AQ :=- AB H--AO -7BO

Faisant, en efTet, ces substitutions dans Téquation dont il s'agit, on en tirera sans difficulté

expression dans laquelle &>• peut être pris égal à û, eldf k

A/N # . . //»«.' i . /4-6cosa , AOaa ou, approximativement (63), a osina -. aa.

Mais comme ordinairement F est immédiatement donné en fonction du chemin /, décrit par le point G, nous laisserons

forme actuelle l'intégrale 1 Fcy,'qui représente le

travail effectivement développé par la force F, pendant que AB décrit l'angle a, travail qui ne deviendra négatif d'ailleurs que quand Q changera lui-même de signe ou deviendra puissance. Pour obtenir la valeur de w relative à la seconde demi-révolution LNE de la manivelle, il ne s'agira que de supposer

que l'angle a croisse de o à 27:, l'intégrale / ¥df crois-

sous sa

sant elle-même indéfiniment, si elle ne devient nulle, puisque F est une force motrice, et ip h- - ^| /conservant la valeur qui correspond à la grandeur de /— b -^ l ■— h, qui est essentiellement positive.

97. Complication de la solution analytique de la question des volants dans les hypothèses actuelles, — Cette valeur est, comme on voit, calculable pour chacune des positions de la machine, au moyen des lignes de la figure, puisque, par hypo-

l84 COURS DE MfiCANlQUB

thèse, / V df esi elle-même donnée ou calculable par les

méthodes de quadrature connues, et qu'on a pour la condition de la permanence du mouvement, ou de <ù9 constant,

rdf,

relation qui fait également connaître la force constante ou moyenne Q ; mais cela suppose que le moment d'inertie A de Tarbre de la manivelle et du volant soit donné a priori^ et ne peut en conséquence s'appliquer à la question actuelle où il s'agit de l'établissement même de ce volant. A plus forte raison sera-t-il impossible de conclure de cette expression de 6)* les valeurs explicites de la plus petite et de la plus grande des vitesses angulaires de la machine ou des angles a, dont la connaissance est, comme on l'a vu, indispensable pour opérer cet établissement, et qui dépend d'ailleurs d'une équation transcendante d'un degré très-élevé, même quand on suppose F constant et qu'on prend approximativement (62 et 63)

77:» ., sin*a(/+6cosa)» 1 , 1 > *' . • AO =0^ ^^—j- -y A~6cosa-f-/ rSin*a,

/ - ft(i — cosa)-f- - y sin'a, df=^bs\ïi(x ( H- -j cosa] rfa, ^ /AO 6(/-i- 6cosa)cosa

Atanga , . i 4» . ,

^ / -f- 6cosa r sm'a

expressions dont la dernière se déduit immédiatement de la comparaison du rapport des sinus aux côlés des triangles ABO et ABC.

98. Méthode des tâtonnemenls géométriques. — Ainsi l'analyse ne peut ici êlre d'aucun secours pour traiter directement la question de l'établissement des volants, et il faut né-

APPLIQUÉE AUX MACHINES. l85

cessairement faire usage de la méthode des tâtonnements géométriques» fondée sur les données mêmes de la flgure (*). A cet effet, on se donnera arbitrairement le moment d'inertie A du volant et de son arbre, ou plutôt on déterminera une première valeur approchée, d'après la règle pratique du n°93,

en se bornant ici à prendre /i:i= — » si une très-grande régularité n'est pas nécessaire, et attendu d'ailleurs qu'on tient compte du poids de l'inertie des pièces oscillantes du système. Observant ensuite que &)« est sensiblement égal à û ou à

-JT— = 0,10472m, m représentant le nombre des révolutions

de la machine par minute, on se propose||i de rechercher, à l'inverse, quel est le degré de régularité effectif qui résulte de l'adoption de cette valeur particulière de A, ou quel est le plus grand des écarts de la vitesse angulaire u sur la vitesse de régime û, lequel sera donné (n* 38, Section I) par l'ex- . pression

(ù] et (ù] étant la plus grande et la plus petite des valeurs fournies par l'expression ci-dessus de 6)1, dans une révolution de la manivelle.

Si cet écart surpasse sensiblement la limite qu'on veut adopter pour dy ou en est surpassé, on recommencera les opérations en choisissant une valeur plus faible ou plus forte de A, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un résultat suffisamment approché, ce qui ne pourra être fort long, d'après les données particulières qu'on possède sur les limites de la solution, et si Ton a soin de se servir de la règle de fausse position ou de courbes d'erreurs.

(*) M. Resal a résolu la question, en tenant compte de la première puissance des termes relatifs aux pièces oscillantes; dans la plupart des cas de la pratique, l'inertie des pièces à mouvement alternatif n'a aucune influence. (Mémoire sur les volants des machines à vapeur à détente et à condensation, par M. H. Resal, Annedes des MineSt t. I, 187a.) (K.)

l86 COURS DE MÉCANIQUE

99- Construction des valeurs de la vitesse angulaire du sjrstème et de la courbe qui en donne le maximum et le mini" mum. — Pour obtenir la plus grande el la plus petite des valeurs de &)' dont il s'agit, on construira la courbe qui a pour abscisses a: les valeurs successives de Tare ba depuis a = o jusqu'à a = 27r, et pour ordonnées j celles de m% qui leur correspondent dans les diverses positions de la manivelle. Tous

les termes du numérateur et du dénominateur de cette frac-

tion, y compris ceux où entre A, qui est de la forme — Rî, étant

S le produit d'un nombre par un poids, et le carré ou le rectangle

de longueurs fournies immédiatement par la^ig^. 3i, on les ramènera à ne plus fsprimer que de simples distances en divisant, haut et bas, la fraction par le produit de g et d'un certain poids n', tel que loo kilogrammes, par exemple, afin d'éviter, dans quelques cas, d'opérer sur de trop grandes lignes.

Frf/*, en particulier, qui représente

l'aire du trapèze mixlillgne JJ'CC, appartenant à la courbe J'C'M', ayant pour abscisses les valeurs CJ de/ et pour ordonnées celles ce de F, on l'obtiendra facilement par les méthodes de quadrature connues (').

De cette manière on n'aura plus à construire que des quantités de la forme

g7(K-T)-— ' n7(K+:)-, -^Hi-cos»)

ce qui se fait très-simplement par des troisièmes ou des quatrièmes proportionnelles, en prenant une fois pour toutes à l'échelle dçs longueurs

(') rbiV, pour les diverses méthodes de quadrature, rintroductîon à la Mé" caniqne industrielle (3*^ édition).

qui serviront à construire, en unités de pareille espèce ou de , toute autre, la valeur de ^=03% par une dernière quatrième proportionnelle. Mais, afin d'éviter la confusion des lignes et de mettre une sorte de continuité dans les opérations, on fera bien de construire séparément les courbes qui ont pour ordonnées les numérateurs et les dénominateurs de &)', afm d'en conclure, par des tracés symétriques, celles qui appartiennent h la courbe cherchée. La même symétrie et la même continuité devront également être observées dans les constructions relatives à chacun des termes isolés de ce numérateur et de ce dénominateur, de manière à pouvoir opérer sur les données propres de la^g*. 3i, supposée construite à une échelle convenable. Il est d'ailleurs inutile d'insister spr ces observations dont le but et l'esprit sont faciles à saisir.

100. Solution plus directe de la question au moyen de deux seules courbes extérieures. — On diminuera beaucoup le nombre des tâtonnements ou des courbes auxiliaires qu'entraîne avec elle la recherche du moment d'inertie A, en procédant ainsi qu'il suit.

Représentons par cp et vj/ les parties variables ou fonctions de x=^ba du numérateur et du dénominateur deo)'; par CQ} et e leurs parties constantes respectives, ou, plus spécialement, pojsant

de sorie qu'on ait simplement

on obtiendra, en différentiant, par rapport h » on x, pour ex-

l88 COURS DB MÉGàNIQUB

primer la condition du maximum et du minimum de «4% l'équation

dans laquelle

^ da W ^'"* n' n'rfa H' rf«'

rf<|; 7 BOrfBÔ (p-M7)A0rfÂÔ

*~rf«"~^'^ ''H'Y da "^ n' ^ "rfiT'

quantités linéaireS|. qu'il sera facile de construire, comme on le montrera plus tard.

Cette équation devant être satisfaite à la fois par toutes les valeurs de Tabscisse x = ba, qui correspondent à un maximum ou minimum quelconque de &)% relatif à des valeurs particulières attribuées aux constantes C, e ou A, on voit que, si, pour l'une de ces dernières valeurs, les abscisses dont il s'agit étaient connues, il suffirait simplement de les substituer dans

la fonction ■^ indépendante de A, pour obtenir le maximum

ou minimum correspondant, et, par conséquent, si Ton construit la courbe représentée par Téq nation

ses ordonnées représenteront l'ensemble des maxima ou mînima relatifs aux différentes valeurs particulières, qu'il est possible d'attribuer à A, et auxquelles correspondent autant de groupes distincts d'abscisses de cette courbe, qui, s'ils pouvaient être déterminés au moyen de chacune de ces valeurs, conduiraient immédiatement à la solution do problème proposé. Or c'est à quoi l'on parviendra, comme on va le voir, par la construction d'une nouvelle courbe auxiliaire également indépendante de A.

En effet, l'expression générale de o)' peut être mise soos la

forme

pour laquelle

Égalant à zéro le coefficient différentiel de cette expression, et tirant de la nouvelle équation de condition, ainsi obtenue, la valeur de la constante e, qui dépend seule de A, on aura la relation

qui lie cette valeur à celles des abscisses x relatives aux maxima ou minima de la fonction &>'.

Construisant la courbe qui a pour équation

et cherchant les abscisses qui correspondent à ses intersections

avec une parallèle quelconque à Taxe des x représentée par

l'équation

-^ II' 2 n' g"

elles seront précisément celles qui appartiennent à la valeur de e ou de A, qu'on aura choisie en particulier, et dont la gran-

deur fixe, dans la première courbe jr=zY,^ les valeurs des

ordonnées qui représentent le maximum ou minimum correspondant de Gt)'. Prenant enfin la différence entre la plus grande et la plus petite de ces ordonnées, relative à cette même valeur de A, elle représentera la valeur de cù] — o)^, d'où l'on conclura de suite celle de d ou de n,

101. Construction des courbes auxiliaires. — Ainsi toute la question est ramenée à construire une fois pour toutes deux

courbes auxiliaires sur les mêmes abscisses, et dont les ordonnées respectives j, et^,, je suppose, sont liées entre elles par les relations

qui serviront à conclure directement la deuxième de la pre* mière par des procédés graphiques très-simples, et sur lesquels il est inutile d'insister autrement qu'en faisant voir comment on peut obtenir linéairement les valeurs des coefficients dififérentiels ou des termes qui entrent dans les expressions de 9' et ^.

Or nous savons déjà (63) que ^ = AO. Quantà--3 — ? --t — j

on se rappellera (65) que le point I {Jig. 3i et Sa) est le centre de rotation instantané de la bielle ou de la droite BO, de sorte

Fig. 3a.

\ \/< \\aj \ \ . X\

que le pied P de la perpendiculaire abaissée de ce centre sur cette droite doit être considéré comme l'intersection de celle-ci dans ses positions consécutives ou infiniment voisines; ce qui

donnera sans difficulté (*)> par la comparaison des lignes de la figure relatives à ces deux positions et en se fondant sur les relations déjà établies aux n"^ 61 et suivants,

dXO A0 PO rfBO «^ ÇO dcc "^ AC PC' dcc " CB'

Au moyen de ces données, rien ne sera plus facile ensuite que de construire la valeur de ^' et de 9'. Prenant, par exemple, sur le prolongement de CA, une distance