PI DO
expression dans laquelle on pourra presque toujours négliger le second terme, vis-à-vis du premier, à cause de sa petitesse
105. Observations générales. — Toules ces valeurs qui, dans l'expression de ^', doivent être divisées par de certaines fractions numériques de gy sont, comme on voit, susceptibles d'une construction fort simple, et qu'on pourra abréger de beaucoup en profitant habilement des données directement offertes par la figure; mais il doit nous suffire ici d'avoir mis sur la voie de la solution graphique du problème ordinaire, où le système de la manivelle du balancier, etc. d'une machine ;à vapeur, se trouvant établi à l'avance, il s'agit seulement de déterminer le moment dMnertie du volant qui est capable de maintenir la vitesse de rotation de l'arbre de la manivelle entre des limites déterminées. Quant à la question qui consiste à régler les dimensions mêmes du balancier, de manière à corriger, le plus qu'il est possible, et cela indépendamment du volant, les écarts de la vitesse variable, par rapport à la vitesse de régime, nous renverrons au savant Mé^ moire que M. Coriolis a inséré dans le XXI* Cahier du Journal de V École Polytechnique {Sur V influence du moment d* inertie du balancier des machines à vapeury e/c), en faisant remarquer que les considérations analytiques et géométriques qui
igS COURS DB MÉGÂIIIQUB
précèdent pourront servir à simplifler et à compléter» en quelques points, les solutions qu'il a indiquées, et dans lesquelles il a négligé, à cause de la complication, l'influence de Tinertie de la bielle, qui néanmoins offre presque toujours un poids très-grand, capable de faire équilibre à la fois & celui des pistons et de leurs tiges.
V. — MOTBNS GÉOMÉTRIQUBS DE TRAN8MBTTEB LES YITB8SB8 DES PIÈGES DANS UN RAPPORT DONNt.
106. Il existe trois moyens principaux de transmettre les vitesteêdant un rapport constant, — Dans les considérations générales sur les machines (n^ 22 et 29, Section I), nous avons vu l'importance qu'il y a à disposer certaines pièces, notamment les roues, de façon qu'elles se tranmettent la vitesse.géométrique dans un rapport invariable pour toutes les positions du système. Il est essentiel de se rappeler les con^ ditions principales du tracé de ces pièces, afin d'être en état de déterminer les quantités d'action dues aux résistances passives qu'elles introduisent dans les machines où on les emploie : c'est principalement dans cette vue que nous allons exposer succinctement quelques notions sur ce sujet.
On connaît trois moyens principaux de résoudre la question dans le cas de deux roues à axes parallèles on concourants: i"* par le contact naturel et le roulement des couronnes ou tambours de ces roues; a*» par l'emploi de chaînes ou de cour^ roies sans fin enveloppées sur ces couronnes; 3* par IViigrenage de dents ou de courbes en saillie fixées aux couronnes*
Communication du monvement par le simple contact
on roulement des roues.
107. Les couronnes, ou plutôt les cylindres ou cônes extérieurs des roues [fis* 34) se développant exactement l'un sur l'autre, il est évident que, s'il n'y a pas de glissement, les arcs élémentaires décrits à chaque instant par ces cercles en contact seront égaux et les vitesses angulaires des roues se-
AFPLIQVSl AUX MÂGHINIB. 199
ront entre elles dans le rapport inverse et constant de leurs Fis. 34.
rayons respeclirs.
Toute la difficulté consisic, comme on voit, à empédier le glissementC): il esi donc nécessaire, lorsque les clTona tan-
(') Transmitiioiu par limplf contact.
•ont fréquemment emplojées aujourd' MrUin* ippareils marchBnl k greniJe '
our communiquer lo n.M«
!. tafg. 35 rupréBMle In trantmU-
arbre horiiontui qui iv^'iïl
courroie le Ir itrbrs lOrtical' pitcé au centre! (]e l'appaielJ; le premier arbre |iorte un oAue en fonte ta parrnitement dressé; aur le lecond cit Dié un cAne cad formé d'une série de ronddleien cuir ou en papier, fortement aerréei le> une* contre tea autres entre deux piâc«a en fonu c, ad et tallléei en cAne «ar le tour; l« contact des deux cAnea est assure par une prcsBJon exercée en § aur l'cxtréTnilc do l'axe boriiontal qui peut se déplacer légèrement dans le sens de su lungueur; la pression est obtenue par la manœntre d'an petit Tolant >v' monté sur une tÎs. Celte disposition permet de faire progreuiiement les emliraynijcs et les débraysfieB et d'éviter ainsi les ehoea liolenta qui se produiraient à de («randei Titessea, et qui seraient deatrueleura si le mouTCmeiit était transmis par eDfjrenages. (K. )
200 COURS DE MtCAlflQUB
çeniiels des roues doivent être considérables, de faire presser convenablement les circonférences des couronnes. Cet effet s'obtient par des ressorts, des coins, des vis de pression, des leviers agissant sur les axes ou sur les coussinets qui supportent les tourillons. On peut imaginer une foule de dispositions propres à atteindre le but. Dans certaines usines d'Angleterre, on revct extérieurement les roues de bandes de cuir de hufjîe qui, par leurs aspérités, offrent une sorte d'engrènement, et qui s'usent fort peu par l'action du roulement.
Ce système parait pouvoir être employé sans inconvénient dans les cas où les forces agissent d'une manière uniforme et régulière sur les machines, la vitesse des roues et la pression qui a lieu sur elles étant exactement constantes; il a été employé pour donner le mouvement aux tire-sacs de certains moulins qui présentent beaucoup de douceur;, mais lorsque, comme II arrive dans le plus grand nombre des machines, là puissance ou la résistance exerce des efforts variables sur les rodw» lorsqu'il y a des secousses, des changements brusques de vitesse» on conçoit qu'il serait fort difficile de s'opposer au glissement, à moins de comprimer fortement les roues et d'augmenter les résistances passives, ce qui serait manquer le but qu'on cherche à atteindre dans l'emploi de ce système.
Commimication du mouvement par courroies ou par chaînes.
108. La disposition par laquelle on fait mouvoir les roues uniformément au moyen de cordes ou courroies sans fin donne lieu aux mêmes réflexions que celles que nous avons déjà faites pour les roues qui se conduisent par le simple attachement, et elle offre de pareils inconvénients; cette disposition est principalement utile dans le cas où il s'agit de transmettre le mouvement à une certaine distance, et c'est ce qui fait que l'usage en est assez généralement répandu (*).
La transmission par courroie permet de suspendre ou de communiquer à volonté le mouvement; sur l'arbre mené C
(* ) Foir les notes relatives aux transmissions par courroies dans la S«eiioii 111.
{fg. 36) sont placées deux poulies égales, l'une flxe A, Tautre folie k'i en regard du tambour T. monté sur l'arbre menant C;
Fig 36.
OS
la courroie est amenée sur Tune ou Vautre des poulies à l'aide d'un levier, terminé par une fourche qui embrasse la courroie, et dont la disposition varie suivant les besoins.
Les moyens de maintenir la tension des courroies sont analogues à ceux dont il a éié question pour les roues mues par le simple contact, c'est-à-dire qu'ils consistent à rendre mobile l'un des axes de roue; mais, comme cette mobilité présente des difficullés, ou est impossible dans certains cas, on emploie (^^. 87) des poulies ou rouleaux de tension A,
Fig. 3;.
qui Ont pour objet de presser sur la corde ou sur la courroie; cette pression est produite ordinairement par un poids Q placé sur l'un des bras d'un levier QOA.
ao2
COURS DE HÉGAIIIQUB
109. Forme à donner à la jante des rouet. — On sait qu'en faisant usage des cordes sans tin (^), on doit creuser une gorge à la circonférence des roues, et que lorsqu'on emploie des courroies on doit au contraire (^g^. 4o) donner une certaine convexité au profil extérieur de la jante AB de la roue pour empêcher la courroie de glisser, ce qui arriverait infailli-
Fi£[. 38.
( * ) Transmissions par câbles en fil de fer. — Ce mode de transmission a été
employé pouc la première fois en i85o par MM. Hirn Tréres, au Logelbach, près Colmar ; la théorie ne présente aucune différence essentielle avec celle des transmissions par courroies; au point de Tue pratique, les câbles permettent de transmettre, à des distances qui dépassent souvent i kilomètre, des travaux considérables, dans des cas où les frais d'installation et les résistances passives rendraient tout autre système inapplicable.
Les câbles se composent ordinairement de plusieurs torons formés chacun de fils de fer enroulés autour d'une âme en chanvre; ces torons, généralement au nombre de six, sont groupés autour d'un toron eentral, ou autour d'une &me en chanvre de bonne qualité. Dans le but de réduire la tension des câbles pendant la marche, et par suite la section et le poids qu'il est nécessaire de leur donner, on se sert de poulies de fort diamètre, marchant à grande vitaMe (^fig* 38). On fixe à 3o mètres environ la vitesse à la circonférence qu'il est prudent de ne pas dépasser.
Dans la jante en fonte de la poulie {fig» Sg) est pratiquée une gorge bah* au fond de laquelle est ménagée une rainure en queue d'hironde dans laquelle on mate une bande de gutta-percha; quelquefois on emploie le cuir, le bois ou la ficelle; c'est cette bande qui porte le câble a et donne naissance à une adhérence suffisante pour éviter le glissement.
Souvent on pratique, sur une même jante, deux gorges parallèles {/ig. 38), qui permettent d'efiectuer la transmission par deux câbles.
' Lorsque la transmission a une grande longueur, on soutient le c&ble par un certain nombre de galets intermédiaires établis sur des supports solides dont la distance varie avec le diamètre du c&ble et l'altitude des poulies extièmcs. Ce système de transmission présente des avantages sérieux dans les usines où il est nécessaire d'éloigner les ateliers des machines motrices, et surtout des foyers; l'administration des Manufactures de l'État vient d'en faire une application importante à la poudrerie récemment construite à Sevran. (K.)
Fig. 39.
AFPLKÏOtB AUX ■AOflUm. ao3
blement dans le cas où l'on y pratiquerail une gorge; quelquefois cependant on termine le profil de la janle par une droite.
Lorsqu'on se sert de chaînes, la forme de la jante varie avec la nature de la chaîne emploj'ée {Jtg-ii et 43]; on ne peut du
reste en faire usage que lorsque le mouvement n'est pas trop Irrégulier ou qu'on l'a rendu à peu près uniforme par l'emploi du volant; il existe effectivement des scieries à mouvement alternatif et même des martinets, où l'on fait usage de ces moyens pour communiquer la vitesse, mais alors on place des volants sur l'arbre de la manivelle et sur celui des cames.
2o4 C0CB8 DB HÉCAHIQUI
Lorsqu'on se voit obligé d'en^ployer des chaînes pour communiquer le mouvement à des roues sollicitées par de grands efforts irréguliers, et que l'on a des raisons de craindre que les chaînes ne glissent, on arme les circonférences des roues de pointes ou dents qui entrent dans les vides des maillons. Comme il est essentiel d'éviter la tension sur les deux branches de la chaîne, on fait Tune d'elles un peu plus longue que l'autre, et l'on a soin de régler convenablement l'espacement des dents et des maillons. Lorsqu'on supprime lés dent3, on doit tout au moins faire la couronne de la roue en fer ou en fonte de fer pour s'opposer au glissement. Dans tous les cas, on ne peut trop recommander de centrer exactement les gorges ou cylindres extérieurs des poulies et des roues, en les repassant au tour, montées sur leurs axes propres.
Commtuiication du monvement par engrenagaa.
110. Noms des diverses parties dont se compose un engrenage. — Le moyen le plus généralement adopté pour com* muniquer le mouvement de rotation d'un arbre à un autre consiste dans remploi de roues dont les jantes sont garnies de saillies, qui s'engagent réciproquement les unes entre les autres et rendent ainsi le mouvement de l'une des pièces solidaire de celui de l'autre. Ce dispositif est ce qu'on nomme un engrenage.
Les diverses parties dont il se compose prennent, selon leurs formes, leurs dimensions et leur usage, des noms qu'il est nécessaire de connaître.
De deux roues qui engrènent l'une avec l'autre, la plus grande se nomme roue ou rouet, et la plus petite pignon. Les saillies au moyen desquelles elles se conduisent s'appellent dents; lorsqu'elles ne font pas corps avec la roue, comme cela arrive pour les roues en fonte garnies de dents en bois, on les désigne quelquefois sous le nom é'alluchons.
Au lieu de pignons, on emploie souvent un système composé de deux plateaux circulaires qu'on nomme tourteaux, placés parallèlement l'un à l'autre sur un arbre tournant et
APPLIQUÉE AUX HAGB1ICB8* ao5
réunis par des cylindres en bois ou en métal nommés /kseaux; l'appareil entier s'appelle lanterne.
Lorsque l'engrenage doit produire un mouvement alternatif ou intermittent, les dents ont des dimensions particulières, ordinairement beaucoup plus grandes que dans l'engrenage continu, et elles prennent alors le nom de cames.
Les dents des deux roues s'engageant les unes entre les autres, il doit exister entre celles d'une même roue un intervalle suffisant pour le passage de celles de l'autre roue; cet intervalle s'appelle le creux.
Quand les axes des deux roues à faire conduire l'une par l'autre sont parallèles et que, par suite, les faces de ces deux roues sont comprises entre deux plans perpendiculaires à leurs axes, on dit que l'engrenage est plan. Lorsqu^au contraire ces axes se coupent, on a ce que l'on nomme un engrenage d'angle ou engrenage conique, par suite de la forme qu'on lui donne.
111. Conditions auxquelles doivent satisfaire les engre^ nages. — Le tracé et les dimensions des dents d'engrenage doivent satisfaire aux trois conditions suivantes : i^ que le mouvement soit transmis d*iine roue à l'autre suivant une loi donnée; 2® que les dents aient la solidité nécessaire pour résister aux efforts connus qu'elles doivent transmettre; S^'que la quantité de travail consommée par le frottement des dents les unes sur les autres soit un minimum.
Nous ne nous occuperons, dans cette Section, que de la première condition, et nous allons rappeler succinctement les règles que l'on suit pour la remplir.
112. Conditions du tracé des engrenages. — De la condition que les vitesses restent dans des rapports constants il résulte, pour les engrenages, une conséquence qui sert de base à leur tracé. En effet, si nous considérons les centres des deux roues C, C'(y?gf. 43), et que nous partagions la ligne qui les réunit en deux parties C^ et C'/, qui soient dans un rapport donné, les cercles de rayons C/ et C'/ se toucheront en /, et, si les roues sont poussées l'une contre l'autre par
ao6 COURS DE MÉCAHIQDB
un effort suffisant, il en résultera que, quand l'une des deux tournera autour de son centre , elle entraînera l'autre dans
Fig. 43.
son mouvement et qu'elles rouleront Tune sur l'autre sans glisser; c'est ce qui a lieu dans le mouvement des tambours décrits au n^ 107.
Si donc on nomme &> et u' les vitesses angulaires respectives des cercle^ C/ et C't^ les arcs développés dans le roulement de l'une des circonférences sur Tautre seront égaux de part et d'autre, et Ton aura
wXC/ = &)'xC'/,
d'où
c'est-à-dire que les vitesses angulaires seront dans un rapport constant et inverse des rayons.
Réciproquement, pour que les vitesses angulaires restent dans un rapport constant, il faut que le point / partage la ligne des centres en deux parties inversement proportionnelles à ces vitesses. Ainsi toute forme de dent d'engrenage doit être telle, que le mouvement se transmette d'une roue à l'autre» comme si les deux cercles Ct eiC t roulaient l'un sur l'autre sans glisser, et réciproquement.
Ces cercles C/ et C i, dont les rayons sont en raison inverse
APPLIQUAS AUX MACHINES. 207
^des vitesses angulaires, se nomment par cette raison cercles proportionnels, mais le plus souvent on les appelle cercles primitifs, parce qu'ils servent de point de départ au tracé.
113. Conséquence qui sert de base au tracé. — Il suit de ce qui précède que si amb et a'mb' {PL I^fig. i) sont les courbes de deux dents montées sur les roues, dont C/ et C!t sont Tes rayons primitifs et que ces courbes satisfassent par hypothèse à la condition de l'uniformité du mouvement, la normale commune en m aux deux courbes devra passer par le point /. En effet, puisque le mouvement doit être transmis de la même manière que si les deux cercles C/ et C'/ roulaient Tun sur l'autre, il s'ensuit que, quand la dent amb poussera la dent a!mb\ le point m tendra, dans le premier instant, à' décrire un petit arc de cercle tangent à l'une et à l'autre courbe, et que par conséquent la normale en m, qui est à la fois commune à ce petit arc et aux deux courbes, passera parle point /.
On parvient encore à la même conséquence en remarquant que, la résistance opposée par la roue conduite à l'effort N exercé par la roue conductrice lui étant égal et contraire, les quantités de travail élémentaires que développent ces deux efforts, dirigés suivant la normale commune m/, doivent être égales, ce qui donne
d'où
X CKrfô
= NC'K'de',
CK
rfô'
dô
G) et ct)' étant les vitesses angulaires des roues, qui doivent, par hypothèse, rester dans un rapport constant. Or on a de plus, par les triangles CK/ et CK'/,
CK C/ w'
donc le point / de rencontré de la normale commune m/ doit partager la ligne CC en deux parties réciproquement proportionnelles aux vitesses angulaires et rester le même pour toutes les positions.
ao8. COURS DB HÉCàNIQOI
lli*. Première méthode du tracé. — Ceci conduit immédia*
lement à une solution graphique très-simple du problème des engrenages; car Tune des courbes, amb par exemple, étant donnée à volonté, puisque l'autre courbe à déterminer doit être telle que le mouvement ait lieu comme si Jes cercles roulaient l'un sur l'autre, il suffira de faire rouler le cercle G/ sur la circonférence dû cercle C t et de tracer sur le plan de celui-ci les positions successives de la courbe amb. La suite des intersections de ces courbes ou leur enveloppe sera la courbe cherchée a'mb\ puisque, à chaque instant, elle doit être tangente à amb ; mais cette méthode, très-simple en démonstration, conduirait, dans la pratique, à des difScuItés d'exécution dont la suivante est exempte.
lis. Méthode générale pour le tracé des engrenages. — Étant donnée une courbe amb (PL I^fig. 2), formant le profil des dents montées sur le cercle Cm, cherchons la forme k donner à la courbe a!mb\ ou le proGl à donner aux dents de la roue C^m, pour que ces deux courbes, en se poussant Tune l'autre, satisfassent à la condition que les deux cercles primitifs tournent autour de leurs axes, comme s'ils roulaient Tun sur l'autre. Pour cela, portons de part et d'autre du point m, correspondant à la ligne des centres CC, des arcs mi« ms,..., égaux en longueur sur chacun des cercles primitifs. Il est clair, d'après la condition à laquelle les courbes sont, par hypothèse, assujetties, que les points de division correspondants, i.i, 2.2,. . ., viendront successivement en contact les uns avec les autres. Traçons les courbes de -dents correspondant à ces divisions, ce qui revient à considérer leurs positions successives. Soient m/13, mut avant la ligne des centres, mn'^ mn" après cette ligne, les normales aux points de contact, et observons que ces lignes seront les rayons de cercles tangents aux deux courbes, au point de contact et que, la courbe amb étant donnée, il sera toujours facile d'obtenir leurs longueurs à l'aide du compas.
Or, si nous supposons, pour ne pas compliquer la figure, que la courbe cherchée a'mb' soit construite en a'^mift',, puis, qu'à partir du point mi, où elle coupe le cercle primitif C'mi, nous
APPLIQUÉE AUX MACBINES. 209
pdrUons de part et d'autre des arcs /iti i, mi 2, . . . égaux aux divisions précédantes; que des points i, 2,. . ., avec des rayons égaux aux langueurs mit., m/is,... des normales obtenues, comme nous venons de le dire, nous décrivioni des arcs de cercle, il est évident que ces arcs seront tangents à la courbe cherchée. En opérant ainsi de part et d'autre du point /iti et avec les longueurs des normales qui conviennent à chaque point de division, nous aurons ainsi une suite d'arcs de cercle dont la courbe cherchée formera l'enveloppe, ce qui la déterminera.
116. Pour obtenir les longueurs des normales correspondant aux diverses positions de la dent amb, il n'est pas nécessaire de tracer la figure comme nous l'avons indiqué. Il sufût de la considérer dans une position quelconque et de porter, à partir du point où elle coupe le cercle primitif, des arcs égaux aux divisions adoptées pour l'autre cercle et, de tous les points I, 2,. . . comme centres, de tracer des arcs de cercle tangents à la courbe et dont les rayons seront les longueurs cherchées des normales, puis d'achever le reste de la construction, comme il vient d'être dit.
117. Observations sur la manière dont les derlts se conduis sent. — On remarquera dans la Jig. 2 que les centres des cercles tangents, menés à la partie am ou a' m de la courbe, intérieure au cercle primitif, sont situés d'un autre côté du point m que ceux qui correspondent à la partie extérieure mh ou mb'y et que la portion de la courbe donnée amby qui conduira mb', est la pariie am intérieure au cercle C/, depuis le premier moment de la prise des dents jusqu'à l'instant où les points m et m' sont parvenus en /, et qu'au delà de cette position c'est la partie mb de la courbe amb qui conduira la portion intérieure a! m.
La portion m6, mb' des courbes des dents, extérieure aux cercles primitifs, se nomme la face des dents, et la portion intérieure ma^ ma' s'appelle le flanc; le résultat que nous venons de remarquer s'énonce en disant que la face d'une dent conduit le flanc de l'autre^ et réciproquement.
2IO COURS DE HÉCàNIQCB
118. Application de cette solution générale à des cûutées quelconques. — Le tracé que nous venons d'indiquer s'applique à toutes les formes de dents que Ton peut se donner; mais, si la solution du problème est géométriquement possible pour une courbe quelconque, il n'en est pas de même de la solution pratique. 11 suit, en effet, de Tobservation précédente que, si la courbe donnée amb était telle que les centres des cercles tangents à ses deux portions extérieures et intérieures se trouvassent d'un même côté du point m'» les deux parties correspondantes de la courbe a' m 6' se trouveraient aussi du même côté du point m, et que, bien qu'on pût les tracer sur le papier, on ne pourrait les exécuter matériellement, parce qu'elles se pénétreraient. Il faudrait donc opter, dans ce cas, entre Tune ou l'autre des deux parties, c'est-à-dire renoncer à faire conduire les roues avant et après la ligne des centres» et comme il est toujours plus convenable, comme on le verra par la suite, de faire engrener les dents après la ligne des centres qu'avant, il faudra supprimer la portion de courbe qui conduirait avant, ou le flanc de la roue conductrice et la face de la roue conduite. Les circonstances que nous venons d'indiquer se présentent notamment dans le cas où l'on emploie des lanternes et dan^ celui des engrenages intérieurs.
Il peut ausA arriver une autre circonstance de nature à faire rejeter les courbes trouvées, quoique géométriquement elles satisfassent à la question, c'est quand Tune des courbes est concave en tout ou en partie; celte forme offre en effet les inconvénients d'exposer à des arc-boutements, de conserver davantage les corps étrangers qui pourraient s'introduire entre les dents, enfin elle présente des difficultés d'exécution.
C'est par ces divers motifs que les géomètres se sont attachés à des solutions particulières de la question, en choisissant celles qui offrent le plus de facilité pour l'exécution; nous allons les rappeler successivement.
119. Engrenage à épicycloïdes. — L'engrenage le plus généralement adopté est celui dont les dents' ont la forme de courbes épicycloïdales; le tracé s'opère de la manière suivante :
APPLIQUÉB AUX MACHINB8. 211
Soient CC (PL If^fig. 3) la ligne des centres, C/ et Ct le rayon des cercles proportionnels ou primitifs. Si Ton fait roulejf.llitérieurement aux cercles des rayons C/ ei Ct d'autres ceiMlfe ayant ces rayons pour diamètres, un point quelconque m du cercle mobile parcourra le rayon correspondant à la position iij^ ce point m était celui du contact des deux cercles. En^Ôm» / étant le point de contact, les arcs tm et tt' développés par le roulement des deux cercles l'un sur l'autre sont égaux en longueur et, par suite, le premier est d'un nombre de degrés double du second. Les angles tCt' et tCnty qui ont respectivement pour mesure, l'un, dans le cercle de rayon C'/, le nombre de degrés contenus dans //', l'autre, dans le cercle de diamètre C'/, la moitié du nombre de degrés de tm, sont égaux et les lignes Ct' et Cm se confondent.
Cela posé, les mêmes cercles qui ont pour diamètre Ct et Ctf en roulant respectivement sur les cercles primitifs de rayons C/ et Ct, engendreront, par l'un quelconque de leurs points, une épicycloïde dont le tracé s'obtiendra (PI. I,Jig. 4)> d'après la méthode générale, par l'enveloppe des arcs de cercle successivement décrits des points équidistants i, 2, 3,. . . des cercles Ct et Ct comme centres, et avec les rayons /i, /2, /3,... égaux aux cordes des arcs de mêmes longueurs tif /2, /3,. . . des cercles de diamètre C/ et Ct.
Or, dans ces deux mouvements des cercles de diamètre Ct elCt, un point décrivant quelconque m engendre, à partir d'un même point de contact /, extérieurement à l'un des cercles» une épicycloïde, et iniérieurement à l'autre un rayon tangent à cette épicycloTde, de sorte que la courbe est la face d'une dent et le rayon le flanc correspondant de celle de l'autre roue, et réciproquement. Il est évident, en effet, que, dans une position quelconque, le rayon Cm est tangent en m à la courbe /'m, puisque, dans le roulement autour de t, le point décrivant m tend à parcourir un petit cercle élémentaire, à la fois tangent à l'une et à l'autre en m, et qui a pour normale la ligne tm.
Ce tracé, satisfaisant donc à la condition que la normale passe sans cesse par le point t, la vitesse sera transmise dans un rapport constant, comme l'exige la question.
212 t:0l'H8 DE MÉCANIQUE
On voil d'ailleurs que le point décrivait se trouve toujours à l'intersection de l'arc tm et du rayon Ct\ mené à l'ei^trémtté de l'arc tl'=:tm, et que» par conséquent, en décritiraij||^C comme centre avec Cm comme rayon un arc de cercTé/ pour chaque contact des cercles, la positiojg^ absolue du pdlnt décrivant sur le petit cercle tangent. La jjSpfte se trouve donc ainsi décrite par enveloppe et par points, et comme les distances des points de contact aux centres C et C des roues sont données par les longueurs Cm = C2,..., on voit qu'availt ou après la ligne des centres les points de contact se rapprochent respectivement des centres C et C à mesure que le contact a lieu plus loin de cette ligne et que, par conséquent, Tinclinaison de la normale m sur la ligne CC varie et augmente de plus en plus, à mesure que le contact a lieu plus loin de CC La direction de cette normale étant celle des efforts exercés par les dents l'une sur l'autre, il s'ensuit que ces efforts, déterminés, par exemple, pour une force ou résistance donnée agissant à la circonférence des cercles primitifs, avec une intensité constante, doivent augmenter à mesure que le point de contact se rapproche davantage des centres C et C, ou que le contact a lieu plus loin de la ligne des centres, ce qui montre que, dans l'engrenage à épicycloYdes, les efforts exercés par les dents sont nécessairement variables et plus grands vers les extrémités des dents.
120. Nombre de dents qui doivent être en prise à la fois. — Il est nécessaire et il suffit, pour la continuité du mouvement, qu'il y ait toujours deux dents en prise à la fois, et l'on satisfait ordinairement à cette condition en disposant l'engrenage de manière que chaque dent cesse d'agir lorsque celle qui la suit arrive à la ligne des centres, et la longueur des dents se trouve alors limitée; car l'arc tV étant égal au pas, et m étant le point de contact correspondant déterminé, ainsi que nous venons de le dire, il suffira de couper la dent en ce point, pour être sûr qu'elle n'agira pas au delà de l'étendue prescrite; c'est ce que l'on fait en décrivant du centre C un cercle de rayon Cm, qui limite toutes les dents de la roue C. La partie utile du flanc serait aussi limitée par le cercle décrit du centre C avec
APPLIQUÉE AUX MACHINES. 2l3
le rayon Cm; mais, pour que les dents puissent passer librement dans les creux, il faut prolonger le flanc un peu plus loin : nous indiquerons tout à l'heure sa limite inférieure» après avoir déterminé la forme de l'autre face de la dent.
121. Les dents doivent être d'une forme symétrique pour pouvoir agir dans les deux sens. — Dans presque toutes les machines, les roues d'engrenage sont exposées à être contremenées , soit accidentellement, soit périodiquement. Il est donc indispensable que les dents soient construites de manière à pouvoir conduire ou être conduites alternativement dans un sens ou danslautre : c'est pourquoi on leur donne la même forme dans les deux sens. Si l'exécution était parfaite, il sufGrait évidemment que le creux fût égal à l'épaisseur de la dent; mais, attendu qu'il est impossible d'obtenir cette perfection, on a soin de donner au creux un peu plus de largeur que l'épaisseur de la dent. Il suffit que cet excès soit au plus <^6 iV ^ iT ^6 l'épaisseur, et, dans les engrenages taillés ou ajustés, soit à la lime, soit par des procédés mécaniques, on peut le réduire à j^. D'après cela, le pas, qui est la somme de l'épaisseur et du creux, sera égal à 2,10, 2,084 ^^ ^>o^ ^^ ^'é~ paisseur de la dent.
La division des cercles primitifs et la subdivision du pas étant exécutées, on terminera la dent des deux côtés par deux courbes de face et par deux flancs symétriques, et la longueur des courbes ou la saillie des dents sur le cercle primitif sera, comme nous l'avons dit, limitée aux cercles de rayon Cm et Cm. Pour avoir la profondeur du creux, on déterminera la rencontre de ces cercles avec la ligne des centres en n et n', et en prenant respectivement en deçà de ces points ni = n' A =o",oo5 environ, on aura les rayons intérieurs C A et Ci du creux de chaque dent; on sera sûr, par cette disposition, qu'il y aura toujours un jeu sufflsant pour le passage des dents.
122. jérC'boutements, leurs inconvénients, — On remarquera que, quand la roue conduit le pignon, avant la ligne des centres, la somme des lignes Cm et Cm étant plus grande que CC, s'il arrivait que quelque aspérité des dents s'opposât a leur
2l4 COURS DE HÊGANIQUB
mouvement, il pourrait y avoir arc-boutement et par suite rupture» tandis qu'après la ligne des centres, les points ,de contact s'éloignant toujours, les distances Cm et Cm tendent à augmenter, et rien ne s'oppose à la séparation des dents. Ce danger des arc-boutements est d'autant plus grand que les dents engrènent plus loin avant la ligne des centres.
C'est pour l'éviter que les anciens constructeurs avaient adopté l'usage de faire conduire les roues l'une par l'autre, exclusivement après la ligne des centres; mais diverses considérations ayant conduit à diminuer beaucoup l'épaisseur des dents, et par suite leur saillie, en augmentant au contraire leur longueur parallèlement à l'axe, les engrenages actuels ne prennent plus qu'à une petite distance avant et après la ligne des centres, et celte circonstance, jointe à la perfection que l'on apporte aujourd'hui à leur exécution, fait disparaître toute crainte d'accidents; aussi est-on actuellement dans l'usage de faire conduire les roues autant avant qu'après la ligne des centres.
123. Inconvénients de l'engrenage à épicjrcloldeê. — Les inconvénients de l'engrenage à épicycloTdes sont :
I** Que l'intensité des pressions exercées sur les dents augmente à mesure que le point de contact s'éloigne davantage de la ligne des centres, ce qui tend à les faire user inégalement ;
2*> Que le tracé des dents de l'une des roues dépendant du rayon du cercle primitif de l'autre roue, on ne peut faire conduire par une même roue des pignons de différents dia* mètres;
3*" Que si les axes des roues éprouvent le moindre déplacement, tout en resunt parallèles, l'engrenage n'est plus exact.
124.. Engrenage à développantes de cercle. — Une autre solution du problème des engrenages, exempte de ces inconvénients, est celle où l'on donne aux dents la forme de développantes de cercle. Elle est fondée sur la construction suivante :
Par le point t(PL I.fig» 5), qui partage la ligne des centres
APPLIQUÉS AUX MACHINES. 2l5
ce en deux parties réciproquement proportionnelles aux vitesses dont les roues doivent être animées, menez une ligne KtK' inclinée sur CC^- puis des points C et C abaissez des perpendiculaires CK et C^K' sur cette ligne, et décrivez des cercles dont ces perpendiculaires soient les rayons. La ligne KK' sera évidemment une tangente commune à ces deux circonférences, et si Ton enroule respectivement les parties tK et tK' sur les cercles CK et CK', le point t décrira les développantes de l'un et de l'autre de ces cercles.
Si l'on conçoit maintenant que l'une des courbes pousse l'autre, cetle action aura toujours lieu suivant la normale commune, et, comme les normales à chacune des deux courbes doivent être tangentes au cercle développé, il est évident, que celle qui est commune aux deux courbes sera la tangente KK'. Ainsi, dans cet engrenage, le point de contact restera toujours' sur la même ligne, qui sera la normale, et par conséquent 1^fort exercé sur l'une des dents sera constant pendant toul durée du contact.
Les roues devant se conduire dans les deux sens, avantet après la ligne des centres, les dents auront la même forme des deux côtes, et afln d'éviter que, par le rapprochement des courbes, leur extrémité se trouve trop affaiblie, il faut donner à leur tangente commune KK' la plus faible inclinaison possible. On y parviendra par la construction suivante, en s'imposant, par exemple, la condition que les dents agissent (te part et d'autre de la ligne des centres et à une distance égale au pas que l'on suppose connu. A partir du point / de contact des cercles primitifs, prenez sur celui du pignon l'arc tt' égal au pas, menez le rayon Ci' et du point/ abaissez sur CV une perpendiculaire, qui sera la tangente commune cherchée. Il est clair, en effet, que la dent du pignon, par^'enue à une distance égale au pas, sera poussée par son premier élément et ne pourra plus l'être au delà. Il conviendra d'ailleurs de prendre l'inclinaison de la tangente un peu au-dessus de cette limite, quand on le pourra faire sans que les dents deviennent trop faibles au bout, afin de parer à de légers défauts de pose.
Quant à la longueur totale des dents, on la déterminera fa-
at6 COUBB DB MtCANIQUI
eîlement en les iraçani dans la position extrême où elles doivent agir avant et après la ligne des centres et les coupant à cette distance par des arcs de cercle concentriques aux roues. Quoique les dents n'aient pas de flanc reclillgne, il est nécessaire de leur mener deux rayons tangents à leur naissancCf qui limitent le creux, en donnant à celui-ci la profondeur convenable pour le jeu de l'engrenage.
125. Observation sur le cas où la distance des axes varie. —■ On remarquera que si, par un déraui de pose de la macbine ou par l'usé des coussinets, la distance des deux centres C et C venait ii viirier. les dents agiraient néanmoins suivant une normale coinnione, dont l'inclinaison seulement serait différente de celle qui aurait été fixée et que les efforts Iransniia resteraient enrore dans un rapport constant, de sorte que l'engrenage à dcveioppantes conserverait, même dans ce cas, la propriété de produire toujours des efforts constants sur les dents, qui, par cotisi-queni, s'usent plus uniformément dans cet engrenage que (inns tous les autres.
Le tracé de In courbe du pignon ne dépend que de son rayon et de l'inclinaison de la tangente; on voit donc que, celle-ci étant déterminée, par exemple, pour le plus petit des pignons qu'une roue devra conduire, il sera facile de déterminer les arcs à développer et par suite les courbes de dents pour autant de pignons de rayons différents que l'on voudra.
Ces avantages doivent faire préférer, dans beaucoup de cas, l'engrenage à développantes à celui dont les courbes sont des épicycloldes; mais, si l'on exécute le tracé, on reconnattque dans le premier mode, quand les rayons des roues sont trèspetits, l'extrémité des dents s'affaiblit beaucoup par la convergence des courbes; ce qui est, dans certains cas, un grave inconvénient qui doit le faire rejeter et que présente beau'- COup moins le tracé par les épicycloldes.
126. Tracé adopté par les constructeurs. — Nous venons d'indiquer les deux solutions géométriques le plus en usage pour le tracé des engrenages; mais, quoique leur exécution soit fort simple, les praticiens ont adopté une méthode en-
APPLIQUÉS AUX MACBIlfBS. ^17
core plus expédiiive» qu'il importe de connaître et qui s'appllqtte spécialement à Tengrenage à cpicycloYdes. Nous ayons vu que ces courbes pouvaient être considérées comme les enveloppes d'une suite d'arcs de cercle, décrits des divers points de leur circonférence comme centres» avec des rayons égaux aux cordes correspondantes du cercle générateur. Il suit de là que, sur une certaine étendue, la courbe se confond sensiblement avec les cercles correspondants, et, comme on limite nécessairement les arcs de contact à une petite portion de la courbe, on pourra dans la plupart des cas ordinaires de la pratique lui substituer un des arcs de cercle tangents. On reconnaît, en effet, par le tracé exact, qu'en choisissant convenablement le centre du cercle, que Ton veut substiioerl la courbe, il se confond dans toute la partie utile avec téiVb courbe, à moins de l'épaisseur d'un trait fin de tire-lipie« Cette exactitude est certes bien suffisante pour la pratique 61 justifie l'emploi de cette méthode expéditive.
Dans les cas les plus ordinaires, où les cercles ne sont piâ trop petits par rapport aux dimensions des dents et où par conséquent la courbure est un peu rapide, on prend ordinairement pour centre de la courbe la naissance de la dent suivante sur le cercle primitif, et pour rayon le pas de l'engrenage mesuré sur ce même cercle. Lorsque des pignons très-petits, destinés à transmettre des efforts considérables, devront avoir des dents très-épaisses, et que la courbure devra être très-sensible, on pourra déterminer le centre et, par suite, le rayon du cercle destiné à remplacer la courbe par la condition qu'il passe par la naissance et l'extrémité ou le dernier point de contact, qui est toujours facile à déduire de l'amplitude adoptée pour le contact de part et d'autre de la ligne des centres. En effet, en élevant une perpendiculaire au milieu de la ligne qui joint ces deux points, elle rencontrera la circonférence du cercle primitif en un point qui sera le centre cherché, et le rayon sera donné immédiatement.
Cette méthode pratique n'est d'ailleurs évidemment applicable qu'au cas où les dents ont peu de longueur.
Nous avons passé sous silence le tracé des dents des roues qui doivent conduire des lanternes, parce qu'il rentre immé-
ai8 COUftg DE MÉCANIQUE
diatement dans la solution générale en regardant le cercle de base des fuseaux comme la courbe donnée. On reconnaîtra d'ailleurs» en l'exécutant, que les dents ne peuvent se conduire qu'après ou avant la ligne des centres, et qu'il conviendra toujours d'adopter la première disposition, afin d'éviter les arcbouiements, qui s'opposent aussi, par conséquent, à l'emploi des lanternes comme roues conductrices. Cet inconvénient, ainsi que les dimensions considérables que l'on est obligé de donner aux fuseaux et aux dents de ce genre d'engrenage, doit le faire proscrire de toute construction soignée.
127. Engrenages coniques ou sphériques, — Passons aux engrenages coniques ou des roues d'angle, pour lesquels toute la difficulté consiste à transporter dans l'espace ce que nous avons dit pour le cas du plan.
La position des axes CS, C'S étant fixée, on divisera l'angle CSC, compris entre eux, en deux autres CST, C'ST, dont les sinus soient réciproquement comme les vitesses de rotation à imprimer à ces axes; en faisant tourner ces angles autour des axes respectifs qui leur correspondent, on aura ainsi les cônes primitifs, se touchant suivant l'arête commune TS. Cest sur les bases circulaires de ces cônes, prises au milieu de la largeur de la couronne qui porte les dents, qu'on fait ordinairement la division de l'engrenage. Cela posé, tout ce que nous avons pu dire pour le cas des roues comprises dans un plan sera applicable à l'espace, pourvu qu'on remplace les lignes droites, dont il a été question, par des plans passant par le sommet S des cônes, et les lignes courbes par des cônes ayant ce même point pour sommet. Ainsi, par exemple, pour que les surfaces coniques des dents en se poussant puissent imprimer des vitesses uniformes aux roues, il sera nécessaire que le plan normal de l'arête commune de contact de ces surfaces passe par l'arête de contact ST des cônes primitifs; les courbes épicycloYdes des dents, relatives au cas du plan, seront remplacées par des cônes épicycloTdes produits par le mouvement d'une arête de l'un des cônes primitifs roulant sur l'autre cône primitif; et, si Ton considère simplement les cercles de base CT, C'T, que Ton peut appeler les cercles primi-
APPLIQDÉB AUX MACHI1I18. 319
tifs, les choses se passeront encore d'une manière analogue sur la sphère qui renferme ces cercles et dont S est le centre; seulement les droites seront remplacées par des arcs de grands cercles» et les épicycloïdes» les développantes planes» etc., de viendront des épicycloîdes» des développantes sphérîques, etc. D'après cette analogie, qui règne entre les deux cas du plan et de Tespace, il devient inutile d'entrer dans de nouveaux détails sur la manière de disposer les engrenages, selon les diverses circonstances; il est évident que toute la difficulté réside dans les opérations graphiques nécessaires pour tracer les différentes courbes ou surfaces de dents, d'après les principes de la Géométrie descriptive. Or je ferai remarquer que la rigueur qu'on apporterait ici dans le tracé, en suivant» par exemple, les méthodes indiquées dans l'ouvrage de M. Hachette, que cette rigueur, dis-je, ne conduirait pourtant qu'à des résultats fort incertains, vu la multiplicité des opérations nécessaires pour obtenir le tracé d'une surface de dents, ou même d'un seul point de sa courbe de base; il me semble que le procédé qui suit est suffisamment exact pour la pratique, et n'offre pas ces inconvénients.
128. Solution simplifiée et suffisamment exacte du pro^ blême des engrenages coniques. — On remarquera que les couronnes ou jantes qui portent les dents ou fuseaux, etc., sont et doivent être, en général, terminées, du côté opposé au sommet S des c6ïies{fig, 44)» V^^ d'autres surfaces coniques mnpT, m'n^p'T, dont les sommets S., S', sont sur les axes SC et SC' des roues, et dont les arêtes S.T, S'.T, comprises dans le plan de ces axes, sont perpendiculaires à l'arête de contact ST des cônes primitifs, en sorte qu'elles forment*le prolongement l'une de l'autre, et sont comprises dans le plan perpendiculaire à ST et tangent à la fois aux cônes (S,), (S'J : c'est sur la surface de ces cônes que l'on applique les panneaux des dents, et qu'on vérifie le tracé général de l'engrenage ; or je remarque que, vu le peu d'étendue qu'occupe, sur ce cône, le profil de la courbe d'une dent et de celle qui la conduit, on peut, sans erreur sensible pour la pratique, regarder la petite portion des surfaces coniques (Si), (S',) correspondant à ces dents.
aao COURS de mêcahiqur
comme se confondani avec le plan langent SiTS*,, lorsqu'elles
se poussent en T, oîi a lieu leur contact mutuel.
Fie. M.
Cela posé, développant donc les deux surraces de cônes (Si) et (S',) sur le plan tangent commun dont il s'agil {PI. II, ^g. 6), ce qui n'offre aucune difricullé, puisqu'on a la longueur des arêtes et le périmètre des bases, ei observant que, dans ce développement, les longueurs dans le sens des arêtes et les largeurs dans le sens des cercles méridiens concentriques aux sommets ne sont nullement altérées, on ramènera de suite le problème des engrenages coniques à celui des engrenages cylindriques; car rbs cercles primitifs des dents sur la surface des cônes seront devenus, sur le développement, des arcs de cercle tangents entre eux, et qu'on pourra regarder comme les cercles primitifs des deux roues planes à tracer par les méthodes ci-dessus, selon le genre d'engrenage que l'on désire adopter. On aura ainsi obtenu tous les panneaux nécessaires pour tracer les dents sur la surface des cônes limites (Si) et (S'J; d'après quoi, on exécutera facilement les dents tout entières.
APPLIQUA AUX MACHIHB8. 221
On pourra d'ailleurs préparer un nouveau panneau déve* loppé pour la surface conique qui termine intérieurement la couronne du côté de S., laquelle a ses arêtes parallèles à celles des premiers cônes limites, et donne pour les dents des profils ou figures exactement semblables, en sorte qu'il suffira de réduire les premiers panneaux dans un rapport convenable, qui est celui des arêtes ST et ST'.
129. Dimensions des diverses parties dés engrenages, — A ces détails sur le tracé des engrenages nous aous bornerons à ajouter quelques mots relatifs à la manière de déterminer les proportions des dents.
La largeur des dents (Jig. 45), parallèlement à l'axe de ro-
Fig. 4^*
tation ou dans le sens des génératrices des cônes, est ordinairement égale à quatre fois leur épaisseur, mesurée sur la circonférence primitive, quand la vitesse à cette circonférence n'excède pas i",5o. On la porte à cinq fois cette épaisseur quand la vitesse est plus grande, pour compenser les effets plus grands de l'usure. Enfin, quand les dents d'engrenage sont exposées à être mouillées, et par conséquent à être souillées de sable, qui en augmente l'usure, on leur donne en largeur jusqu'à six fois l'épaisseur.
La saillie des dents sur l'anneau qui les porte est déterminée par le tracé, lorsqu'on se donne l'angle suivant lequel elles doivent agir avant ou après la ligne des centres. Toutefois, la résistance à la rupture étant en raison inverse de cette longueur, elle doit être renfermée entre certaines limites. Il convient qu'elle n'excède pas i,5o fois l'épaisseur à la circonférence primitive, ou, si le tracé donne une plus grande saillie,
aaa couis db mêcaniqub
il faudra' d'abord rechercher si, en augmentant un peu la largeur, on ne pourrait pas diminuer l'épaisseur ou le pas, et par suite la saillie ; puis, si ce moyen ne suffit pas, il faudrait se borner è ne faire agir les dents, avant et après la ligne des centres, que jusqu'à une distance où elles atteindraient la saillie limitée. 11 est rare, du reste, que Ton éprouve quelque difficulté à ce sujet.
Ces proportions entre la largeur, la saillie et l'épaisseur une fois établies, il ne restera plus à déterminer que l'épaisseur, et, d'après l'observation des dimensions adoptées par les meilleurs constructeurs, elle peut être déduite des formules suivantes, dans lesquelles on exprime par
A l'épaisseur en centimètres, mesurée a la circonférence primitive;
P l'effort en kilogrammes exercé par l'une des roues sur l'autre :
Pour les dents en fonte 6 = o,io5v^;
Pour les dents en bronze ou en cuivre. . i = o, i3i v^; Pour les dents de charme, de racine, de
poirier et de sorbier ( ' ) fc = o , i83 y/P .
(*) Des roues à dents de bois, — On garnit souvent l'une des deux roues de dents de bois, surtout quand la transmission marche tite; le bois est beaucoup plus élastique que la fonte, et l'on obtient ainsi des transmissions moins saccadées et qui font moins de bruit pendant la marche. Un autre avantage consiste en ce que, en cas de rupture d'une dent de bois, les chances de détérioration de tout l'engrenage sont moindres que lorsque les dents sont en fonte, et le remplacement de la dent cassée se fait plus rapidement et à moins de frais. Il faut avoir soin, dans une semblable réparation, de donner à la dent neuve le profil qu'ont en ce moment les autres dents de la roue qui ont été plus ou moins amincies par le fonctionnement, sans quoi le jeu, en cet endroit, ne serait pas le même que sur le reste de la roue, et il pourrait se produire des arc-boutements ; le plus souvent la rupture d'une dent est un indice que l'ensemble devient trop faible par suite de l'usure, en sorte qu'il y a alors avantage à remplacer toutes les dents à la fois, avec leur profil primitif.
Dans ce genre d'engrenage, il est indispensable de tailler les dents en fonte, ou du moins d'enlever à la lime toutes les aspérités; il faut également dresser avec soin l'intérieur des mortaises de l'autre roue, afin que, lors de l'enfoncement, les fibres du bois ne soient pas déchirées. ( K.)
En nommant, de plus,
/ la largeur en centimètres, s la saillie,
on aura, selon les cas désignés ci-dessus,
/=4^» /=5i ou l = 6b et s = ï,5ob au plus;
et si Ton nomme a le pas de l'engrenage et que le jeu dans le creux soit fixé à •-- ^^ l'épaisseur b de la dent, on aura
Ces relations suffiront donc pour déterminer toutes les pro* portions d'un engrenage, quand les dents des deux roues seront de même matière. Si les substances étaient différentes, et que les dents de l'une des roues fussent en fonte et celles de l'si^tre en bois, ainsi que cela arrive souvent, on aurait de même, pour l'épaisseur b' des dents en bois,
et, pour celle des dents en fonte,
6'=o,io5v^P.
La largeur / des dents devant être la même, on la prendrait pour les deux roues égale à
et le pas, qui doit aussi être le même, serait
a = 6 -h i,ifc'= 2,84 &•
Lorsque les dents sont en métal, on les coule ordinairement d'une seule pièce avec l'anneau qui les porte, et l'on donne alors à cet anneau la même largeur parallèle à Taxe qu'aux dents, et pour épaisseur, dans le sens du rayon, l'épaisseur des dents mesurée sur le cercle primitif.
Si les dents sont en bois et enchâssées dans un anneau en fonte, percé de mortaises, cet anneau a une largeur égale à celle des dents, augmentée d'une fois leur épaisseur de part et d'autre de la mortaise, et dans le sens du rayon son épaisseur est celle des dents.
224 COURS DB MftGJLRIQUB
D'après ces règles pratiques, qui ne s'appliquent qu'aux engrenages qui ne sont pas exposés k des chocs, les dimensions des dents sont faciles à déterminer dans chaque cas, ainsi que le pas a ou l'intervalle des dents consécutives de milieu en milieu.
Lorsque les rayons R = C / et R' = C / seront donnés, on devra avoir, en appelant respectivement m et m' les nombres de dents des roues C et C,
ma = 37rR et /n'a=27rR',
d'où Ton tirera m et m'.
Mais comme ces nombres doivent être entiers, et qu'il convient même, dans beaucoup de cas, pour la facilité des assem* blages, qu'ils soient divisibles par le nombre de bras de chaque roue, on devra prendre pour m le nombre entier inférieur*et à la fois divisible par le nombre de bras de la roue et par le rapport de R à R% et l'on déduira de la relation
mu = 27rR
une nouvelle valeur du pas un peu supérieure à celle que l'on avait d'abord trouvée, ce qui n'a pas d'inconvénients. On aura ensuite
pour le nombre de dents du pignon, qui sera ainsi nécessairement un nombre entier, puisque le rapport ^r est contenu un nombre exact de fois dans m ( ' ).
( * ) Observation sur le nombre de dents. — Il arrive souvent que toutes les dents d'une roue ne présentent pas la même dureté, que même elles diffèrent légèrement du tracé, surtout quand elles sont neuves et qu'elles n'ont pas été retaillées. Pour atténuer les inconvénients de ces imperfections, il contient de faire en sorte que chacune des dents de l'une vienne engrener succeativement avec toutes celles de l'autre, et pour cela de choisir des nombres m et m' premiers entre eux, ce qui est toujours possible quand on dispose de quelque laUtude dans le choix du rapport des vitesses des deux arbres. (K.)
APPLIQDlK AUX HACHIRIS.
190. Carnet des marteaux, — Les considéraiiooa qtie noos avons exposées sur les formes les plus ordinaires des engrenages s'appliquenl facilement aux divers cas parliculiers qui peuvent se présenter, et notamment aux cames destinées & transmettre des mouvements intermittents.
Ainsi les cames, animées d'un mouvement de rotation continu [^g. 46], qui doivent communiquer à un levier C't un
Fig. 46.
mouvement de rotation alternalîrintermiilent, autour du centre C, auront la forme d'une épicycloïde engendrée par le roulement du cercle de diamètre C'( sur le cercle C/, correspondant à la pièce animée du mouvement continu, le point (, partageant toujours la ligne CC en deux parties réciproquement proportionnelles aux vitesses angulaires à transmettre. Cette courbe agira sur un flanc rectiligne dirigé suivant le rayon passant par C et poussera à partir de la ligne des centres.
131. Cames des pilons. — Si la came devait soulever un pilon ou produire un mouvement rectiligne (PL U,fig. ■]), le diamètre C't devenant indni, la courbe de la dent serait une développante de cercle. Connaissant, dans ce cas, la quantité dont la tige doit marcher pendant la durée du contact, et la portion de la circonférence correspondant à ce contact, on en déduira facilement le rayon du cercle à développer pour produire le mouvement donné- Il faudra d'ailleurs donner & la
226 G0U18 DB HtCÀllIQUB
courbe une espèce de flanc, pour livrer passage à la tige et servir en quelque sorte de creux.
Nous n'insisterons pas davantage sur l'examen des cas particuliers qui peuvent se présenter, et dont la solution rentrera toujours facilement dans la méthode généAile que nous avons exposée.
APPLIQUÉE AUX MAGHIMBS. 227
