I. — Considérations préliminaires

1. Décomposition des machines complexes en machines simples. — En parlant de rétablissement des machines en général (kk. Section I), nous avons donné une idée succincte de la manière dont on procède au calcul de la force motrice qui doit vaincre toutes les résistances réunies : on considère séparément chaque pièce distincte et mobile du système comme une machine simple, soumise elle-même à une puissance et à des résistances qui se font équilibre à tous les instants, ou dont la somme des travaux élémentaires est constamment égale à zéro. La force motrice et la résistance utile appliquées à chacune d'elles n'étant autre chose, en effet, que les efforts de réaction que cette pièce éprouve de la part de celle qui la précède immédiatement, du côté du moteur, ou de celle qui

la suit immédiatement du côté de l'opérateur, on conçoit .:« comment, à l'aide des règles ordinaires de la Statique, on ^ peut parvenir à calculer, de proche en proche, en partant de l'une quelconque des pièces extrêmes de la machine, la valeur des différentes forces, passives ou actives, qui la sollicitent à un instant donné, en fonction, soit de la pression motrice du récepteur, soit de la résistance utile de l'opérateur; et, par suite, comment on peut aussi calculer^ pour chacune de ces forces, la quantité de travail, positive ou négative, qu'elle livre à la machine dans chaque élément du temps, ou entre deux positions quelconques données.

2. Objet spécial de cette Section. — Ces calculs présentent généralement de très-grandes difficultés, toutes les fois que

24^ GOUftS DE MÉCàNIQIJB ^

les vitesses et les forces varient, en intensité et en direction, suivant des lois quelconques dans les diverses positit^ns des pièces ou machines simples à considérer; et c'est ce qui arrive notamment pour les pièces douées d'un mouvement d'oscillation plus ou moins compliqué et excentrique; mais nous avons vu que, dans la plupart des cas que présentent les machines, les choses sont disposées de façon que les vitesses virtuelles ou géométriques des différents points et celles des forces tant actives que passives demeurent dans des rapports sensiblement invariables, aussi bien que les intensités propres de ces forces et leurs quantités de travail élémentaires ou totales; ce qui permet alors d'établir, entre ces forces et ces quantités de travail, des relations indépendantes de la position du système, et qui fournissent sur-le-champ les moyens de calculer les valeurs de celles qui sont inconnues en fonction de toutes les autres. Or ce sont principalement les machines, ou éléments de machines organisés ainsi que nous nous proposons d'examiner dans la présente Section, en renvoyant à la suivante pour tout ce qui concerne les cas où les vitesses virtuelles et effectives, la direction et l'intensité des forces, seraient susceptibles de varier, suivant des lois plus ou moins compliquées.

.3. Nature des machines simples qui seront considérées dans ^i cette Section, et hypothèses d'après lesquelles on les soumettra '\S- au calcul. — Les poulies, les différents tours ou treuils, le jpbsn incliné, la vis, etc., qui constituent ce qu'on nomme propi^ément les machines simples, appartiennent évidemment à la classe des organes dont nous avons ici à nous occuper, et qu'on pourrait définir simplement en disant que le mouvement uniforme y est rigoureusement possible sous l'action des forces considérées. C'est, en effet, dans la supposition d'un tel mouvement, et même dans celle du repos absolu ou statique, qu'on envisage ordinairement leur théorie dans les traités de Mécanique, en faisant totalement abstraction des forces d'inertie qui peuvent être appliquées à leurs divers éléments matériels , et c'est aussi dans cette hypothèse que nous nous proposons d'abord de les soumettre au calcul; mais

▲PPUQOÉB AUX KàCHllIBS. ^i^

il ne faudra pas pour cela oublier, dans les applications, que les forces d*inertie, et notamment les forces centrifuges, peuvent jouer un rôle dans certains cas(l<i', Section I), en faisant varier les pressions et les tensions, d*oii naissent en général les résistances passives des machines.

Du reste, tout en renvoyant, pour ce qui concerne les effets de rinertie et de la variabilité de l'action des forces, aux principes qui seront exposés dans la Section suivante, nous ferons, dès àprésent, remarquer, dans la vue de faciliter les applications, que ces effets sont absolument négligeables dans les cas suivants : i*» quand le mouvement s'opère avec lenteur, ainsi qu'il arrive , par exemple , dans les machines employées à soulever ou à traîner de très-lourds fardeaux; 2^» quand le mouvement, quoique très-rapide, n'éprouve que des variations insensibles et que les masses des parties matérielles sont distribuées uniformément autour des axes de rotation, ce qui est également le cas d'un grand nombre de machines de l'industrie; S"" enfm quand les puissances et les résistances actives, appliquées à chaque pièce simple de la machine, agissent d'une manière sensiblement constante ou telle qu'on puisse, sans inconvénient, remplacer dans les calculs leurs actions variables par celles des forces (9, Section I) qui auraient pour intensité constante ce que nous avons nommé leur valeur moyenne.

4. Idée générale de la manière dont on procède au calcul des résistances passives et de leurs quantités de traitait. — Maintenant, pour concevoir comment peut s'effectuer, en général, le calcul des résistances passives ou nuisibles, pour les pièces soumises ainsi à des actions constantes et à un mouvement uniforme, on remarquera que toute la difficulté est réduite à déterminer, pour une position assignée du système, les efforts de pression ou de tension qui s'exercent aux points de contact des parties en mouvement et donnent naissance aux résistances passives; nous verrons en effet, dans le Chapitre suivant, que les expériences ont appris à calculer ces résistances au moyen des efforts qui les occasionnent. La méthode générale consiste, comme on sait, à supposer le sys-

248 GOUM BX HÉGJLiaQUX

tème entièrement libre et à introduire les efforts dont il s'agit ainsi que les résistances qui en résultent, comme des indéterminées parmi les autres forces du système; mais cette méthode générale conduit souvent à des complications de calculs très-grandes, et elle peut alors être avantageusement remplacée par d'autres plus directes dans chaque cas particulier.

Par exemple, si Ton veut se borner à une première approximation, on pourra calculer les effets dont il est question dans rhypothèse où il n'y aurait aucune résistance passive; cela sera souvent facile par les règles ordinaires de la composition et de la décomposition des forces, et en supposant qu'on ait préalablement déterminé la valeur de la puissance P qui met en équilibre la résistance active Q» seules forces qui, avec le poids des pièces, sont censées agir sur la machine. On obtiendra ainsi une valeur approchée, mais un peu faible, des efforts qui produisent les résistances passives et par. suite de ces résistances elles-mêmes; multipliant ces dernières par les chemins élémentaires que parcourent leurs points d'application dans leur direction propre, qui est censée invariable, aussi bien que leur intensité; faisant ensuite la somme de tous les produits semblables, on aura une première valeur approchée de la quantité de travail absorbée par les résistances passives, dans l'intervalle dont il s'agit; ajoutant enfm cette somme à la quantité de travail que développe, dans le même intervalle , la résistance active Q qui est censée connue , on aura celle que doit dépenser P. Quant à la valeur même de P, qui est censée constante en grandeur et en direction, on l'obtiendra, soit en divisant le résultat trouvé par le chemin que parcourt son point d'application, dans l'intervalle de temps que l'on considère et dans la direction de P, soit, ce qui est plus général, en cherchant directement la force qui fait à la

fois équilibre à Q et aux diverses résistances passives déjà calculées. Si cette première approximation apprenait, d'ailleurs, que les résistances passives exercent une influence assez grande, il serait à propos de recommencer les calculs, en substituant la nouvelle valeur de P à l'ancienne; mais, comme les résistances passives sont en général très-faibles.

APPUQUÉB AUX HACHINB8. 249

on obtiendra souvent, dès la première opération, une approximation suffisante pour les besoins de la pratique.

5. Cas où l'action des forces est variable avec la position du système, — On voit, par cet aperçu, que, si la puissance et les diverses résistances, au lieu d'être constantes en direction et en intensité, comme on vient de le supposer, étaient susceptibles de varier d'une manière sensible, selon les positions successives du système , on se trouverait obligé de calculer leur valeur et celle de leur quantité de travail élémentaire, pour chacune de ces positions, afin de pouvoir en déduire ensuite les quantités de travail totales qu'elles développent entre deux instants donnés, ce qui réclamerait le secours du Calcul intégral ou des méthodes d'approximation dont il a été question au r\^ 9 de la Section I, méthodes qui ont l'avantage particulier de ne pas exiger que l'on connaisse la loi ou l'expression analytique de chaque force en fonction du chemin décrit par son point d'application. Mais on évite, dans beaucoup de cas, ces difficultés, en remplaçant les résistances variables par leurs valeurs moyennes, calculées une fois pour toutes, ainsi que nous en verrons des exemples dans la Section suivante, spécialement consacrée à l'examen des systèmes soumis à des mouvements et à des actions variables.

Je pense que, d'après ces développements, on n'éprouvera aucune difficulté à saisir le but des applications qui suivent, et qu'on sera parfaitement en état d'en mettre à profit les résultats lorsqu'il s'agira de calculer, dans chaque cas particulier, les quantités de travail utile transmises à l'opérateur d'une machine par une force motrice donnée, ou celles qu'il est nécessaire de dépenser, sur son récepteur, pour produire un effet utile déterminé. Du reste, nous ferons observer que les seules résistances passives dont nous ayons ici à nous occuper sont les frottements de diverses espèces, l'adhérertce et la roideur des cordages, attendu que la résistance des milieux peut être négligée quand le fluide est l'air et que les surfaces et les vitesses ne sont pas très-considérables, ce qui est le cas de presque toutes les applications.

a48 COURg BX HÉCJLiaQUB

Par exemple, si Ton veut se borner à une première approximation, on pourra calculer les effets dont il est question dans rhypothèse où il n'y aurait aucune résistance passive; cela sera souvent facile par les règles ordinaires de la composition et de la décomposition des forces, et en supposant qu'on ait préalablement déterminé la valeur de la puissance P qui met en équilibre la résistance active Q» seules forces qui, avec le poids des pièces, sont censées agir sur la machine. On obtiendra ainsi une valeur approchée, mais un peu faible, des efforts qui produisent les résistances passives et par. suite de ces résistances elles-mêmes; multipliant ces dernières par les chemins élémentaires que parcourent leurs points d'application dans leur direction propre, qui est censée invariable, aussi bien que leur intensité; faisant ensuite la somme de tous les produits semblables, on aura une première valeur approchée de la quantité de travail absorbée par les résistances passives, dans l'intervalle dont il s'agit; ajoutant enOn cette somme à la quantité de travail que développe, dans le même intervalle , la résistance active Q qui est censée connue , on aura celle que doit dépenser P. Quant à la valeur même de P, qui est censée constante en grandeur et en direction, on l'obtiendra, soit en divisant le résultat trouvé par le chemin que parcourt son point d'application, dans l'intervalle de temps que l'on considère et dans la direction de P, soit, ce qui est plus général, en cherchant directement la force qui fait à la fois équilibre à Q et aux diverses résistances passives déjà calculées. Si cette première approximation apprenait, d'ailleurs, que les résistances passives exercent une influence assez grande, il serait à propos de recommencer les calculs, en substituant la nouvelle valeur de P à l'ancienne; mais, comme les résistances passives sont en général très-faibles.

APPLIQUÉS AUX HAGHIlfBS. 249

on obtiendra souvent, dès la première opération, une approximation suffisante pour les besoins de la pratique.

5. Cas où l'action des forces est variable avec la position du système, — On voit, par cet aperçu, que, si la puissance et les diverses résistances, au lieu d'être constantes en direction et en intensité, comme on vient de le supposer, étaient susceptibles de varier d'une manière sensible, selon les positions successives du système , on se trouverait obligé de calculer leur valeur et celle de leur quantité de travail élémentaire, pour chacune de ces positions, afin de pouvoir en déduire ensuite les quantités de travail totales qu'elles développent entre deux instants donnés, ce qui réclamerait le secours du Calcul intégral ou des méthodes d'approximation dont il a été question au n® 9 de la Section I, méthodes qui ont l'avantage particulier de ne pas exiger que l'on connaisse la loi ou l'expression analytique de chaque force en fonction du chemin décrit par son point d'application. Mais on évite, dans beaucoup de cas, ces difficultés, en remplaçant les résistances variables par leurs valeurs moyennes, calculées une fois pour toutes, ainsi que nous en verrons des exemples dans la Section suivante, spécialement consacrée à l'examen des systèmes soumis à des mouvements et à des actions variables.

252 GOUM DE HÉCAlflQUB

en contact, le rouleaO et le plan s'imprimeront, s'engageront l'un dans l'autre; et, si l'on suppose une puissance horizontale F, appliquée tangentiellement à la partie supérieure T de la circonférence du rouleau , elle aura à vaincre la résistance opposée par les aspérités ou saillies quelcon(fues situées en ab, du côté où s'opère le mouvement de roulement sur le plan AB, et dont l'effet consiste a repousser le rouleau normalement à »^ la surface de contact ab, c'est-à-dire suivant des directions

passant par le centre C. La rotation instantanée du cylindre tendant d'ailleurs à se faire autour du point de contact a , on conçoit comment l'équilibre s'établit à chaque instant, enlre la force F et les différentes forces de répulsion dont il s'agit, en ayant égard à leurs bras de levier respectifs, par rapport à ce point.

On possède très-peu d'expériences sur la résistance des corps au roulement ; elles sont principalement dues à Coulomb, qui les a faites incideniellement à l'occasion de ses belles recherches sur la roideur des cordes, dont les résultats seront rapportés plus loin. Ayant fait mouvoir, sur une surface plane en chêne, des rouleaux de bois de gaTac de 2 et de 6 pouces de diamètre, sous des pressions de 100 à 1000 livres, il a été conduit à admettre que la valeur de la puissance F était sensiblement proportionnelle à la pression P et inverse du diamètre des rouleaux; de sorte qu'on a

D étant ce diamètre et A un coefficient constant qui ne varie

qu'avec la nature des substances en contact (*}.

Quant à la valeur de cette constante. Coulomb Ta trouvée

égale à

o,o36 pour le rouleau de bois de gaïac,

0,06 pour le rouleau de bois d'orme,

(' ) Théorie du frottement de roulement, d'après les expériences de Dupuit. — La théorie du roulement reproduite dans le texte a été donnée par l'auteur, dans l'édition de i832. Plus tard, en 1837, Dupuit fut conduit {Essais et expériences sur le tirage des voitures ) à modifier en partie la loi indiquée par Coulomb. Nous croyons devoir reproduire ici les principes qui permettront d'ap-

APPLIQUtB AUX KAGHIin». l5l

Enfin ces résultats démontrent avec évidence Tutilité des ap'

pareils destinés a renouveler et à répandre sans cesse l'enduit

sur les surfaces frottantes; dans ces conditions, le rapport du

frottement à la pression, avec les mêmes enduits que ci-dessus,

s'abaisse jusqu'à

A laide de ces résultats il nous sera facile, dans chaque cas, de déterminer l'intensité des frottements, lorsque nous connaîtrons la pression supportée par les surfaces en contact.

Quant au frottement qui provient du roulement des corps et qu'on nomme frottement de la seconde espèce y on sait qu'il est ordinairement négligeable vis-à-vis du premier, et qu'on peut en faire entièrement abstraction dans la plupart des calculs relatifs aux corps solides et durs qui entrent dans la composition des machines; cependant, comme il peut jouer uorw^ essentiel dans certaines circonstances, nous allons relater le petit nombre de données d'expériences que Ton possède sur ce sujet.

Résistance due an roulement des corps.

7. Notions et résultats d*expériences sur le frottement de roulement.^ SoitC(yîg^. 49) un rouleau cylindrique pose sur

^N\^V SSS\\\\\V\^ !g^???\^V\\\Vs\v\Vxs

un plan de niveau AB et soumis à une pression verticale P, provenant tant du poids du rouleau que d'une force étrangère quelconque; en vertu de cette pression, de la contexture et de la compressibilité plus ou moins grande des substances

a54 GOUftS BX MtCAKlQUB

de levier de la puissance F, par rapport au contact a du rouleau et du pian AB, bras de levier qui peut être quelconque; si Ton suppose que celte puissance agisse tangentiellement à la circonférence d'un cylindre concentrique ou connaxique au proposé, et ayant lui-même un diamètre quelconque, la résistance agit réellement au point a, en sens contraire du chemin décrit par ce point, le long de AB, de sorte que, sa vitesse virtuelle n'étant que la moitié de celle de F, son intensité doit ausll être censée le double de ce que donnent les formules dont il s'agit.

Pour mettre ces circonstances dans tout leur jour, 11 sufGt d'observer que la puissance F (Jig. 5i), appliquée tangentiellement à la circonférence du rouleau, décrit un chemin qui se compose à la fois de celui TT, = a^i, qui a été parcouru par les points de contact T et a, et de l'arc TT'=aa% qui s'est en quelque sorte déroulé en ces points, arc égal au che« min dont il s'agit; cela paraîtra complètement évident d'ailleurs, si Ton suppose que F agisse par l'intermédiaire d'un fil très-délié, enroulé sur le cylindre de F vers T'. Or il en résulte que, si Ton nomoq^/ la valeur absolue de l'effort tangentiel, quel qu'il soit,^i s'exerce en a pour s'opposer au

d'après Coulomb i resterait constant quel que fût le rayon, ce qui ne parait pas possible a priori^ puisque $ doit toujours être plus petit que r. Voici quelques chiffres résultant des expériences de Dupuit:

Bois roulant sur bois. .»...' ^ = 0,0011 ^r,

Fer roulant sur boia kiiiilde S — 0,0010 ^,

Fer roulant sur fer. , . . • .^ S = 0,0007 V'^*

Roues sur chaussées empierrées ^ = 0|03 ^.

Les expériences de M. Morin ne confirment pas ces rélbltats, et tendent à démontrer que la loi de Coulomb est plus approchée de la vérité, dans les caa ordinaires de la pratique; d'après M. Morin, ^ devrafi en outre augmenter quand la longueur de contact géométrique diminue.

On admet généralement que, lorsque le cylindre est sollicité en même temps par des forces verticales dont la résultante passe par l'axe, et par des forces horizontales, la résultante, qui est alors oblique, passe aussi par le point A' situé à la distance i en avant 4« A, 9 ayant la même valeur que dans le cas examiné plus haut. (K.)

APFLIQDkB Im KÀCHllm.- zSS

mouvemenl de iraoslaiion du rouleau, </« l'élément de chemin que décrit unif^rinénient son point d'applicailon, dans le sens

Mb- 5i

de,-4iB» n quantité de travail élémenUire étant mesurée par /ftfC^le de F le sera par ¥.ide,Ae sorte qu'on aura (t5)

fde = -iFde' ou /=2F = aA^.

Telle est donc la valeur absolue qu'on doit attribuer à la ré-

'.^. sistance, abstraction Taite du point auquel est appliquée la

40'Ç'paissance F? qui doit la vaincre dans l'hypothèse du mouve-

■'inent uniforme. Si F, par exemple, agit tangeniiellenient au

point X, iui aura

si elle agit tangentiellement à une circonTérence concentrlqae à celle du rouleau et de diamètre d, on aura, en observant que Mai chemin élémenuire est à celui d.e/^ns le rapport de rf -»- » »D,

valeur qui devient, quand d = o ou que la puissance agit directement en C,

directement en C,

ce qui est évident a priori.

Enfin si F, au lieu d'agir tangentiellement à un certain cercle concentrique au rouleau, en des points variables de la

a56 GOUES DB KÉCiidQUB

circonférence de ce cercle, était constamment appliquée en un menue pointy dans une direction d'ailleurs arbitraire, son expression serait très-différente de celle que nous venons de lui assigner, et uniquement relative au rapport de sa vitesse virtuelle à celle de / ou du point a.

Quant au cas où le rouleau aurait une fomfè cylindrique distincte de la forme circulaire, il est évident que la résistance absolue au roulement serait encore exprimée par la formule

pourvu qu'on prît pour P la pressitfPiiormale résultant de toutes les forces appliquées à ce cylindre, dans la position qu'on lui attribue à un certain instant, et que D fût pris égal au diamètre du cercle osculateur relatif au point de contact correspondant à cette même position. On trouverait évidemment, d'une manière analogue, l'expression du frottement de roulement dans le cas des surfaces convexes de forme continue quelconque; mais nous ne pousserons pas plus loin ces considérations purement théoriques, et qui seraient sans uti-lité réelle dans l'état actuel de nos connaissances expérimentales.

9. Usage du roulement pour faciliter le transport des far " deaux. — M. Régnier, ancien conservateur du Dépôt central de l'Artillerie, ^a fait, avec son dynamomètre ('), une expérience sur l'emploi des rouleaux circulaires pour traîner des charges sur un pavé horizontal. Ayant d'abord Mt glisser directement sur ce pavé une caisse en bois chargée d'un poids de 240 kilogrammes, il a trouvé que l'effort à exercer, dans le sens du chemin décrit, était de i4o kilogrammes. Ayantensuite placé cette même caisse sur des rouleaux de o°',o86 de diamètre, il a trouvé que, sous la même charge, l'effort à exercer n'était plus que de 25 kilogrammes, ou environ | seulement du précédent; mais comme il y avait à la fois roulement sur la

(') Journal de l'Ecole Polytechnique, V* Gabier, p. 171.

APPLIQUÉS AUX MAGHIIfIS. 257

caisse et sur le pavé, on n'en peut rien conclure relativement à la Valeur qui doit être attribuée séparément à chacune des résistances qui naissent de, ce roulement.

Ces expériences servent dciic uniquement à prouver les avantages que peut offrir l'emploi des rouleaux dans les constructions publiques 9 avantages qui doivent se reproduire quand on substitue des sphères, par exemple des boulets de fonte, aux rouleaux, comme on l'a fait lors du transport à Saint-Pétersbourg de l'énorme rocher de granit qui sert de piédesul à la statue de Pierre le Grand ('). On sait que, pour effectuer ce transport, on fut obligé de construire, sous les galets, des chemins à ornières en fonte, établis sur des massifs de maçonnerie, et de revêtir d'ornières parallèles le dessous des brancards du traîneau qui supportait le rocher; mais, comme ces moyens n'auraient pas suffi en eux-mêmes pour rendre le transport possible à l'aide du tirage direct des hoilunes et des animaux, on se servit, pour augmenter leur action, d'un certain nombre de cabestans amarrés à des pieux fichés en terre de dislance en distance, cabestans dont nous donnerons un peu plus loin la théorie, d'après Coulomb, en ayant égard au frottement et à la roideur des cordes.

10. Observaticéàsiuila manière d'évaluer la résistance de ce transport. ^ Xdà^tpvan fardeau est ainsi transporté sur des rouleaux, il pareio^urt nécessairement un chemin double de celui que décrit leur centre, et c'est ce qui oblige de reporter fréquemment les rouleaux de l'arrière à l'avant du traîneau qui supporte la charge. Cette opération occasionne une certaine perle de temps et de travail, qui n'a pas lieu dans le transport par voilure, où la puissance estimmédiatement appliquée a l'axe ou essieu de chaque roue; mais alors cette perte est remplacée par celle qui provient du frottement des essieux, et que nous enseignerons bientôt à calculer. Quant à la manière d'évaluer la résistance totale, dans le cas qui nous occupe, elle se conclut immédiatement des observations qui précèdent.

(*) Jrt de bâtir, par Rondelet: Transporc des fardeaux.

358 fODua Di MficAmQBs

Il estclalr, en effet, que, «^ un cojps P(^g. 52] est supporté sur un ou deux rouleaux pw une bcë planeeltiorizonulaDE,

la force F qu'il est nécessaire d'appliquer dans le sens de celle face, pour vaincre it la fois sa résistance au roulement et celle du pltm borizpnial inférieur Afi, devra £lre exprimée par

/' étant la valeur absolue de la résistance tangenlielle qui se

déveWppe en T et T', A.' le coeflicien't relatif aux substances en contact en ces

points.

Pour s'en convaiacre directement, iTsuffit d'observer que, e étant l'élément du chemin décrit, dans un ceruih instant, par les centres des rouleaux, on devra nécessairement avoir, dans la supposition du mouvement uniforme,

attendu que l'arc développé en T est simplement égal à celui qui l'est en a, tandis que )e chemin décrit simultanément par le point d'application de F est le double de cet arc. Supposant, par exemple, que, dans l'expérience citée de M. Régnier (9), les rouleaux fussent de bois d'orme et la cdisse de chêne, on aurait, d'après Coulomb (7),

A'^ 0,00163; d'ailleurs

P = 34o^«, D = o",o36, F=sa5'";

àppuquIe adx MACHiitis. iSg

substituant ces valeurs àané la première des équations cidessus, OR en déduir^

valeur cinq fois plus forte qve celle de A'; ce qui n'a rien d'éionnaat, puisque A se rapj^ôrte & Ja résistance d'un pavé qui pouvait contenir des inégalités ou obstacles considérables.

De la rotdeoT dea-cMdâ'flt de8 eonrroiea.

11. Notions el foimulatfMur la réiitUmce provenant de la raideur des cordes. — Lorsqu'une corde PABQ (^g. 53) est

développée sur un rouleau ou sur une poulie mobile autour de l'axe G, et qu'elle se trouve tendue, k l'une de ses extrémités, par un poids Q, que doit mettre en équilibre ou faire mouvoir une puissance P agissant à l'autrf), on observe que la partie BQ, du côté de la résistance, sollicitée par la roideur, s'écarte de la direction propre de l'effort Q, de sorte que le bras de levier de cet effort est augmenté. La partie AP de la corde qui répond à la puissance P paraît, au contraire, conserver une direction qui se confond avec celle de cette puissance, attendu que le ressort de la corde tend pluldt à hvo-

26o COUBS DB MfiCANlQUB

riser le déroulement qu'à Tempêcher, et il en résulte qu Tenroulemeni en B produit seul Texc^ de résistance qu'a vaincre la puissance P.

S'il n'y avait pas de roideur, lepoids P serait égal à Q; nnais à cause de la roideur, P doit être augmenté d'une certain quantité, que Coulomb, d'après le résultat de ses expériences a trouvée être sensiblement indépendante de la vitesse di mouvement, et dont, pour les cordes ordinaires, il représent la valeur par la forméie suivante :

dans laquelle d eiJ) sont les diamètres respectifs de la cord et de la poulie, exprimés en mètres; Q la tension de la parti de cette corde qu^subit l'enroulement en B, tension qui es censée donnée en kilogrammes; a un poids constant qui s rapporte à la roideur «naturelle de la corde, et qui provient d degré plus ou moins grand de tension ou de torsion des fil simples dont elle se compose ('); b un nombre égalemer constant et uniquement relatif à l'augmentation de roideu due à la tension étrangère Q; enfin fx un autre nombre qi varie essentiellement avec l'état de la corde.

Pour les cordes blanches ordinaires, [i se trouve compri entre i et 2, selon le degré plus ou moins grand d'user ou d nexibilité naturelle : on a //. = 2 pour les grosses corde neuves, [m = i, 5^} pour les cordes plus qu'à demi usées enfin /:x = i pour les ficelles lrès-petites*bl très-flexibles.

Pour les cordes goudronnées, il est plus exact de rempla cer df" par le nombre n des fils de caret dont elles se com posent; la formule devient ainsi simplement

(*) Les cordes se composent de trois torons ou cordes moins grosse entrelacées et tordues; les torons sont formés d'un certain nombre do ficell ou brins qu'on nomme^^ de caret.

« * APPUQUÉB AUX MACHIKBS. a6l

et la résistance ne varie plus sensiblement avec le deg^é d'user des cordas.

12. Résultat des expériences de Coulomb. — Les résultats des expériences que Coulomb a faites pour déterminer les valeurs des quantités d^a ou na, d^h ou nby dont la première exprime la roideur constante d'une corde d'espèce et de diamètre donnés, et la seconde sa roideur par kilogramme de la charge ou tension Q, se trouvent consignés dans le tableau ci-après, que nous empruntons à Navier, Architecture hjr^ draulique de Bélidor, nouvelle édition^ page 178, Note {bb^).

Tableau des poids nécessaires pour plier différentes cordes autour d'un arbre de 1 mètre de diamètre (').

ROIDBUR