TT

Or, m étant ce dernier nombre, m -^ — Q sera évidemment,

dans le cas qui nous occupe, la quantité de travail développée par Q ou F en U0e seconde, prise pour unité de temps; et par conséquent, riff^ii nomme N le nombre des chevaux dynamiques de la ma>sti!ne, dont chacun équivaut à 76 kilogramme- 1res par seconde (7, Secl. I), on aura

N = -. — T— fQ, dou TrQr— N.

bo X 75 ^ ^ m

En substituant cette valeur dans les expressions ci-dessus de la force vive dii volant, on trouvera, pour le cas des manivelles à simple effet,

PV'= 24324 -N,

et, pour celui des manivelles à double effet,

PV^r:^4645-NC).

Ces formules s'accordent avec les résultats obtenus aux n^* 58 et suivants, pour prouver les avantages inhérents aux

(*) Comparaison de la régularité des manivelles à simple et à double effet. Si les deux systèmes do manivelles transmettent le même travail N, font le même nombre de tours m et sont munis de Tolants assurant à tous deux le

même écart proportionnel -, les variations do la vitesse de la manivelle à

APPLIQUÉE AUX MACBINES. lyS

manivelles à double effet pour régulariser le mouvement de la machine indépendamment de l'action du volant; on voit qu'elles se prêtent facilement au calcul, quand on connaît les nombres m, n et N, dont le dernier doit toujours être pris pour le nombre des chevaux de la puissance qui représente toutes les résistances réunies agissant sur l'arbre de la manivelle, tandis que le premier ou m, qui désigne le nombre des révolutions de la machine par minute, se rapporte essentiellement à ce même arbre et non au volant que l'on établit quelquefois sur un arbre différent, afin de lui donner une plus grande vitesse.

90. Faleur à adopter pour le nombre n qui marque le degré de régularité qu'on doit obtenir. — La plus petite valeur qu'on puisse adopter pour le nombre /i» dans les expressions ci-dessus de la force vive du volant, est relative à Thypothèse où la vitesse et la force vive minima du système seraient nulles, ce

qui corresponde n — -> puisqu'on a alors (38^Sect.I)û= -;

mais, passé ce terme, quelle sera la valeur à adopter pour n? Cette question ne peut évidemment être résolue que dans chaque cas particulier, et d*après les données d'expériences relatives à la constitution, au genre de la machine et à son objet, puisqu'il faudra mettre en balance les avantages de la

simple effet sont moins brusques que celles de la manivelle à double effet ; le rapport des accélérations maxiraa des deux systèmes est, eu effet,

Si Ton tient, dans les deux cas, à limiter l'accélération angulaire à la même ▼ilear, il faut employer des volants dont les poids soient dans le rapport

= 3,76; quand on règle Técart proportionnel au même chiffre, dans les

deux systèmes, ce rapport est

plus OU moins grande unirormité de sa vitesse avec les incon* vénients qui d'ailleurs sont inhérents à l'augmentation des moments d'inertie et des poids.

AQn de.donner au moins une idée de la valeur de n, qui doit être adoptée dans l'établissement du volaiit de quelques ma-^ chines mues par des manivelles, nous choisirons pour exemple celui des machines à vapeur, spécialement étudié par les auteurs anglais, qui ont donné, pour le calcul de leurs volants, des règles pratiques, déduites de considérations particulières, analogues à celles que nous venons d'exposer, d'après Navier, mais qui, en réalité, sont fondées sur des principes bien moins satisfaisants et surtout moins rigoureux (^).

91 . Considérations relatives à V application des formules qui précèdent aux machines à vapeur, — On sait que les machines à vapeur sont mises en action par un piston agissant par l'intermédiaire d'un système analogue à ceux qui ont été décrits dans les n*"* 61 et suivants, sur l'arbre d'une roue motrice qui porte un volant destiné à en régulariser le mouvement. Tantôt il arrive, comme dans les machines à cylindres oscillants d'Aitkin et Steel, ou dans celles à guides parallèles de Maudslay , etc. (fig. 23), que le niouvement est transmis directement, du piston à la manivelle, par une tige ou une bielle sans balancier, et tantôt il arrive, comme dans les machines de Watt, de Woolff, d'Oliver-Evans, etc. (Jig. 24), qu'on fait usage d'un balancier plus ou moins puissant. Dans tous les cas, les choses sont disposées de manière ou que les équipages soient en équilibre, ou que l'action des poids, s'il en existe, soit atténuée autant qu'il est possible, par rapport à celle de la puissance qui agit sur la manivelle et qui est toujours à double effet.

Enfin les vitesses, les angles de rotation et de déviation de pièces oscillantes sont généralement assez faibles pour qu'on puisse, dans une première approximation, supposer que les choses se passent sensiblement comme si la tige du piston

(') Consulter, pour la détermination des volants des divers systèmes de machines à vapeur, à l'aide de procédés graphiques, les Leçons de Mécaniaue praiiçue {^^ PiHie), par M. MoHn. (K.)

était immédiatement appliquée à la manivelle et agissait dans une direction constante, ainsi qu'on Ta supposé dans les calculs qui précèdent. Néanmoins les frottements et les forces d'inertie qui naissent de la pression et du changement de mouvement de ces pièces oscillantes ne peuvent être complètement négligés, non plus que les variations mêmes de la force appliquée aux machines dites à détente. On y aura suffisamment égard, sous le point de vue pratique qui nous occupe en supposant, d'une part, ces frottements compris (76) dans l'action ou le travail de la puissance et de la résistance appli* quées à la manivelle et à la roue motrice du système; de l'autre, en négligeant la force vive des bras du volant et des autres parties de son arbre, si Ton n'a pas à craindre que ces forces d'inertie exercent une certaine influence; enfin en remplaçant la puissance variable par la valeur moyenne produisant le même travail à chaque oscillation.

92. Signification à attribuer au nombre n, — Il est aisé de voir, d'après les principes qui ont été exposés précédemment et aux n^ 38 et suivants de la Section I, sur la théorie des volants, que l'équation relative à leur établissement demeurant, dès qu'on néglige l'inertie des pièces oscillantes, de la forme PV'=ng^ = /ig^KQ.27rr, K étant une fonction purement numérique, qui dépend uniquement de la nature du système et de la loi qui suit la force F, par rapport à l'espace ou à l'angle décrit, on aura généralement

dans les conditions précédemment indiquées, et K' représentant une longueur constante ou proportionnelle à g, pour toutes les machines d'une même espèce ou dans lesquelles le mode d'action des forces reste le même, les intensités seules étant changées.

Ces observations peuvent servii^à justifier les applications qu'on prétend faire des formules dont il s'agit, et à montrer que, sauf les cas où la machine rentre sensiblement dans les hypothèses adoptées, le facteur n, déduit de données fournies

178 G0U18 DE HÉGÀlfIQUB

quoiqu'on eût déjà rechargé l'anneau du volant de cette dernière machine, sa marche ne paraissait pas encore suffistmmenl régulière pour Tobjet auquel elle était destinée» la fliature du coton; l'autre, au contraire, employée à flier des numéros très-élevés ou très-fins, donnait des produits excellents.

La différence de ces nombres avec ceux qui précèdent ne permet pas de conclure que la règle suivie par les constructeurs anglais, pour les volants des machines de Woolf, soit autre que celle qu'ils ont adoptée dans le cas des machines de Watt; car il règne dans le résultat d'observations directes du genre de celles dont il s'agit, notamment dans l'appréciation du nombre N, de trop grandes incertitudes pour en conclure d'une manière exacte la valeur de n ou plutôt du facteur /iK'C).

En supposant donc qu'on prenne, d'après Watt, pour le cas des machines qui exigent une très-grande uniformité de mouvement,

/iK' --^ 4645 X 36 = 167220,

(') Volant des machines couplées. — Les auteurs admettent généralement que, dans le calcul des volants, lorsque rouvrai;c à exécuter est le même, on doit adopter pour n la même valeur, qu'il s'ajjisse d'une machine simple ou de deux machines semblables couplées à angle droit. Les poids des Tolants, déterminés conformément à la théorie exposée dans le texte, sont donnés par les formules

PV* = 4^.'| j — N, pour une machine à double efTct,

Pj V :^ 4^^^ ~~ ^> pour deux machines couplées. Les accélérations maxima sont

^" = 5'pp(^-»)» pour la première,

"Tt "'' ^ PH* ( 7 V^^ "" 7 ' l'^"*" ^* seconde.

Si les deux systèmes de machines fournissent le môme travail N, et font le même nombre de tours m, le rapport des poids des volants déterminés comme il vient

d'être dit est

Cl observant d'ailleurs que K' ne saurait, en effet, être irèsdiffërent dans les deux systèmes moteurs que nous avons en vue, on adoptera généralement pour règle de pratique, dans ces cas, Téquation

m représentant toujours le nombre de tours de la manivelle par minute, lequel, redisons-le, peut être très-disiinct de celui du volant.

Calcul du volant en tenant compte du poids et de l'inertie

des pièces oscillantes.

95. Cas d'une machine sans balancier, — Équation des forces vives. — Dans la solution des n°' 85 et suivants, relative à rétablissement des volants destinés à régulariser le mouvement des manivelles, on a négligé entièrement rinfluence de

les accélérations maxima obtenues avec ces volants sont dans le rapport

d*où il résulte que les variations de vitesse se font bien plus brusquement, dans ces conditions, pour les machines couplées que pour la machine simple. Or les accélérations de la machine motrice se transmettent d'un côté à la transmihsion et par suite aux outils, de l'autre aux or(;anes ordinairement délicats de la machine mémo qui prennent le mouvement sur l'arbre du volant, aux tiroirs, pompes, régulateurs, et occasionnent des variations de tension, des secousses, des chocs dans les articulations. Il est indispensable d'assurv^r aux machines couplées un fonctionnement au moins aussi régulier qu'aux machines simples, puisque, étant construites sensiblement d'après le môme tracé, les premières ont, en général, des dimensions plus faibles qu'une seule machine pouvant les remplacer; d'après ces considérations, il parait convenable d'adopter, pour la limite des accélérations des machines couplées, nu plus la même valeur que pour la machine simple, ce qui conduit h munir les premières d'un volant qui soit à celui qui convient à la mnchine simple dans le rapport

l8o COURS DB HÊGàNIQUB

l'inertie et du poids des pièces qui servent à leur transmettre l'action de la puissance ou de la résistance, ce qui a conduit naturellement à des règles fort simples et analogues à celles des auteurs anglais; mais quoique la question, lorsqu'on prétend tenir compte de cette influence et du véritable état du mouvement, se complique au point de rendre les résultats presque inapplicables à la pratique, nous n'en croyons pas moins devoir indiquer ici la marche à suivre dans ces hypothèses générales, et donner une idée de la manière dont on peut surmonter les difflcultés que présente alors la solution effective du problème.

Considérons, en premier lieu, l'appareil du n** 61 sollicité par une puissance verticale F, constante ou variable, positive ou négative, c'est-à-dire agissant dans le même sens que la pesanteur ou en sens contraire, sens qui restera d'ailleurs invariable pour une même demi-révolution EBL {fig* 3i). De plus, la force Q appliquée tangentiellement à la circonférence d'une roue, de rayon r, montée sur l'arbre delà manivelle AB, sera supposée sensiblement constante; ce qui arrive toujours dans les hypothèses du n^ 39 de la Section I, où l'on admet

on a TU plus haut que ce rapport est seulement 0,1007, siTon calcule lesTcIants de manière à assurer aux deux systèmes le même écart proportionnel. (Mémoire sur les machines en mouvement, par M. Kretz, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 'î\ juillet i8G5.)

Les constructeurs ont, du reste, depuis longtemps reconnu cette nécessité ; tandis que, dans le cas des machines simples, ils adoptent pour n la Taleur 3a, ils vont souvent au delà de 80 pour les machines couplées. D'autres raisons les ont probablement guidés à cet égard : il est utile, quand on couple deux machines, de se réserver la possibilité de n'en faire fonctionner qu'une, en cas de réparation de l'autre. Or, en supposant même que Tune des machines ne doive faire, quand elle marche seule, que la moitié du travail total, son bon fonctionnement exige un volant bien plus énergique que celui des deux machines couplées; de plus, le régulateur peut agir efficacement quatre fois par tour, dans le cas des machines couplées, deux fois lorsque la machine est simple; il faut donc, dans l'hypothèse la plus favorable, que, avec le même régulateur, le volant puisse compenser les effets d'une même variation de travail se continuant pendant un temps qui, pour les machines couplées, est au moins la moitié do ce qu'il est pour une seule machine. On comprend, d'après ces observations, que le volant pour les machines couplées, calculé d'après les règles ordinaires, ait été reconnu tout à fait insuffisant. (K..)

APPLIQUÉE AUX HAGHINBS. l8l

pour quelques cas un double volant; mais son action sera constamment opposée à celle de la force F, et, pour fixer les idées, nous admettrons que c'est une résistance agissant dans le sens contraire de celui qui est indiqué par la flèche; ce qui se rapporte au cas des machines à vapeur de Maudslay, etc.

Fig. 3i.

Cela posé, nommant : p le poids de l'équipage agissant en C (fig* 3i), q celui de la bielle agissant au milieu G de cette bielle; Gt>« la vitesse angulaire de la manivelle AB, quand elle prend la position verticale AE et qui, par hypothèse, diffère très-peu de la vitesse moyenne £2, de sorte qu'on pourra,, sans erreur sensible, substituer Û à &)«, et supposer, dans tous les cas, que Gt>« est une quantité donnée, qui redevient la même à chaque révolution. Conservant d'ailleurs toutes les autres hypothèses admises dans les n*** 61 et suivants, et supposant

iSl COURS DB HÉGANIQUB

le poids q décomposé en deux autres - q agissant, l'un en C,

.qui s'ajoute avec p, dont la vitesse virtuelle est df, l'autre

en B ayant pour moment virtuel - gftsin arfa, et qui s'ajoute

à la composante du poids du bras ÂB de la manivelle, pour donner une somme que nous représenterons par g', on aura, dans le premier demi-tour, EBL, d'après le principe des forces vives, et ce qui a été établi aux n" 65 et suivants,

Bl ^S I ^' \^S I g

= 7. I lp-\--q-^¥\df-^iq'b(i—cosa) — aQra,

puisque la valeur de G, qui entre dans le moment d'inertie i G' 4- 1 de la bielle, devient - / pour a=o ou w = w,, et que

la vitesse de la masse - est

df AO hda .^ ,^-.

vitesse qui est nulle en même temps que a.

96. Valeur de la vitesse angulaire de la manivelle pour une position quelconque, — On simplifiera un peu la forme de cette équation en posant, d'après les résultats donnés dans l'addition à cette Section,

K étant un nombre qui dépend uniquement des dimensions de la bielle, puis en menant par le point A la parallèle AQ à IG, qui divise BO en deux parties égales en Q, comme IG le fait de BC, ce qui donnera, par les triangles semblables ABQ,

APPLIQUÉE AUX MACHINES. l83

BGI, et en vertu de ce que Q est le milieu de BO,

r ir kr, ^I BI . ^ b BO

GouIG^AQ^^-g-AQ, ^ = -^,