III. — Applications aux machines simples
Frottement d'un corps sur on plan incUné.
18. Cas où la pH^anc^est inclinée d'une manière quel^ conque. — Soit Q {Jig. 56) le poids d'un corps posé sur un plan AB incliné à l'horizon, suivant un angle ABC = a; on suppose ce corps sollicité, de bas en haut, par une puissance P formant, avec la direction du plan AB, l'angle p, et
Fig. 56.
'^ Q CCM 2
qui est comprise dans un plan vertical perpendiculaire à l'horizontale B du premier. La pression normale résultant de P
^ àpAiquEs kV/f. HACBnâbï. ', . 371
et de Q ^r AB sera îciQcosa — Psin^, donqant Ueyao froU lemeni * ^
/(Ocosa — Pslnp).
Quant aux composâmes des forcte suivant le plan, elles seront Qsina eiP cos(3; on aura donc, pour calculer la Torce P, qui serait sur le point de faire monter le corps le long 4cr AB,
Pcosp — Qsina =/(Qcosa—.PsinP), d'où S <
p^ Sin«+/C03af • >
cosp -i-/sinp
En changeant le signç de / dans, cette expression, on aura évUemment l'effort nécessaire seul^ent pour empêcher la corps d'être entraîné par son propre poids; et, pour que cet effort soil nul, il faudra évidemment qu'on ait
-fcosx-
fanga r=/,
e^^ l'horixte an
c'est-à-dire' que le plan AB éevra faire ^i angle, nommé aitf^e du frottement, dont la tangente trt]fo96métrique soit égale au coefdciant/; l'oba^ation directe de l'angle sous lequel un corps est sur l|||^inl de glisser le long d'un plap donnerait donc la valeur du rapport du rroiiemcnt à la pression; mais il faut remarquer que celte valeuresl presque toujours supérieure à,celle qui a lieu pendant le mouvement même du corps.
19. €at particuliers. — Quand P est parallèle à AB (/g'.S; ],
.jj^-. Fig. 57.
= 0; quand P agit au-dessous du plan, |3 est négatif; en6n,
27a JÊIV^^^ PB ]|ÉGàN1Q0£
quand Pjest horapntal, ^ = — a, de sorte qu'on a
^, sina-h/cos«^ tang«-|-/ cosa — /sina i — /langa
valeur qui devient inBnie lorsque idnig ce = j'y ce qui indique
que, quelle que soit la grandeur qu'on attribue à P, elle ne saurait alors faire remonter le corps le long du plan AB. La
n^^èrae circonstance se reproduit d'ailleurs dans le cas général,
pour une taldur de (3, telle que tangP = — f'
Quant à la mesure de la pression normale supportée par le plan incliné dans le cas où P est horizonlal, elle sera évidemment donnée par la formule '^
«- ^ n . ^f sina-»-/cosa\
N = QcosaH-Psina=:Q cosaH-sma =—-: — ]
\ cosa— /sina/
^ cosa— /sina
20. Angle le plus avantageux du tirage. — £n diffén liant l'expression générale de P par rapport à (3 et égalant 1$[? résultat à zéro, on trouve qiib le minimum de l'effort nécés- ' ' saire pour faire monter Q le long du plan AB a lie^ quand tang|3 =/, cette force agissant d'ailleurs au-dessus du plan AB et de bas en haut, comme l'exprime la^g. 56; mais il n'en ^ffaut pas conclure, pour cela, que la valeur du travail que développera alors celte puissance soit elle-même un minimum par rapport à celle du travail utile que suppose Télévallon du poids Q. En effet , le rapport de ces quantités de travail est évidemment
Pcosp I H-/cota Qsina~~ i -h/iang^'
quantité qui décroît indéfiniment à mesure que tang (3 augmente.'
Pour compléter cette discussion, qui est entièrement applicable au frottement de la vis, dont il sera question plus loin ,
kvmdiati AUX hàchK.' 2^3
, on remarquera que, lorsque*rangbiii^nc1inaison a du plan est plus^tit que l'angle du frcniement, ou qu«tanga</, nonseulement'il n'est plus néceaâHttï:d'appliquer au corps une
force pour rempêchec de dûMpaflbre sur ce plan, mais encore qu'il en faut une ppUr ry.eu^^indre.^ Par exemple, dans le cas de la fig. 87,^ et en supposant un^ force horizontale P' tirant de 0 vers P', à l'opposé de P, il faudrait, pour faire descendre le corps^ que Ton eût
cos« 4-/srh a ;J.:i -t-/tang«
valeur qu'on obtient en changeant le signe de / et posant [3 = 180 — a dans l'équation ci-dessu« (19).
FrottraiMit du coin^
21. IVotions préliminaitm^ — On peu^ en général, nommer coin tout corps solide poÉooebtre deux ou plusieurs autres et sollicité par des forces quelconques, qui solï| mises en équilibre par les efforts de réaction que le C0r|is éprouve de la part de ceux-ci, normalement à sa surface de co^^ct avec eux. Rôinpiaçant, en effet, ce^e surface par le.plan tangent correspondant, ce plan et tous* ses semblal^s (priseront, par leur rencontre mutuelle, un angle solkle ou espèce de coin , qu'on pourra substituer à la con!tfi!lé ration du premier corps , et qui se trouvera placé absoltment dans les mêmes circonstances, quant aux effets physiques. Dans ce*qui suit, nous nous bornerons à exposer la théorie du"A)in ordinaire, tel qu'oi le' définit dans les éléments de Statique, en faisant observer que cette théorie s'applique, d'une manière analogue, aux divers cas qui peuvent se présenter.
Soit donc ABCXjlg' 58) un coin triangulaire dont les faces latérales ou côtes AC et BC s'appuient en T et T', contre deux autres corps, ou contre deux parties d'un même solide dont il s'agit de produire l'écartement au moyen de la puissance P appliquée extérieurement et perpendiculairement contre la tête AB du coin. Soient N et N' les efforts de réaction qu'il
3^4 CODRS BB MteUnQDB
supporte en T et T' et du^ehors eo dedaas, normalement à ses côtés AC et BC;. ces efforts'produîront les frotteftents
ni
fH.fli' agissant le long de ces mêmes cdtés, de bas en haut, c'est-à-dire en sens contraire du mouvement que tend è Taire naître la puissance P. Dans l^tat général de la question, où le coin serait sollicité par des puissances quelconques, ou même par une puissance unique agissant perpendiculairement à sa tête, mais en un point arbitraire, il est clair qu'il pourrait tendre à tourner ou à glisser, spit latéralement, soit transversalement, ce qui donnerait lieu à de nouvelles résistances dont il Taudraittenir compte dans les calculs; mais, comme ces effets sont étrangers à celui qu'il s'agit de produire, et qu'ils tendent à consommer inutilement du travail moteur, on a toujours soin, dans les arts, de les éviter; ce qui suppose que l'action de la puissance P soit comprise dans le plan des forces de réaction N, N',/N,/'N', et que ces dernières aient une résultante commune, égale et précisément contraire à P. D'ailleurs on peut ici négliger entièrement l'action de la gravité ou du poids du coin, vis-à-vis des forces de réaction qui se développent dans les cas les plus ordinaires.
APPLlQVn m MAGHIIIBS. 27$
Enfin il paratt évident encore que, lorsque le coin ABC repose, par plusieurs points ou même par une infinité de points, sur les corps entre lesquels 1^|st interposé, ce qui arrive toujours, les forces N et N',^^|JGei/'N ne sont autre chose alors que les résultantes généra||i des forces parallèles de chaque espèce, appliquées en ces différents^oints et dont il n'est pas indispensable de connaître la valeur particulière.
22. Équilibre du coin dao^ VJifjrpqthèse où il ne tourne pets. — Pour établir, dans ces hypothèses , la théorie du coin en ayant égard au frottement,«ious supposerops qu'on décompose chaque force en deux, l'une parallàje et l'aulre perpendiculaire à la direction de la tète AB. Nommant a, ^ et y les angles en A, B, C du triangle ABC qui représente le profil transversal du coin, et faisant attention au sens tie L'action de chaque force, on écrira séparément que la sdibme.. des forces parallèles de chaque groupe est égale à zflfo: ce qui donnera les
deux équations
» P — Ncosa — N'cosp — /Nsin « — /' N'sinp = o,
Nâiria — N' sin p —/M cosa -♦-/' N'cos(3 = o ('),
desquelles oiï^tire
^ sinp-y'cosp
P(sinp-/'C06P) {\-ff)siny^(f+f')cosy'
-,, * P(sinot— /cosat
~ {i-ff')siay + \f-i-f')cosy'
(*) Pour exprimer la condition que le ooin ne tend pas à tourner dans le plan ABC, il suffira d'écrire que la somnse des moments des forces, prise par rapport à un point quelconque de ce plan, est égale à zéro : en choisissant, par exemple, le sommet C pour ce point, abaissant la perpendiculaire CK sur la direction de P, on aura {fi^, 58), en faiaant'attention au sens de l'action des forces et attendu que les bras de levier de /N et f'îi' sont nuls,
P.CK4-N'.CT'— N.CT = o,
de laquelle on déduira CK et, par suiti^ AS, quand CT et CT' seront données à priori.
a']6 COUIS DE «ÉQÀlflQUE
en observant qu'on a ici .
sin(a -4- p) = sîny- ei^ «a8(a-hP)=i — cosy.
Ces diverses relations montrl||t que les efforts de réaction N et N' sont déterminés quand'^ BSt donné a priori, ainsi que les autres quantités doM ils dépendent; en y supposant d'ailleurs/et/' égaux à zérOy on retombera sur les équa^ons d'é^ quilibre ordinaire du coin^
23. Cas où le coin tend à être repoussé par la réaction des deux corps; caractèrénuquel on w^Donnatt cette circonstance. — Lorsque, par suite ^ Faction plus ou moins prolongée de la puissance P, le coin s'est enfoncé jusqu'à un certain point entre les deux corpaque l'on considère» il arrive ordinairement que, en veE|frde l'élasticité des matières qui les composent, ou des rés|im)BtaAcU^ auxquelles ils sont soumis, les efforts de réaction-l^^nï' continuent à subsister, bien que la puissance P cesse entièrement son action ; alors il peut arriver de deux choses l'une, ou que le coin soit repoussé en arrière de la position qu'il occupe, o« qu'il soit maintenu, dans cette position, par les frottementSf qui se développent en T et T'. Dans le premier cas, il serait nécessaire d'appliquer, perpendiculairement à la tête du coin, une certaine force P, agissant de haut en bas, pour le maintenir au degré d'enfoncement où il est parvenu. Afm de reconnaître et de (Tiscuter chacune de ces circonstances, il suffit d'observer qujp^ dans le mouvement d'ascension du coin, les frottements /H|(fN' s'exercent précisément dans une direction contraire! & celle que nous leur avons supposée en premier lieu; changeant donc leurs signes dans les équations ci-dessus, la valeur P,, qu'on en déduira, exprimera la force qu'il est nécessaire d'appliquer au coin, pour faire équilibre à N eVN'; on trouvera ainsi
P -N[f'-/rsiny-(/-f-/-)cosy] '■" sin;3-f-f cos(3
^I^.[('--/nsiny->(/+/-)cosy]
^ina -f-/cosa
Quant à la relation entre N et N', elle exprime simplement une
4|P *" :0' ' APPUQCfiE AUX MAGHmBS. 277
condition h laquelle ces forces doivent satisfaire pour que l'équilibre soH possible et que le coin ne soit pas entraîné dans * le sens parallèle à sa tête.
Cela posé, on voil que, si la valeur de Pi , déduite de Téqipation ci-dessus, est positive» ce sera un signe que le coin^|bd «à se relever par suite des efforts de réaction qu'il éprouve ; que, si cette valeur est négative, non-seulement le coin ne se relèvera pas de lui-même, mais encore qu'il faudra un certain effojdHdlfigé de bas en haut, pour vaincre les frottements auxquA. Il'^est soumis; qu'enBn si Pi = o, ce qui suppose la relaUèn*
('— ^')s«ny — (/+/')cosy = o ou tangy = ^^— ^
Naturellement satisfaite, ce sera un signe que les forces N et N' sont sur le. point de vaincre, par elles-mêmes, les frottements/N et/'N% ou leur font strictement équilibre, de sorte qite le moindre effij^t, appliqué sur la tête du coin, suffirait pour le faire enfoncer ou détacher.
Il résulte de là que, selon qu'on aura (i— J5^')siny plus grand ou plus petit que (/-*-/' )cos y, c'est-à-dire selon que
tangy> ou<-^-3^»
le coin sera repoussé ou retenu plus ou moins fortement entre les deux corps.
24. Cas où le mouvement du coin devient impossible. — Revenant à nos premières suppositions, où le coin est censé céder à l'action de la puissance P, appliquée perpendiculairement à sa tête AB (Jig. Sg), du dehors en dedans, nous ferons remarquer que le rapport de P à N' (22) ira sans cesse en Croissant, à mesure que tangtx s'approchera d'être égal à/, et deviendra même infini quand tanga aura précisément pour valeur/; or cette circonstance est| analogue à celle que nous avons remarquée (20) pour le cas d'un corps glissant sur un plan incliné, et elle prouve que le frottement ne peut être vaincu sur A face AC du coin, quelle que soit l'intensité de P ;
378 COURS DE MfiCAmQUI^ ^ * m. \
ce qai est évident, puisque» en supposant P assigné à prion, la pression N'» sur la face BC, doit être nulle d'après les équations
Fîg. 59.
posées au (n*^ 22), qui donnent alors simplement
cosa -h /bina
