaires. — Quelquefois le rdie des manivelles est rempli par des pièces spéciales qui portent le nom A' excentriques circulaires; cela arrive lorsque le brss AB {fig- i5) serait trop court par rapport au rayon du bouton B et souvent aussi quand, l'arbre se prolongeant au delà de la bielle, on veut éviter de couder l'arbre. La disposition indiquées^. i5 ou i6 se trouve alors remplacée par un disque circulaire à gorge, embrassé par un anneau fixé à l'extrémité de la pièce formant bielle (Jîg. 17]; mais il ne faut pas confondre le dispositif dont il s'agit avec celui de ceruines cames
Fig. .7.
nommées également excentriques, et qui, montées sur des arbres tournants, sont destinées à agir sur des pièces dont la direction du mouvement est indépendante de la leur propre. L'agrandissement du boulon de la manivelle, en pennetUnl de supprimer presque enlièrement lejeu et d'éviter les inégalités provenant de l'usé des surfaces frottantes, amène avec lui beaucoup de continuité et de douceur dans le mouvement, qualités qui s'achètent, comme nous le verrons plus Urd^ aux
dépens de la force motrice, ce qui fait qu'on n'emploie guère les excentriques que dans les mécanismes qui sont soumis à de faibles efforts, tels que ceux, par exemple, qui, dans les machines à vapeur, sont destinés à faire mouvoir les robinets ou tiroirs d'admission {yoirjig. 24, p. i43, en L/).
51. Des manivelles simples, — Fariation de V action dans le premier demi-tour. — Admettons que, l'arbre étant supposé horizontal, la direction invariable BF {Jig, 18) soit celle de
Fig. 18.
la verticale; nommons F la force constante, qui sera censée agir de haut en bas à la manière des poids, b le bras AB de la manivelle, a l'angle variable EAB qu'il forme, dans un instant quelconque, avec la verticale A£; l'énergie de la puissance à faire tourner aura pour mesure son moment virtuel F&sina(/a, qui est aussi sa quantité de travail ou d'action élémentaire; elle sera par conséquent proportionnelle au bras de levier frsina = AD = BD' de la puissance, c'est-à-dire nulle pour les positions AE, AG de la manivelle, et la plus grande possible pour la position intermédiaire et horizontale AC; la valeur moyenne x du bras de levier AI), dans le demi-tour ECG, s'obtiendra en remarquant que la
126 COURS DE MÉCANIQUB
quantité de travail F.£G = F. 26, développée dans ce même demi-tour par la puissance F, sur la manivelle, doit être égale à celle qui serait développée par celte puissance, dans un intervalle pareil, en la supposant appliquée tangentiellement au cercle de rayon x; or cette quantité d'action est évidemment ¥i:Xf TT étant le rapport de la circonférence au diamètre; donc on aura, pour déterminer x, l'équation
2b¥ =iFr.x; d'où :r = - 6 = o,63666.
Ainsi la longueur du bras de levier moyen d'une force constante agissant dans une direction invariable, sur une manivelle simple, est un peu moindre que les deux tiers du rayon de cette manivelle : elle s'écarte, comme on voit, des valeurs extrêmes o et 6 du bras de levier, des quantités respectives 0,36346 et o,63666. En multipliant ces quantités par F</a, on aura la mesure des écarts des moments virtuels ou des quantités de travail élémentaire F6sina(/a, par rapport à leur valeur moyenne o,6366Firfa.
52. Fariation de Vaction des manivelles simples dans le second demi-tour. — Nous n'avons encore considéré que ce qui se passe dans un demi-tour de manivelle; voyons maintenant ce qui a lieu quand elle achève l'autre demi-tour EHG. Or il peut arriver l'une de ces trois choses : ou la puissance F cesse entièrement d'agir, ou elle agit dans une direction contraire à sa direction primitive, ou enfin elle continue d'agir dans la même direction.
Dans le premier cas, le travail élémentaire communiqué par la puissance F dans le second demi-tour restant constamment nul, celui qui est imprimé dans un tour entier est encore 2 F 6, tandis que le travail de la même puissance, appliquée au bras de levier moyen x, sera 2:rarF; on aura donc
TT
quantité qui dilfère de ses valeurs extrêmes o et 6 de o^SiSSfr et 0,68176 respectivement.
Vans le deuxième cas, la puissance continuant à faire marcher l'arbre dans le même sens développera dans le tour entier la quantité de travail 4^^^^ ^^ sorte qu'on aura *
LVb --7.T.XY et a:— - - - = o,6366i,
comme pour le premier demi-tour. La plus grande et la plus petite valeur du moment de F ayant toujours lieu pour les positions horizontales et verticales de la manivelle, les écarts de l'action élémentaire sur la moyenne seront encore mesurés par les nombres o,636() et o, 3634; d'où il résulte que le plus grand écart sera moindre ici que dans le cas précédent.
Dans le troisième cas, la quantité de travail fournie par la puissance pendant un tour entier de la manivelle sera nulle, et il en sera de même du travail élémentaire moyen, ce qui fait que les écarts, mesurés alors par o et i, seront les plus grands possibles.
La première et la deuxième de ces hypothèses se rapportent spécialement au cas des pistons de pompes, des pédales, des châssis de scies, etc., à simple ou à double effet, c'est-à-dire qui agissent simplement en descendant, ou à la fois en montant et en descendant. Quant à la dernière, elle s'applique à l'action de la pesanteur, qui agit constamment dans le même sens, et ne produit sur les pièces à mouvement alternatif aucun effet utile (22, 1" Section). Comme cette action se joint toujours à celle d'une autre force de la nature des précédentes, il convient d'examiner son influence sur le mouvement.
53. Manière de régler le poids des équipages de manivelles. — Nommons p le poids des pièces à mouvement alternatif, composé de la portion du poids de la bielle BF et du surplus de l'équipage, qui agit suivant la direction de F, on observera que l'action de p s'ajoute à la force F, ou s'en retranche alternativement et selon le sens dans lequel elle s'exerce, de sorte que la quantité de travail développée dans une révolution entière n'est nullement altérée, non plus que le bras de levier moyen et la quantité moyenne de travail élémentaire; et.
t3o COniS DB KeCXRIQDI
ces bras; il esi aisé de s'assurer que le moment total ''s^ puissances F atteindra sa limite supérieure pour les posiiî^^"^
Iiorizontale et verticale de BB', et sa limite inFérieure pour les quatre positions symétriques, où l'un des bras AB, AB* se confondra avec la verticale {']. Ces valeurs extrêmes du moment total seront ainsi respeciivement
aFft coso, aFfcsinn, Fftsin2a = F6sinacosA.
(') Si 0 déaigne l'an^lo EAt, la râleur abiolue des momenUmt Titin [9 — a) pour la force appliquée en B, el Fïain ($ + d ) puur celle qui tçil en B' ; comme cet rurces changent de acna quand [our peint d'application paue de l'antic cAtd du dianiptrc cerlicat, ri'i|>ri'6<îon de chaque moment doit èlre ■Bêdce du ligne + ou du signe —, auivanl que le point d'application de la Torce eorieapondante eit h gauche ou i droite de ER.
On Irnaie ainsi que le moment total eat iFÏCoaHiins pour le* Tat«Dn de 9 entre o cl a, qu'il e>l iF^sinOcoia quand 9 Tarie entre « et > — c, et — iF#ca>0iina lorique B e«t compris entre ir — a et n.
Les écarts maiima de> memcnls sont
^ =sino(i — coso) el j-, =C0»o{i — aliio);
on reconnaît immédiatement, en traçant les courbes représeotées par ce* Cqtia tion*, que l'on se trouve dans les conditions les plus BTantageaie* en donnanl k o la valeur pour laquelle j ^j; ; ainsi que cela Ml dit dans le texie, cetta Taleureit B = 4So. {K.)
APPLIQUÉE AUX MACHINES. l3l
^n discutant ces valeurs, on trouve qu'elles sont le plus resserï'ées possible quand sina = cosa = y/^, ou que l'angle BAB' ^es manivelles est droit. Dans celle hypothèse, on obtient pour les valeurs ci-dessus des momenis
2F6v^I, 2F6v/î, aFH, ^« sorte que le moment moyen se trouvera compris entre 2F6^3— 2F6 X 0,7071 et o,5x2F6.
Les puissances F développant dans un tour entier la quantité de travail nF./^b, le moment moyen est égal à
et les différences avec le plus grand et le plus petit moment répondant respectivemeni à la position horizontale ou verticale de BB' et des bras AB, AB' sont seulement le | et le 7 environ de sa valeur propre; ce qui prouve que les manivelles coudées à angle droit sont effectivement très-avantageuses pour la régularité du mouvement de l'action des forces.
56. Propriétés et inconvénients des manivelles triples ou quadruples,— Vouv une manivelle triple (yîg". 22], dont les bras AB, AB', AB" partageraient, dans leur projection sur un plan perpendiculaire à Taxe, la circonférence en trois parties égales, et qui seraient sollicitées par trois forces verticales et égales F agissant seulement dans le demi-tour ËBG, on trouve que le moment total a sa plus grande ou sa plus petite valeur quand Tun quelconque des bras est horizontal ou vertical ('); de sorte que le moment moyen est compris entre
F6 et F6sin6o<»=iF6v^3==o,866Fi.
(') 11 en est encore ainsi lorsque chacune des trois manivelles agit à double effet; les moments ont alors des valeurs doubles de celles du texte. (K.)
l32 COURS DE MÉCANIQUE
Le bras de levier moyen étant alors
6Fb 3b ^^,
on voit que le moment moyen 0,955 F6 ne diffère que d
Yj du plus grand et de -rr du plus petit moment. Ces résultat-
supposent d'ailleurs les équipages des manivelles en équilibre
autour de Taxe A. . |^
ïlg. 77,
Il serait aisé de prouver que la manivelle quadruple offre moins de régularité dans son action que la manivelle triple» mais elle possède d'autres inconvénients beaucoup plus graves pour la pratique, qui lui sont communs avec la manivelle triple et qui suffiraient seuls pour y faire renoncer : c'est la difficulté de l'exécuter avec une perfection et une solidité suffisantes. En effet, toutes les fois qu'un axe ou arbre tournant est supporté sur plus de deux appuis ou coussinets, il devient très-difficile, pour ne pas dire impossible, lorsqu'il présente des parties coudées, de placer sur une même droite les axes des parties cylindriques que reçoivent ces coussinets, et alors on conçoit que l'arbre bride entre ses appuis et donne lieu à des efforts violents, qui consomment une portion considérable de la force motrice et amènent la rupture des manivelles. Le tour est le seul moyen à employer pour mettre ainsi un arbre en ligne droite; cela est faisable pour un arbre d'une seule pièce et qui présente assez de roideur pour ne pas fléchir;
APPLIQUfiB A€X MACHINES» l33
vnais cela paratt presque impossible lorsqu'il est Interrompu par des manivelles.
Considérations dynamiques sur les effets des manivelles.
57. Loi de variation du travail d*une manivelle simple. — Les considérations qui précèdent, analogues à celles qu'on trouve établies dans le Livre !•% page 63 de YJrchitecture hydraulique de Bélidor^ édition de M. Navier, sont purement statiques et ne concernent que la loi des variations élémentaires de Taction des forces appliquées aux manivelles, ou celle du moment et du bras de levier propre de ces forces; mais on peut envisager la question d'une manière toute différente et qui se rapporte spécialement aux considérations dynamiques.
Conservant, en effet, les dénominations et conventions du n** SI relatives à la manivelle simple, on peut se demander quelle est la loi des variations mêmes du travail de la puissance F, soit dans un demi-tour, soit dans un tour entier de la manivelle, et de comparer ces différentes valeurs à celles du travail uniforme d*une puissance constante ou moyenne, appliquée tangentiellement à la circonférence du cercle décrit par l'extrémité B de la manivelle.
Cette manivelle étant supposée à simple effet, de sorte que la force F n'agisse que dans le demi-tour ECG (Jîg. i8), et la quantité de travail élémentaire de F étant mesurée par VbsïïïadoL, celle qu'elle aura développée à partir de la verticale AF, et pendant que la manivelle décrit l'angle EAB = a, sera évidemment
F 6 sin a rfa r= F 6 { I — cos a ) = F X ED' ;
ce qu'on aperçoit d'ailleurs sans aucun calcul, puisque F est censé constant. Celte dernière quantité de travail qui a pour valeur le produit 2F 6, quand la manivelle a décrit deux angles droits et est redevenue verticale, est aussi celle que développerait la composante Fsina de F, qui agit constamment suivant la circonférence du cercle décrit par le point
l34 COURS DE MÉCANIQUE
d'applicalion B; or, si l'on remplace celle composanie va^^ riable par sa valeur moyenne,
'iTzO 7r
relalive à une révolution eniière de la manivelle, ailendu que celle-ci esi supposée à simple effel, sa quanlîlé de travail correspondant à l'angle quelconque a décrit par Taxe sera
évidemment ? dont l'excès sur la précédente a pour va-
leur F6 ( i~-cosaJ dans le premier demi-tour et simplement F6 ( 2 j dans le second, les angles a étant ici
mesurés par les arcs qui leur correspondent sur la circonférence, qui a l'unité pour rayon.
58. Discussion de cette loi. — £n discutant la première de ces expressions, on trouve qu'elle est nulle en même temps que a; qu'elle crott positivement jusqu'à la valeur de a déterminée par la relation
sina = - ou a
= arc(sîn=:-j:=o, 32895,
à laquelle répond un premier maximum positif
arcsm -
= F&(o;io3i — I -^ 0,948) = o,o5i ¥b; qu'elle décroît ensuite de manière à redevenir nulle pour
a := o, 21027: aux environs de a = ^-, qu'elle devient un maximum négatif pour la valeur
a m TT — arc ( sin 3^ - j =^ 0,89697:, qui donne
Fb (- — i -h cosaJ=F6 {0,8969— i —0,948) = — i,o5i 1F6;
APPLIQUÉI AUX MAGHIIfBS. l35
qu'enQn sa valeur absolue décroît dans tout le surplus du demi-tour jusqu'à devenir égale a —Fb, rigoureusement, pour la position verticale AG de la manivelle répondant à
Quant à l'expression de la différence relative au second demi-tour, elle demeure sans cesse négative et décroissante, jusqu'à devenir nulle pour la valeur « = 27:, répondant à la position verticale supérieure AE de la manivelle, après laquelle les mêmes choses reviennent dans le même ordre.
Ainsi le plus grand écart absolu entre les quantités totales de travail, communiquées par la force variable Fsina et la
force moyenne Y= - F supposées agir à la circonférence du
cercle décrit par le bouton de la manivelle, est égal à
ou surpasse la moitié de celle 2.¥b que développe F dans une révolution entière de cette manivelle.
59. Cas des manivelles simples à double effet. — Dans les manivelles à double effet (52), la quantité de travail déve- .loppée par la force constante F dans la révolution entière devient 4^F; ce qui donne
A h F 2 Y==^ = -Fi=o,6366F,
