ADDITIONS
RELATIVES AUX VALEURS DE DIVERS MOMENTS d'iNERTIE (')
Principes généraïu.
i32. Moment d^ inertie par rapport à un axe quelconque, — Nommant, en général , tt le rapport de la circonférence au diamètre , M le volume total d'un corps, I son moment d'inertie par rapporta un axe quelconque, I = MK' son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité, dont la distance au précédent sera représentée par c/, on aura, d'après un principe connu,
l = Mr/»-4-/=M(</*-+-K*),
ce qui indique que le moment dUnertie d*un corpsy par rapport à un axe quelconque, est égal à son moment par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité, augmenté du produit de son volume par le carré de la distance entre les deux axes,
tf résulte en particulier de ce principe que, si la distance dont il s'agit est très-grande, par rapport aux distances des molécules du corps à l'axe passant par son centre de gravité , le moment d'inertie relalif à Taxe quelconque sera sensiblement mesuré par le produit du volume M et du carré dé la distance d du centre de gravité à cet axe.
i33. Considérations relatives aux corps décomposables en tranches minces parallèles et symétriques, — Considérant un corps décomposé en tranches planes parallèles, infiniment minces, dont Tune quelconque a a>
(*) Nous ne considérons dans ce qui suit que des corps bomogènes, ce qui nous permet de prendre l'élément de Tolume pour l'élément de masse, de sorte que, ^=9™, 809 représentant l'accélération de la pesanteur et n le poids de
l'unité de Tolume ou la densité, on derra multiplier par — tous les résultats,
c'est-b-dire la râleur de la somme 2mr', dans laquelle m serait l'élément de Tolume placé à la distance r de l'axe.
aa8 G0018 db MtCARioint.
pour aire et de pour épaisseur, mesurée sur une droite perpendiculaire à ces tranches ; soient p la distance du centre de gravité de cette titnche particulière à un axe de rotation quelconque, et i le moment d'ineitie de laire «> par rapport à un axe parallèle, mené par .ce centre, on aura, d'après ce qui précède, en observant que »><fe,q|tJbn volume et ide son moment d'inertie, par rapport à la parallèle <ttMHQâs^t,
I = ip'wrfc-j- lide\
quanti(jé qu'on obtiendra par une seule intégration, entre les valeurs de e qui appartiennent aux limites du corps, quand «> et i seront connus en fonction de cette même distance e pour une position quelconque de la tranche.
Cette considération sera principalement applicable aux corps décomposables par des sections parallèles égales ou semblables et semblablement placées.
Lorsqu'un corps est engendré par un proOl constant, qui se meut perpendiculairement à une courbe, en même temps que le centre de gravité de l'aire a> de ce proGl décrit les éléments ds de cette courbe, on peut de même décomposer le moment d'inertie du volume infiniment petit we/j, compris entre deux profils consécutifs : i° dans le moment d'inertie p'ci>d[f relatif à Taxe de rotation donné ; a"" dans le moment d'inertie qui se rapporte à une parallèle passant par le centre de gravité de a>. Or, si la distance de ce centre au point qui en est le plus éloigné demeure toujours fort petite, par rapport à sa distance p de l'axe de rotation, et si d'ailleurs les longueurs totales des courbes décrites par ce point et par ce centre sont très-peu différentes , on pourra négliger le dernier de ces moments d'inertie par rapport au premier, de sorte qu'on aura simplement
I = &) I û^ds:
c'est-à-dire que le moment d'inertie du corps sera mesuré, à très-peu près, par le produit de Taire constante de son profil par le moment d'inertie de sa directrice.
Ces considérations sont principalement applicables aux verges droites ou courbes, prismatiques ou cylindriques, dont les profils constant offrent des dimensions très-petites, par rapport à leur étendue et à leur distance de l'axe de rotation.
134. Solides de révolution. — Soient j le rayon et irj' Taire d'une section quelconque faite dans une surface de révolution, perpendiculairement à son axe de figure; dx Tépaisseur de la tranche infiniment mince qui lui correspond, mesurée sur Taxe dont il s'agit, on aura, en prenant
cet axe pour axe de rotation et intégrant entre les limites qui corres* pondent à ses extrémités
et, si Ton prend pour axe de rotation une droite quelconque située, dans un plan perpendiculaire à Taxe de figure, à une distance d de cet axe, on aura, en supposant que Tabscisse x de la section ir/' soit mesurée à partir du plan dont il s'agit,
I = ^ Cy^*f/x -f. TT Çx^y^dx -h Mrf^
quantités qu'on obtient par de simples intégrations, en observant que y est l'ordonnée correspondant à Tabscisse x dans le profil générateur de la surface proposée.
On se rappellera d'ailleurs qu'on a ici , pour calculer le volume M du corps et l'abscisse x, de son centre de gravité à un plan quelconque perpendiculaire à Taxe de figure,
M = ir jx^ttx, J^, = -g- f^ ^dx.
135. Corps pour lesquels il existe un axe de symétrie, — On arrive à des résultats analogues pour les corps qui ont un axe de symétrie et dont les sections perpendiculaires à cet axe sont semblables entre elles ; mais, dans le cas des surfaces de révolution, il arrive de plus que l'axe de figure et toute droite perpendiculaire à cet axe en l'un quelconque de ses points sont des axes» principaux d'inertie, ayant pour moments respectifs les valeurs
- jx^dx, TT I jr*dx-^n j j:^ytlx.
Or il résulte d'un autre principe connu que, en prenant précisément le centre de gravité pour le point dont il s'agit , il devient possible de calculer le moment d'inertie des surfaces de révolution par rapport à un axe entièrement arbitraire.
136. Observation relative aux axes et pleins principaux. — En général, tout plan qui divise un corps en deux parties symétriques est, comme on sait, un plan principal, c'est-à-dire qu'il contient au moins deux des axes principaux de ce corps ; deux plans de symétrie pareils s'entre* coupent donc suivant un axe principal, et trois plans pareils suivant trois axes principaux , qui sont à angles droits , lorsque le corps n'a pas une infinité d'axes principaux, et contiennent nécessairement le centre de gravité du corps, dans le éas de symétrie dont il s'agit.
a3o COUftS DE MÉGANIQUB
137. Expression générale du moment tl*inff0&^par rapport à une droite quelconque passant par l'intersection ddfbJÊs axes prindpaux, — Nommant A , B et C les moments d'inertie par rapport à oes^ois axes principaux rectangulaires, a, 6, 7 les angles qu'ils forment respectivement avec une droite quelconque passant par leur intersection commune, on aura (Mécanique de Poisson, t. II, p. 56), en prenant cette droite pour axe de rotation ,
I = A cos'a -h B cos*6 -+- C cos'7.
Après avoir ainsi rappelé les principales propositions à l'aide desquelles on peut simplifier la recherche des moments d'inertie dans chaque cas, nous passerons à Texposition des résultats concernant divers corps, et que nous nous contenterons simplement d'énoncer, en commençant par ceux qui concernent les lignes ou verges à sections constantes très-petites et les aires ou disques minces.
Moments d'inertie des lignes ou verges à section très-petite.
i38. Ligne droite. — Nommant L la longueur de la ligne droite ou courbe considérée, et i son moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, on a :
Pour le moment d'inertie d'une droite, de longueur L, par rapport à un axe passant par son milieu et formant avec elle l'angle «,
Pour celui de la même droite, par rapport à un axe quelconque parallèle au précédent, et qui est situé à la distance d de son centre,
139. jirc de cercle, — Pour le moment d'inertie d'un arc de cercle de longueur s et de rayon r, par rapport au diamètre passant par l'une de
ses extrémités,
. rV r . \ / = — (s sm 25 ),
ce qui donne pour la circonférence entière
/ = nr^.
Pour celui du même arc, par rapport à un axe parallèle au diamètre dont il s'agit, et qui est situé à une distance a en dessous,
a' H \ s 7- sinajr -+- %ar^(i — coss].
» APPLIQUÉ! AUX MAGBIHIS. ^3l
Lonqae l'axe se trouvera situé du côté de l'arc s, par rapport au diamètre, il foudra changer le signe de a. Ces mêmes formules conduiront d'ailleurs, par de simples additions ou soustractions, à Texpression du moment d'inertie d'un arc de cercle quelconque.
i40. Jrcs doubles de parabole, — Pour le moment d'inertie d'un arc de parabole s, divisé symétriquement par Taxe et ayant la longueur b pour corde ou double ordonnée, et la longueur a pour abscisse, comptée du sommet de la courbe, ce moment étant pris :
i« Par rapport à Taxe a,
%** Par rapport à une droite quelconque, perpendiculaire à a et située à la distance G du sommet de la courbe, vers son intérieur,
. / i ab* i «'^'N . f c I A* a\(A»-f-i6ii>)* ' = V-^3Ïc;?-^35:64?^j^""V«'^35?"3J 64 '
expressions dans lesquelles
s = 1 •ô'-MÔr,' + i ^ log ^4 j -^- j \/irn6â^^ ,
le signe log étant celui des logarithmes népériens.
Lorsque b sera plus petit que |a et c> ja, on pourra se contenter de prendre
Pour la première / = |fl^%
Pour la deuxième i = c' j — - ( 1 ) «%
et 5= 2û -h s- logSr*
Sa ^ 0
i41. jircs simples de parabole, — Prenant la moitié de ces mômes valeurs de i, on aura les moments d'inertie de chacun des demi-arcs de parabole limités au sommet, d'où il sera facile ensuite de conclure le moment d'inertie d'un arc quelconque, par rapport à l'arc de la courbe et à l'ordonnée passant par Tune de ses extrémités, etc.; ajoutant enfin entre eux les moments pris par rapport à deux droites, qui se coupent ainsi à angle droit, on aura le moment d'mertie de l'arc proposé, par rapport à la perpendiculaire à leur plan, passant par leur intersection commune, ce qui est évident.
Par exemple , dans le cas ci-dessus d'un arc de parabole s symétriquement divisé par Taxe de 6gure, le moment d'inertie relatif à la perpendi-
a32 Goums di héginiqvi ^
colaire an pkn de cette parabole, et passant à la distance c de son aoÉnmel, est
^'V"*"3aca» 32.64 c'a^y y'^iùa^) \a Sa a» 3/'
€^ plus simplement
Les mômes remarques s^appliqueot également au cas des lignes droites, des arcs de cercle, etc., et partant, si Ton prend ces différentes courbes pour les directrices d'un profil constant , qui cheminerait le long de ces mêmes courbes, en leur demeurant perpendiculaire en son centre de grayité, puis que, supposant Taire du profil trèfrpetite par rapport aux dimensions des courbes et à leur distance à l'axe de rotation, on les multiplie par les moments d'inertie trouvés par les méthodes qui précèdent, on obtiendra le moment même d*inertie du volume engendré par rapport à Taxe dont il s'agit.
Moments d'inertie des aires planes ou disses minces.
142. Cercle, — En nommant, en général , A Paire considérée et i son moment d'inertie, on a pour le moment d'inertie d'un cercle de rayon r, par rapport à l'un quelconque de ses diamètres,
pour celui d'une couronne circulaire, dont r' et r' sont le plus grand et le plus petit rayon, r^ le rayon moyen, / = r' — r" la largeur, ce moment étant pris également par rapport à un diamètre ,
si l'on peut négliger la fraction 7 — vis-à-vis de l'unité, cette expression
4 ''1 se réduit à
pour celui d'un quart de cercle de rayon r, par rapport à un axe parallèle à l'un de ses rayons extrêmes, et qui en est situé à la distance r,
APPLIQUÉE AUX HACHIHSS. a33
les signes supérieurs appartiennent au cas où Taxe est situé du côté de la concavité du quart de cercle, et les lignes inférieures à celui où il Test du côté de la convexité.
i43. Bilipse. — Pour le moment d'inertie d'une eUipae dont a ei b sont dea demi-axes principaux, on a :
i** Par rapport au diamètre 2a,
2*" Par rapport au diamètre a^,
3" Par rapport à un diamètre quelconque formant Tangle a avec an,
I = |A(a'sin*a -h6'cos*a).
144. Segment de parabole. — Pour le moment d'inertie d'un segment de parabole limité par une corde de longueur 6, perpendiculaire à son axe de symétrie de longueur a^ ce moment étant pris par rapport à Taxe a,
i = ^ab' = J-Xb\
145. Rectanffle, — Pour le moment d'inertie d'un rectangle dont les côtés sont a et 6, on a :
i** Par rapport à Taxe principal , passant par son centre et les milieux des côtés a,
2" Par rapport à l'axe perpendiculaire sur le milieu des côtés b^
• — Il *'•♦ — I î '^ '* 1
3" Par rapport à un axe quelconque, formant l'angle a avec le côté a,
i = -jîyA(rt*sin^a -4- ^'cos*a).
146. Trapèze. — Pour le moment d'inertie d'un trapèze ayant un axe de symétrie de longueur /?, perpendiculaire aux côtés parallèles b et b' :
i" Par rapport à l'axe a,
'■ = " (^') (^' + *" ) = iV A (6' + A") ; a* Par rapport au côté b,
a34 CODAS Dl HÉGANIQUS
Obserratioiui générales.
i47. Moment dUnertie polaire, — Si l'on ajoute entre eux les moments d'inertie d'une môme aire, relatifs à deux axes qui se coupent à angle droit dans son plan, on obtiendra le moment d'inertie de cette aire par rapport à la perpendiculaire élevée à ce plan , au point de la rencontre commune des axes, moment que M. Persy, dans son Cours sur la stabilité des constructions, nomme polaire, attendu qu'il se rapporte aussi à un point du plan pris pour pôle.
Multipliant le moment ainsi obtenu par l'épaisseur du prisme droit, qui aurait pour base l'aire A considérée, on aura l'expression rigoureuse du moment d'inertie du volume de ce prisme.
148. Prismes, — En général, si l'on multiplie les différents moments d^nertie, qui viennent d'être trouvés, par l'épaisseur du prisme ou disque, qui a l'aire proposée pour base, on obtiendra le moment d'inertie môme de ce disque, avec un degré d'approximation d'autant plus grand que cette épaisseur sera plus petite par rapport aux dimensions moyennes de l'aire correspondante.
Dans le cas des figures compliquées, il faudra les partager en d'autres plus simples, en observant que les moments d'inertie s'ajoutent et se retranchent comme les aires elles-mômes.
Enfin, si Ton combine les données de cet article avec celles de l'article qui précède, relatif aux simples lignes, on obtiendra, en vertu du principe du n"" i33, les moments d'inertie des volumes de surfaces engendrées par des profils constants, etc.
Moments d'inertie des corps on volnmes à dimonsiona quelconques.
149. Cylindre à base circulaire. — Pour un cylindre droit à base circulaire dont r est le rayon et a la longueur parallèle à Taxe de figure :
I** Par rapport à cet axe
2"" Par rapport à une droite située dans le plan de Tune des bases, à la distance d de Faxe de figure,
150. Jante ou anneau de révolution, — Pour une jante ou anneau de révolution à section rectangulaire dont / est la largeur parallèle à Taxe, e l'épaisseur dans le sens du rayon, enfin r, le rayon moyen, on a :
ÀPPLIQUtB AUX HACHIHIS. ^35
i"" Par rapport à cet axe
2** Par rapport à une droite quelconque située dans le plan de l'une des bases, à la distance d de Taxe de figure,
Dans le cas de ^ <7r,, on peut négliger le terme en ^ de ces dernières expressions, qui, sous cette forme simplifiée, deviennent en même temps applicables à des anneaux dont la section par Taxe a un profil quelconque, et dont la plus forte épaisseur est également moindre que le i du rayon moyen, c'est-à-dire de la distance du centre de gravité de cette section à l'axe.
i5i . Tronc de cône plein. ~ Pour un tronc de cône plein à bases circulaires dont r et r' sont les rayons, a étant la hauteur ou Fintervalle entre ces bases, r, = j(r-4- r') le rayon moyen et l=r— r' la dilBrence des rayons, on a :
1** Par rapport à Taxe de figure
M =\tta ; — = TTflr: ( ih r )?
r — r' ' \ la rj/
OU approximativement, quand /est <ir,
M = 7reir;, 1 = jM ^i^ i ^) rj;
2f Par rapport à une droite quelconque, située dans le plan de Tune des bases à la distance d de Taxe de figure,
' \ a r' 8or}/ • ^ ' \ ar, lor]/ 3
OU avec une approximation sufiisante quand /est <\r^,
A Taide de ces formules, on trouvera, par de simples soustractionSi celles qui concernent les troncs de c6aes évidés, les anneaux tronconiques, etc.;
a36 GOPtS DE HÉCAHIQUK
à l'égard de ces derniers, on peut d'ailleurs remarquer que le rapport -'
sera le même pour le cône intérieur et le cône extérieur, si ces cônes ont même sommet ; ce qui simplifie beaucoup les calculs dans ce cas.
192. Segment de paraboioïde de révoluiion. — Pour un segmeol de para-
boloïdo de révolution compris entre le sommet et une section circulaire quelconque, de rayon >-, située à la distance a de ce sommet : I* Par rapport à l'axe de figure, •
a* Par rapport à une perpendiculaire quelconque à cet axe, élevée en son centre de gravité situé à la distance | a du sommet,
ATaide de ces formules on trouvera facilement (135, 136 et 137) le moment d'inertie d'un segment de paraboioïde compris entre deux sections quelconques et par rapport à un axe arbitraire donné.
153. Ellipsoïde et sphère. ~ Pour un ellipsoïde quelconque dont /i, 6, c sont les trois axes principaux, par rapport à l'axe a, '
Pour la sphère entière dont r est le rayon, par rapport à un diamètre quelconque,
154. Parallélépipède rectangle. — Pour un parallélépipède rectangle dont a, b, c sont des longueurs d'arêtes :
i" Par rapport à un axe passant par son centre et parallèle aux arêtes c,
2° Par rapport à un axe parallèle à l'arête c, passant par le milieu de la face qui a 6 et c pour côtés,
3* Par rapport à l'arête c elle-même,
155. Cylindres ou prismes droits à base quelconque. — Pour un cylindre ou prisme droit à base quelconque, dont A est Taire des sections constantes et / la longueur :
APPUQOftt AUX HACH1KB8. 187
i"" Par rapport à Taxe k , qui contient tous les centres de grayité de ses sections, et en nommant 1 le moment d'inertie polairS (147) de ces sections,
2° Par rapport à un axe b perpendiculaire au précédent, en son milieu, c'est-à-dire passant par le centre de gravité du corps, / représentant alors le moment d'inertie des sections constantes  du prisme, par rapport à un axe parallèle à 6, passant par leur centre de gravité,^
l=-îV A/* -+-//.
156. Prisme droit à base de trapèze. ~ Pour un prisme droit à bases de trapèze dont 6, b' sont les côtés parallèles, a la hauteur perpendiculaire à la fois sur les milieux de ces côtés, enfin c la distance entre les bases:
i"" Par rapporta la droite qui contient les milieux des arêtes ou côtés
b des bases,
- [b-^b')Vb^-\~b'^ , ,(^^-3^')l 1 = ac ' \-\a^ ^-7 — -T-rL
t!" Par rapport à la droite parallèle à 6 et perpendiculaire à la précédente, en son milieu.
T .TU î/^-^3ô' I c'\ I = iMa' ( -7 — TT H il'
3*" Par rapport à l'axe de symétrie du prisme perpendiculaire aux droites précédentes, en leur intersection commune,
137. Prisme droit à base parabolique, — Pour un prisme droit de hauteur c, dont les bases sont des segments de parabole, limités par une corde de longueur b, perpendiculaire à Taxe de figure et distante de la quantité a du sommet :
I** Par rapport à la droite qui contient les milieux des arôtes ou cordes b des bases,
2? Par rapport à la droite perpendiculaire à la précédente, en son milieu, dans le plan de la corde 6,
^38 OOOIS Dl MÊCàXiQVE
3* Far rapport à l'axe de Byméirie du corps perpendiculaire aux deux droites précédentes, *
158. Observation relative au cas ûà les axes de rotation ne seraient pas perpendictthires à Vaxe défigure, — Ces derniers articles sont principalement relatiAi|j|ni bras des balanciers et des roues, aux côtes ou nervures saillantes qili servent à renforcer ces bras, les arbres tournants, etc.
Or il est à remarquer que bien qu'on ait supposé les axes de rotation perpendiculaires à Taxe de figure, dans le plan même de Tune des bases, néanmoins rien ne sera plus facile que d'obtenir par une simple soustraction ou addition de moments d'inertie ce qui concerne des perpendiculaires situées à une distance quelconque de cette base.
Cette remarque s'applique d'ailleurs à l'article qui suit ainsi qu'à plusieurs de ceux qui précèdent.
i59. Prisme trapézoïde, — Pour le prisme trapézoïde tronqué symétriquement aux deux bouts, représenté en projection verticale et horizontale par les trapèzes ÂBB'Â', CDD'C (fig. 47) coupés symétriquement
Fig. 47.
par l'axe 00' et dont les plans respectifs sont censés se confondre avec ceux qui divisent ce prisme môme en parties symétriques ( * ), on aura, en désignant respectivement par b et b\ c et c' les arêtes parallèles ÂB et Â'B', CD et C'D\ et nommant de plus a la longueur de l'axe de symétrie 00', mesurant l'intervalle entre les deux faces parallèles du prisme :
( *) Ce corps peut être considéré comme une sorte de pyramide à base rectanfpilaire tronquée, mais dont les faces non parallèles et opposées, au lieu de converger à un sommet, se couperaient à des distances quelconques de la base.
APPUQUÉB AUX HAOHIHBS. 289
i" Par rapport à rhorizontale menée par le point 0, paralftlement aux arêtes C et C' et perpendiculaire SHjr Taxe 0(y,
\=z{a'(c'l/-hicb)-i'i^a^cb''^bc')
'à"" Par rapport à la verticale menée par le point 0, parallèlement aux arêtes b et b' et perpendiculaire sur Taxe 00',
I = {ià(c'b''+- icb) -h ^a'(cb'-^ bc')
résultat qui se déduit mjij^cbamp du précédent, à cause de la symétrie. . On a de même, pourrainiler le volume du corps,
M =ia[^(2c-+-c')-+.6'(ac'-+-c)].
160. Simplification des formules précédentes pour les cas ordinaires. — Ces formules, qui se rapportent spécialement à certains bras de roue et aux manches des gros marteaux, peuvent être simplifiées, attendu que, dans le cas d'application, les différences b — b'^c ^c* sont ordinairement d'assez petites fractions des dimensions moyennes 1(6 -^ 6') > i (^ h- c). Posant en effet
\(b^b') = b,, b^b' = nb,, H^-+-^') = ^., ^-c'=/iic„
il viendra, pour les deux cas traités plus haut,
l' 1 = •^A,C,fl*(20— 5/W — 5/1 -f- 2/w«V
-^j7^c^b]a[io(i-^jn^) -t-Smn -t-j/w/i'],
et .;^
M = a 6, f , ( n- -jV/w/i ) ;
-♦-^6,cîfl[2o(i-+-|/ii')-+- 5/it/i H-|/ï/ii*].
On reconnaît que nei m étant plus petits que Tunité, si c^ est une petite fraction de a, la valeur des seconds termes des expressions de I devient complètement négligeable devant celle des premiers.
Applications.
161. Marteaux de forge. — Lorsqu'on aura à calculer les moments d'inertie des pièces qui entrent dans la composition des machineSi il ne s'agira que de rapporter les formes de chacune de leurs parties distinctes
OOUBS'bS HÉGAHIOIII
à qaelqu*uoe de celles qui yiennent de nous occoper, oe qoi se fera, soit en décomposant le corps proposé en divers éléments, soit en y ajoutant oa#a' en retranchant certaines parties dont les moments d'inertie soient faciles à calculer, etc.
Soit, par exemple, le marteau de forge B (Jlg, 48) , fiié^ Textrémilé
Fig. 48.
du manche en bois CB, qui tourne sur les pivots coniques du collier de hurasse  ; on calculera d*abord le volume M et le moment d'inertie I des deux parties du manche, par rapport à Taxe A, au moyen des formules
M = fl6,c,(i-+--ïV/w/i), I = jyA,c,a'(ao— 5m— 5/i-h am«) du numéro précédent, dont les résultats devront être multipliés respec-
tivement par le poids n et la masse - de Tunité de volume du bois, pour
obtenir le poids ot le moment d'inertie véritables des parties du manche dont il s'agit.
On calculera pareillement les valeurs de M et I relatives au collier en fonte  et aux deux cônes de ses pivots par les formules des n^ lëO et 151, qui donnent ici, en nommant r„ e, l le rayon moyen, l'épaisseur et la largeur totales du collier, r le rayon commun des bases des deux cônes, £r, a! leurs hauteurs ou saillies sur ce collier :
Pour le collier, en négligeant j^',
Pour les cônes réunis,
M = i7r(a-+-«')rf, l = iMr».
Quant au marteau en fonte B, on peut l'assimiler à un parallélépipède rectangle dont h serait la hauteur, / la largeur et e* l'épaisseur réduites, qu'on obtiendra approximativement par le tracé de la figure qu sur
àppliquéb aux machines. 241
place même, en menant à vue, sur le plan de sa tète, les parallèles abj cd symétriques par rapport à Taxe vertical BB', .et qui retranchent vers la partie supérieure un peu ptais qu'elles n'ajoutent vers la partie inférieure du profil; nommant d'ailleurs h' et e" la hauteur et la largeur du vide, deid'Xe» distances à l'axe  de son centre de gravité g et de celui G de la (>artie pleine ramenée à la forme parallélépipédique ; posant enfin l'e'h = M', l'e''h'= M", on aura, en vertu des n~ 132 et 154,
ï=:MW»-MV-H-îVM'(/''-*-A»)--jVM'(r-4-A'») •
= yL'[d^^ ji^h'-^-^n) — w{d"-i'^h"-i--^n).
Si l'on veut se contenter d'une simple approximation, on pourra négliger entièrement les termes en A% h'^ et l'^ de cette dernière formule, lesquels ont des valeurs toujours fort petites, par rapport à d* et d'^; prendre pour valeur commune de d* et d'^ celle de d^ qui est la plus forte et répond au milieu de la hauteur h du marteau ; enfin négliger la faible influence des tourillons de la hurasse, ce qui conduira à des formules d'un caltful très-facile, surtout si Ton connaît a priori le poids des diverses parties.
162. Roues d^engrenages. — Considérant encore la roue en fonte B, dont les bras sont formés de croisillons trapézoïdes parallèles et perpendiculaires à l'axe AÂ', on supposera, pour la simplicité, ces bras prolongés, d'une part, jusqu'à »€et axe, de l'autre, jusqu'à la circonférence moyenne (i50) de la cooMone, etl'on négligera, en conséquence, la portion du noyau comprise iwe ces bras, dont l'influence est d'ailleurs peu sensible; cela posé, nommant
R le rayon moyen de la couronne, allant de Taxe au centre de gravité de son profil ;
E son épaisseur réduite et / sa largeur ;
B et B' les largeurs à la base et au sommet des nervures dirigées suivant l'axe AA';
b et b' celles des nervures perpendiculaires (ces diverses dimensions doivent être comptées de manière à ne comprendre qu'une fois, dans le calcul, la partie commune aux deux systèmes de nervures);
e leur épaisseur commune ;
II = 7200 kilogrammes le poids du mètre cube de fonte ;
/ le nombre des bras ;
— - — j , tt = ffR f — —A f W = awRE/ les volumes respectifs dft nervures qui composent un même bras et celui de la couronne,
242 CODAS DB HÉCàHIQUB
on aura, d'après les n*" 150 et i5S, et en négligeant les termes qui contiennent les carrés dea rapports des épiûsseurs « et E à R, pour le moment dMnertie total et approché de la l^ue.
Si, comme il arrive pour les volants des machines, R est très-grand par rapport à b^ h\ tandis que B et 6 surpassent B' et 6' au plus de {, on pourra prendre, approximativement ou à ^ près,
Enfin on négligera ô'-h h*^ vis-à-vis de R*, ce qui donnera, sans erreur appréciable,
I = !î(W-+-o,3a5U,)RS
U, représentant le volume total et nU, le poids correspondant des bras et de leurs nervures.
163. Considérant, pour dernier exemple, le balancier représentée^. 24, p. 143, dont les bras sont composés dd. jjjbMis ^segments de parabole, égaux et symétriques par rapport à l'ind^BfriBy^ ^n ^^ Qui sont renforcés , à leur pourtour et le long de l*^9k9|@P0tyi., par des côtés ou nervures saillantes, désignons.par
R la longueur commune des bras ou segments paraboliques; B leur corde commune passant par le centre ; E l'épaisseur de leurs parties planes;
a Taire constante du profil des nervures garaboliqoes extérieures; a' Taire du profil des nervures de Taxe horizontal du balancier; P le poids total du balancier ; I le moment d'inertie totale de la masse ;
1/, u\ k',. . . les volumes approximatifs des bourrelets et nervures qui soutiennent les tourillons d'articulation du parallélogramme et de la bielle ; D, D', D*,. . . les distances respectives de ces tourillons à Taxe de rotation ; n = 7200 kilogrammes le poids du mètre cube de fonte ; S le demi-contour du profil extérieur.
D'après cela, on aura approximativement, en vertu des n**i40, 152, 154, et en observant que B est ici plus petit que jR et que les dimensions des profils transversaux des nervures peuvent être généralement n^ligées vis-
à-vis de leurs distances à Taxe de rotation (i41),
On remarquera que les longueurs H, S et. J se rapportent au centre de gravité du profil des nervures extérieureif et que les aires a et a' ne comportent pas les parties qui appartiennent au disque plan du balancier. D'ailleurs, si, au lieu d*ôtre constantes, comme cela se fait d'ordinaire pour la simplicité des constructions, ces aires allaient en augmentant de rextréroilé des bra^^ vers Taxe de rotation, suivant la forme parabolique réclamée par la théorie des solides d'égale résistance, le calcul du moment d'inertie du balancier se ferait d'une manière tout aussi facile en considérant sa masse comme décomposée en ses différents prismes de vide ou de plein, ayant tous pour bases des segments paraboliques de même axe et de même sommet.
