D1CATI0N DES CORDES

dei cordes

det cordai

constante

kllofraDme

par mètre de longueur.

=zd^a.

de eharf e

Cordes blanches de 3o fils de caret.

Cordes blanches de i5 fils de caret.

o,oi44

o,o63ji4

o,oo55i8.}

Cordes blanches de 6 fils de caret.

o,oo88

o,oo338o{

Cordes goudronnées de 3o fils

o,oia56i4

Cordes goudronnées de i5 fils

o,oi68

Cordes goudronnées de 6 fils

o.oo«%|68 T

Nota. •— Pour les cordes blanches mouillées, de o*°, 03 et au-deasoft^lklfell prendre pour dV'a le double des nombres portés au tableau. La valeuf de ^f» augmente un peu aussi pour les cordes goudronnées, quand la températurev^ au-dessous de zéro; enfin elle est un peu moindre pour les cordes qui viennent d'être récemment pliées sur une poulie, ce qui prottre qu'il faut Un certain temps pour que la roideur atteigne sa limite et que, si les cordes passent sur des poulies consécutiTes, leur résistance est au-dessous de celle que leur assigne lô tableau ci-dessus. On diminue d'ailleurs beaucoup la roideur des cordages en les imprégnant d'un corps gras ou en les frottant avec du savon.

(^) Les cordes employées par Coulomb étaient neuves, composées de 3 terrons dont lesiils, par suite de la torsion, avaient été réduits dans la fabrication au tiers de leur longueur primitive; les expériences ont donné, pour ces cordes.

202 C0UE8 DB HÉGÀlfIQIIB 4 ^

13. Manière d'appliquer ces résultats au calcul de la roi-deur des cordes, ^ Lorsqu'il s'agit d'évaluer la roideur d'une corde donnée au moyen du tableau, on y choisit une cordé quiy par sa constitution et sa grosseur, s'éloigne le moins possible de celle-là; on substitue les valeurs de d^a, d^b qui lui

correspondent, dans la formule -^ {dy-a h- rf»*6Q), en y remplaçant D et Q par les valeurs qui conviennent au cas actuel ; ce qui revient, comme on voit, à calculer la roideur ^ la corde du tableau, supposée enroulée sur le même tambour, et sollicitée par le même poids Q. %

Cela posé, d' étant le diamètre de la corde à calculer,

'|r-(fl-f-6Q) sera sa roideur, puisque a, 6, Q et D ont les-

mêmes valeurs que ci- dessus; donc il suffira de multiplier le résultat obtenu pour la corde du tableau par le rapport

9 en prenant pour /jl un nombre relatif au degré

d'user de la corde (*), conformément à ce qui a été prescrit

ci-dessus.

Pour les cordes goudronnées, il faudra multiplier le même

fil résultat par le rapport — du nombre des fils de caret des deux

cordes.

14. De la force absolue et du poids des cordages ('). — Afin de ne rien omettre d'essentiel de ce qui concerne les cordes.

^ = 1,^5 moyennement; pour des cordes presque hors d'état de servir, Coulomb a trouvé /a = i,4o> Les nombres adoptés ci-dessus sont un peu plus forts, ce qui tend à augmenter l'estimation de la roideur et n'a aucun inconvénient pour l'usage qu'il s'agit d'en faiic dans la pratique {-voir la Théorie des ma* chines simples de Coulomb, Mémoires des Savants étrangers^ t. X).

(*) D'après la Note qui précède, il faudrait, pour une plus grande exactitude,

multiplier le résultat obtenu par le rapport ^i^-g; mais, comme l'exposant 1,7s

diflfôre très-peu des limites 1 et t,5o adoptées pour les cordes d'une certaine grosseur, on peut, sans inconvénient, supposer avec Navier, l'exposant de d* égal à fx,

(•) Consulter, à ce sujet, V Introduction à la Mécanique industrielle (3* édi- Uon.)

APPLIQtJkB AUX MACHUfB5. 263

nous ajouterons, d'après Coulomb, qu'on ne doit jamais les charger au delà de 4o kilogrammes par fil de caret, quoique, en général, elles poissant soutenir, sans se rompre, de 5o à 60 kilogrammes* LeS cordes mouillées perdent près du | de ]eu( force, et la résistance, à diamètre égal, n'est pour les cordes goudronnées guère que les j- ou les 7 de celle des cordes blanches.

D'après les expériences de Duhamel, la résistance des cordes bliinches à la rupture serait proportionnelle au carré du dia* mètre; mais elle augmente dans un rapport un peu plus grand que leur poids sous l'unité de longueur et que le nombre des fils de caret dont elles se composent : d étant le diamètre d'une telle corde exprimé en centimètres, on pourra, d'après Navier {voir l'Ouvrage cité, page 182, Note bc), représenter la force nécessaire pour la rompre par ^ood* kilogrammes; cette valeur peut d'ailleurs différer, en plus ou en moins, de V de la véritable, selon la qualité du chanvre et les circonstances de la fabrication.

Ces différents résultats ne s'appliquent d'ailleurs qu'aux cordages fabriqués d'après l'ancienne méthode; ceux qui le sont d'après les procédés de fabrication introduits par M. Hubert, à l'arsenal de la Marine de Rochefort, outre qu'ils ont plus de souplesse, offrent encore un surcroît de résistance qui augmente proportionnellement au nombre des fils de caret.

Il est quelquefois utile de connaître le poids des cordages dont le diamètre est donné; on le trouvera d'après cette règle, qui nous a été communiquée par le célèbre ingénieur dont il vient d'être parlé : Prenez le | du carré de la circonférence du cordage exprimé en pouces : le résultat sera, en livres, le poids d'une brasse de 5 pieds de longueur de ce cordage. Nommant c le nombre des centimètres contenus dans cette circonférence, le poids du mètre courant du cordage sera ainsi exprimé par la formule

0,00826c' kilogrammes.

16. De la roideur des lanières et courroies,— Nous avons vu, dans la Section II, qu'au lieu de cordes on se servait souvent.

264 ^ COURS DB MÉGàKIQOB

dans les machines, de courroies et lanières en cuir de Hongrie, larges et d'une petite épaisseur, qu'on renforce quelquefois sur les bords extérieurs. Comme ces courroies ont ordinairement une flexibilité très-grande, leur roideur donne Heu à une résistance assez faible et qu'on pourrait, à la rigueur, négliger dans les calculs. Néanmoins, si l'on veut en tenir compte, on pourra, en attendant des expériences spéciales à ce sujet, supposer que leur résistance est sensiblement la même que celle d'un assemblage de petites cordes superposées et ayant un diamètre égal à leur épaisseur aux divers points; c'est-à-dire qu*on se servira encore, pour évaluer cette résistance, de la formule du n"* 11 ci-dessus; il faudra multiplier ensuite le résultat par un coefficient numérique représentant le nombre des cordelles qui sont censées entrer dans la composition de la courroie (* ); on choisira d'ailleurs, pour l'exposant /xqui entre dans cette formule, des valeurs en rapport

(' ) Ralentissement dans les transmissions par courroies, — La transmission des vitesses par poulies et courroies ne peut jamais se faire rigoureusement dans le rapport ioTerse des rayons des poulies; il se produit toujours un ralentissement pour l'arbre mené, ralentissement qui, dans beaucoup de circonstances, peut avoir une valeur relative assez considérable pour qu'il soit nécessaire d'y avoir égard dans le calcul des diamètres des poulies.

Considérons une poulie A transmettant le mouvement, à l'aide d'une courroie, à une poulie B montée sur un arbre parallèle à celui de la poulie A; soient R et e^ le rayon et la vitesse angulaire de la poulie A, R' et ta' le rayon et la vitesse angulaire de la poulie B; supposons de plus qu'une force F agisse tangentiellement à la poulie B, en sens contraire du mouvement.

Si le mouvement uniforme est établi, le brin conduisant de la courroie se trouve à une tension T, le brin mené à une tension T', et la différence de ces tensions T — T' est égale à F. Or la courroie, étant composée d'une matière élastique, ne peut pas passer d'une tension à une autre sans changer de longueur, en sorte que, si nous prenons deux points quelconques sur la courroie en mouvement, la distance de ces deux points variera avec la tension à laquelle est soumise la portion considérée. Quelle que soit la loi de la variation de la tension de la courroie en ses différents points, il est évident que son mouvement a tous les caractères d'un mouvement permanent, et que par suite la quantité de matière qui passe aux différents points dans le même temps est la même; il faut pour cela que la longueur naturelle de courroie qui passe aux différents points dans le même temps soit constante, en entendant par longueur naturelle d'une portion de courroie soumise à une certaine tension la longueur qu'elle aurait si cette tension était nulle. Si donc l' est la longueur de courroie à la

avec le degré plus ou moins grand de flexibilité qu'on suppose à la courroie, d'après la durée de son emploi et la nafure du cuir qui la compose.

Des expériences qui ont été faites à Ànzin, puis répétées à^ Metz, prouvent que, lorsque les courroies, convenablement tendues, servent à communiquer le mouvement à des tambours différents, la vitesse est transmise d'un axe à un atltre sans une perte appréciable; et il en est ainsi probablement encore des cordes sans fin employées au même usage. Cette circonstance tient au frottement qui s'exerce aux différents points de contact avec les tambours, et dont l'intensité, croissant très-rapidement avec la tension et l'arc embrassé, empêche la courroie de glisser sous la différence des efforts qui la sollicitent à ses extrémités. Comme cette propriété est une qualité précieuse dans beaucoup de cas, nous allons ici en rappeler la théorie.

tension T' qui s'enroule dans un temps B sur la poulie B, il se déroulera de cette poulie, pendant le même temps, une longueur / de courroie à la tension T, qui sera 'telle que sa longueur naturelle soit la même que celle qui correspond à la portion enroulée /'. Il est clair, d'après cela, que, contrairement à ce que l'on admet ordinairement, la longueur géométrique de courroie qui s'enroule sur la poulie dans le temps 0 est plus faible que la longueur géométrique qui se déroule dans le même temps, et que, par suite, il se produit forcément sur . la poulie B un glissement dans le sens du mouTement.

On reconnaîtra de même que la longueur de courroie enroulée dans le temps 0 par la poulie A est plus grande que la longueur géométrique qui se déroule dans le même temps, et que, par suite, il se produit un glissement de la courroie en sens inverse du mouTement.

On démontre facilement que, sur chacune des deux poulies, il y a contact sans glissement suivantles génératrices sur lesquelles commence l'enroulement, en sorte que les longueurs de courroies enroulées dans un temps 0 par les poulies A et B sont Rud à la tension T et R'u'^ à la tension T'.

Si nous exprimons l'égalité des longueurs naturelles qui correspondent à ces longueurs, nous aurons, en représentant par a l'allongement de l'unité de longueur de courroie sous l'unité de tension,

Rcad Yi'ùi'e

d'où l'on tire

ûj' iH-aT' R

61 ""i-^aT R'

Le rapport desTitesses est donc égal au rapport inverse des rayons, multiplié

266 GOUE8 ra MOANIQUB

Fr^KeBieirt^des cprdes et courroies autour des cyliadm Immobiles.

16. fielaitàn générale entre la puissance et la résistance. — f Soit P U0e puissance sollicitant la résistance Q par l'intermédiaire dé la corde ou courroie HAN (fig. 54) enroulée surdon

Fig. 54,

cylindre immobile dont C est le centre; il est évident qu'à l'instant où P commencera à vaincre Q, en faisant glisser la corde sur le cylindre, son intensité devra être égale à cel|e ' de Qy augmentée du frottement développé le long de |])0^ MANy par les pressions normales résultant des tensions- \qui ont lien a«x différents points de la corde.

Nommant r le rayon du cylindre, t la tension d'uti élément quelconque ah=ds de la corde, t'=t-hdt la tension de relèvent suivant bc du côté de P, a l'angle en b formé extérieurement au cylindre par ces éléments ou tensions, /le coefficient

par UD coefficient qui ne peut devenir égal à Tunité que quand les deux tentions sont égales, c*est«à-dire dans le cas où il n'y a aucun travail k transmettre. Il se produit donc toujours un ralentissement, contre lequel le moyen ordinairement employé, c'est-à-dire l'augmentation de la tension initiale, est un remède insuffisant plus nuisible qu'utile, en ce sens qu'il augmente les résistances passives de la transmission. On peut déterminer les limites de ce coefficient de ralentissement dans les conditions ordinaires d'installation: on trouve qu'il est compris entre i et 0,98 ; la perte de vitesse peut donc, dans certains cas, s'életer à près de q tours pour 100; cet effet n'a ordinairement rien de bien fâcheux pour un seul renvoi; mais, dans les usines, on est fort souTent obligé de recourir à un grand nombre de transmissions intermédiaires, et Ton obtient alors des différeneas trè»-iiotab1es entre les vitesses rMles et les riiesses sur lesquelles on comptait. (Note sur les transmissions de mouTement à l'aide de courroies, mt M. KreU, Jfmales des Mines, t. 1, 6* série; i86a.) (K.) ^

« APPLIQUÉS AUX MAGBIKBS. 267

éu frottement relatif aux substances en ooDiact; Taccrobsement de tension di sera évidemment ^gal au frottement qui*^ s*^erce sur l'élément ab, en vertu de la pression normale qu'il supporte, pression qui n'est autre chose que la composante /'sin a de t', perpendiculaire à la direction de ce même élément, et qu'on peut considérer comme égale simplement à

ta,

en négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs tu premier.

Mais l'angle a, formé par les éléments consécutifs ab et bc -^ de la courbe, étant lui-même égal à l'angle des normales ou.. rayons correspondants du cylindre, lesquels embrassent entre ^ eux un arc mesuré par ds, on a ds^ar, et partant • **

, ^. fids dt fds

Intégrant cette dernière équation depuis le point N, pour lequel «=o et /=Q, jusqu'au point M, pour lequel ^ =arcMÀN=f et /= P, il viendra

logP-logQ = log|=/^ (•),

(*J Nommant $ Tare qui, sur la circonférence dont le rayon est l'unité, mesure l'angle embrassé par los normales extrêmes de l'arc ; , on aura

s^er, P = Q^/», ^

relation qui devient applicable à un cylindre ou à une courbe NAM quelconque, B étant toujours l'arc qui mesure l'angle compris entre les normales des points extrêmes" N et M de cette courbe.

Pour s'en couTaincre, il suffit de remarquer qu'on a, dans les mômes hypothèses, les relations

dont la dernière s'intègre immélliAtement, quelle que soit la manière dont varient 9 et le rayon de courbure en chaque point. On- Toit donc que le frottement des cordes sur les cylindres dépend bien moine -de la forme et de l'étendue de l'arc embrassé que 4e l'ouverture de Tan^è epmpris entre les normales des extrémités de cet arc.

a68 cx>uts DE mégàniqub *

que Ton peut mettre sous cette autre formey en nommani 6 = 2,718282 la base des logarithmes hyperboliques ou népériensi

P = Qe'", /. P = /.Q 4- 6,4342945 •^,

la caractéristique / désignant les logarithmes des Tables ordinaires.

Si ^, au lieu d'entratner Q, étail sur le point d*en être entraîné, on aurait évidemment

P = Qe''=^^^ l.P = /.Q - 0,4342945 •^.

JLes valeurs de/se trouveront dans les tableaux des coefficTents de frottement; pour les cordes de chanvre, on peut, en attendant des expériences plus étendues à ce sujet, supposer/* seulement égal à o,33 quand ces cordes sont usées et que les cylindres sont eux-mêmes polis par le frottement (').

17. Usage du frottement des cordes dans les arts et appli^ cation particulière. — On utilise souvent, dans les arts, ce frottement des cordes dans la vue de diminuer Telfort néces-

(*) Loi des tensions d'une courroie sur une poulie en mouvement, — Si nous

considéronruDe poulie menée {Jiff, 65 ), il s'enroulei en chaque élément de temps

' (Note du B^ 15) une longueur l' de courroie

^*5' ^^' à la tension T', il s'en déroule une autre / à la

tension T, / et /' correspondant à une même

>< *—=— ^ — ' longueur primitiTe. En négligeant Tinfluence de

/^/\J^\ \ Tinertie de la courroie, les tensions aux diffé-

' ' ^' ^ rentspointsdu parcours, à un instant quelconque,

sont les mômes que si, la courroie tout entière étant supposée primitivement à la tension T', on avait augmenté progressivement la tension du brin menant depuis la valeur T' jusqu'à la valeur T, la pouHe restant immobile, car, lorsque les poulies sont en mouvement, il n'y a pas glissement au point d'enroulement B, à moins qu'il n'y ait glissement total, en' sorte que la tension en ce point reste toujours égale à T'. Si e désigne la tension en un point quelconque M, et fi l'angle formé par le

APPLIQUÉE AUX MACHINES. 26g

saire pour soutenir un fardeau ou pour mettre en équilibre une résistance quelconque très-grande. Par exemple, lorsque les tonneliers veulent descendre une pièce de vin dans une cave, le long d'un escalier rapide, ils la posent sur un petit traîneau ou sur deux pièces de bois, formant un plan incliné, dont la résistance relarde déjà le mouvement jusqu'à un certain point; mais, comme cela ne suffirait pas pour qu'un ou deux hommes pussent, sans risque, soutenir la pièce contre Taction de la gravité, ils enroulent les deux bouts do cordage autour de deux pièces de bois cylindriques inclinées et appuyées, par le bas, sur le sol de la rue, et, vers le haut, contre le mur de la porte de cave; la résistance produite par l'enroulement diminue considérablement l'effort qi/ils auraient à exercer en agissant directement sur les cordages qui soutiennent la pièce.

Supposons que la tension de ces cordages, qu'il sera facile de calculer au moyen de la théorie du plan incliné qui sera exposée un peu plus loin, soit de 5oo kilogrammes; que le rayon des cylindres soit de o™,o8; qu'enfin la corde fasse trois révolutions autour de ces cylindre&2 on aura ici, en supposant

e|2on ai Ivpar le

la corde usée et les cylindres polfvpar le frottement,

Q = 5oo^», r = o",o8, •— = 6,220, f=z 0,33, 0,43429!^ = 2,78832,

rayon passant par ce point M avec I0 rt|OD pftstant par le point A de tangence de l'élément qui se déroule à la tension T^^'a la relation T & eef^t qui donne la loi de variation des tensions. Si j3, est la valeur de /3, pour laquelle t devient égal à Vf il y a glissement total de la courroie dans le cas où /9| est plus grand queTangle embraMé a; si fi^ est plus petit que a, il existe un point N tel, que la portion de coufroie comprise entre N et B conserve sa tension première T', et que la tension varîç entre N et A, de T' k T, d'après la loi T = te^^.

Si nous considérons la poulie menante, la répartition des tensions est la même que si, la courroie étant d'abord à la tension T, on avait diminué progressivcment la tension du brin mené depuis la valeur T jusqu'à la valeur T'; la tension augmentera donc, d'après la loi indiquée, de T' à T, depuis le point de déroulement & la tension T' jusqu'en un certain point N^, et conservera la valeur T depuis ce point jusqu'au point d'enroulement du brin menant. {Comptes rendus de V Académie des Sciences^ 3 mars 1873.) (K.)

et enGn

COVtB DB MtCÀHIQUB

pour l'efforl à exercer sur chacun des deux cordages de retraite.

G'^ que, à l'aide du frottemeni^des cordes sur les rouleaux, un seul homme peut ikire descendre un canon de 24» suspendu à une chèvre, sans exercer un très-grand, effort, et c'est encore ainsi que, dans la marinf, on modère le mouvement dès vaisseaux qu*il s'agit de lancer à la mer, en les plaçant sur des chs^iiersou pièces de bois inclinées sous un certain angle & rhod|On et les retenant par des cordages enroulés sur des cylindres fixes.