rXz^2r|/N

d'où

pour TexpresSion de la valeur moyenne de ce frottement, censé agir à l'exlrémiié du rayon r.

Il arrive quelquefois que, dans la vue de diminuer le travail du frottement ou son bras de levier moyen , on termine ijig. 72) sa base par Une calotte sphérique, qui elle-même repose sur une partie convexe du fond de la crapaudine. Dans d'autres cas (/ig. 73), les rebords de celle crapaudine sont supprimés et le pivot se trouve terminé par une portion conique raccordée par une calotte sphérique plus ou moins

APPLIQUÉS AUX MAOnitlK.^ 3oi

grande, et qui s'engage dans une cavité pratiquée sur la pièce servant de crapaudine. Enfin souveo^Kl^l c'est ta crapau-

jline qui forme le pivot, tandis que l'aie lui-même porte l'encpstremenL de la tête de ce pivot, disposition qui offre

l'avantage de préserver la surface frottante des poussières quir pourraient s'y déposer lorsque l'axe est vertical, el l'inconvénienl de laisser expulser facilement l'enduit {'). Dans tous ces

^' } SouTcnl OD interpose, entre le rond de ie cnpâudine et le pirol, ana leDlilleiiolée ta acier qui diminua lei cfaincei de grippement. DÎTenei diipo. ritloni, conDuea soni le Dom de crapaadinei hfdrauUquet, de erapaudinri almoipMri^art, tant employées aujourd'hui poursouluger le grain, en dlmiauint li cbimTCrtîcale de l'irbre. Ce réiullal est obtenu aoitSD Tiisant arrirer, entre leglUnatle pirot, de l'eeu A forte preasion, toit en emprisonna ni de l'iir entre une cloche Bide k l'arbre et le food de la oHpaudine. (K.)

3o4 GOOU Dl aicu<i%DB '*■

qui pouitalents'oppdnraumoavement de l'ùhed'entrefelles. Quelquefois aussi on in|lDUent un jeu ionriable entre les épaulemenls des arbres et des cousshieis, au inoj«n de ren- Torts coniques fia annulaires pratiqués sur le pourtour des

^ouriilons, ei qutd|Freat un vide an dessous, aSm que le bras de leffer^ ftisàSm^t tangeoiiel de cetn-ci ne soit pas inu-

L(frsque l'arbre est soumis à des efTorls considérables dans le sens de son'-axe, Il vaut mieux ta^iner les tourillons par une partie arrondie, Tormant pivol et s'appujant contre un épaulement extérieur; il en résulte, en effet, qu'on peut diminuer, pour ainsi dire à volonté, le bras de levier du Troiment. Enfin, dans 'les tours à tourner, les martinets, etc., il arrive ordinairement qu'on supprime entièrement les coussinets des tourillons en faisant porter l'arbre uniquement sur les pointes des pivots, qui, s'usant ti>ls-viie alors, demandent que les épaulemcnts, poupées ou supports, soieitt fréquemment resserrés au moyen de coins ou de vis de^tesslon.

Lorsque de grandes pîàces planes telles que les'écious des grosses vis, ceruins plateaux ou ponts tournants, etc., doivent porler sur des épaulements en des points simés à une certaine diMance de l'ace de rotalioiH on (fîminue le bras de .levier du frottement et son intensité en interposant, entre ces p)a\eaux et ces épaulements [fig, 77), \ifie bande annulaire en. ter ab, concentrique à cet aie, glissant dans une crapaudine à rebords en cuivre, qu'on maintient pleine de graisse. Quelquefiis

AFP^QUÉlf AUX MACHINES. 3o5

aussi on substitue l'emploi des gah^s^ou roulettes à celui de la bàndeanDulaîPê» 4tosi qd*on en a des exemples dans les ponts tournants nouvellement ^élablis sur le canal Saint*Mdriin, à

Paris, et dans plusieurs autres système employés dans les constructions publiques et les machine^; c'est pourquoi nous entrerons dans quelques détails sur la théorie de la résistance de ces roulettes, qui sont sujettes à des inconvénients fort graves lorsqu'on leur donne de petites Amensions, inconvé- - nients auxquels on n*acc«rde pas assez d'attention, et dont le principal consiste en ce'que, s'usant inégalement, elles finissent bientôt par ne plus tourner.

Résistance des roaes et roulettes ( ' ].

4-0. Résistance des roulettes à axe fixe. — Soit une roulette à axe fixe C {fig. 78), portant une charge P posée sur un plateau AB que fait mouvoir horizontalement la puissance F; il est é^Tident que cette puissance n'aura autre chose à vaincre ^que le frottement de glissement en C et de roulement en T, dont le dernier prdVient de la charge P et l'autre de la résul* tante de cette charge^ du poids de la roue, que nous nommerons /;, et de la puissance F, résultante qui a ici pour valeur

v/(P -+-/?)' -h F\ Si la roulette n'avait pas la liberté de tourner autour de son axe C, le frottement développerait en T une

(*) Foir, au sujet de ce chapitre, la Note du n^ 7 qui donne des indications suffisantes pour permettre d'appliquer à ces questions la théorie du frottement de roulement d'après les résultats de Dupuit.

Pour plus de détails, consulter le Cours lithographie ^e Mécanique appliquée professé à VÉcole des Ponts et Chaussées par M. Bélanger, et le Traité de la Dynamique des systèmes matériels^ du même auteur. (Paris, 186G.) (K.)

3o6 COURS Di MtrcÂNfaiB

résistance /P, produisânu pour un chendîn e parcouru par le

point d'application de F, la quantité de travail

/étant toujours le coefQcientdu frottement direct, relatif auflc

substances en contact (6). ^

Fig. 78.

Si, au contraire, la roulette tourne sur son axe, il se développera sur cet axe un frottement mesuré (3&) par

si F^ peut être négligé vis-à-vis de (P +/»)% et il se 'développera, en outre, au point de contact T de la roulette el di^ plateau qu'elle supporte, un frottement fte seconde espèce»

mesuré par

en conservant les dénôminationafét conventions des n<^* 7 et 8 ci-dessus.

Nommant de plus R == y D le rayon de la roulette, r celui de son axe, il est clair que, le chemin décrit par F en T étant e, celui que décrit le point d'application du frottement /'(P -f-/>)

de cet axe sera -^9 de sorte qu'on aura, dans les suppositions

actuelles, pour le travail de la puissance F le long de ^,

et par suite

ce qui montre que l'effort de la puissance décroît indéûnlment ^iènesure que le rayon de la roulette augmente, soit d'une manière absolue, soit par rapport à celui de l'essieu.

Toutefois la relation ci-dessus suppose que la roulette soit, ainsi que le plateau AB, coflhrenablemenl dressée et qu'elle tourne en effet, ce qui exige notamment que le frottement direct /P en T, par l'intermédiaire duquel la puissance F tran^et son action à cette roulette, et qui agirait seul dans le cas où celle-ci serait immobile, n'ait pas une valeur au-dessous de la quantité *

Or le mouvement de rotation serait infailliblement empêché si le plateau ou la roulet^ contenait, par suite de l'user ou d'accidents quelconques, des aspérités ou inégaihés assez fortes pour que le moment de P, par rapport à C, l'emportât sur celui duYrott^ent/P.

41. Influence des inégaUiêê du sol sur le mouvement des ^ulelteêt, — Considérant, par exemple {Jig. 79), un obstacle solide placé en a, en arrière de T par rapport à F, dont h soit la saillie ab sur la circonférence de la roulette, et / la distance aT au point T, on remarquera que le roulement, au lieu de se faire autour de ce dernier point, tend à s'effectuer autour de a, de sorte que la puissance F, qui agit, au premier instant, avec le bras de levier CT=C6 = R, doit, par l'intermédiaire du frottement/P, qui se développe au point a, vaincre ou soulever la charge P, qui, elle-même, agit en ce point, avec le bras de levier CD = aT = / par rapport à l'axe C; ce qui aug-

mente, à ce premier instant, la résistance /' (P -*- p) jt due à

ao.

3o8 COURS DE ](Ui^2lLitlQUB

l'axe C, de la quantité

h étant censé très-petit par rapport à R. On aura donc alors

en négligeant la considératioi^du frottement de seconde es* pèce, qui se développe en ^'.MJ^ite du mouvement relatif du plateau et de la roulette^î^l^Hiit la vitesse virtuelle est nulle ou infiniment petite par%pport à celle de ce plateau.

Fig. 39.

Si cette valeur de F était supérieure au frottement direct /P, qui se produit en a^ dans le cas où la roulette demeui^ immobile, il arriverait effectivement qu'elle ne tournerait pas, et que la résistance se trouverait mesurée simplement pàr/P, comme dans le glissement ordinaire des corps solides.

Quant à la quantité de travail que doit dépenser F, pour vaincre l'obstacle, ou pour amener ( en T, elle est évidemment mesurée par

PA -+- /'(P -+-p)^ arc 6T = PA 4- /'(?-♦-/?) rare tang^-,

le chemin qu'a décrit son point d'application a dans sa direction propre étant égal è aT = /, on voit que cela suppose, de

APPLIQOGE ADI KACHINES.

sa pari, UD effort moyen mesuré par

__ H./'{P + ;>) - arcung j^

h étant toujours négligeable vis-à-vis de aR.

D'ailleurs la quantité de travail ci-dessus n'est pas tout entière pMit^ue pour la roulette, et il est même aisé de voir que, lorsque l'obstacle aura franchi le point T, une partie de ce travail, mesurée par Vh, sera restituée pendant la descente «de P; m^is, commâ l'obstacle ne peut atteindre ou quitter le plateaa^^OS qu'il y ait un choc, on voit que l'irrégularité du moùlttglitfrproduira nécessairement une perte de Torce vive apprét^lile et que nous enseignerons, par la suite, à calculer, sans compter qu'il arrive bien des cas où, le mouvement d'ascension du plateau étant gêné par des obstacles invincibles, il se produit des arc-boutements donnant lieu à des résistances qui peuvent n'avoir aucune limite, ou qui, tout au moins, rendent impossible la rotation de la roulette.

42. Résistance des roues et roulettes à axe mobile. — La plupart de ces remarques sont applicables au cas d'une roue

[fis- 8o}t sollicitée par une puissance F appliquée directement à son essieu C, qui alors ne tourne pas, mais est trans-

3lO • COURS DE MÉCANIQUE

porté parallèlement au sol de niveau AB en même temps que celte roue.

Nommant toujours P la charge, qui ici repose directement sur l'essieu, et p le poids propre de la roue, on aura évidemment ^ Jf

si F» peut être négligé vis-à-vis de P* sous le radical. ,,

Dans le cas d'un obstacle solide quelconque ab^ iU^rposé entre le sol et la circonférence de la roue, il faudrait, comme

ci-dessus, remplacer le terme A -^ — jr-^ par •

,p,„^=,p.„^ij^-^=,p.,/(^

ou par

Dans ces expressions h est toujours négligeable vis-à-vis deR, et mesure la saillie de 6 sur AB, si l'obstacle fait partie du sol, la rotation tendant alors à s'opérer autour de 6, ou la saillie de a sur la circonférence de la roue, si l'obstacle fait partie de cette roue et que la rotation tende à s'opérer autour du pointa.

Ces expressions apprennent d'ailleurs que l'effort à employer

pour surmonter l'obstacle décroît en raison directe de v^; cela fait dire quelquefois que la puissance des roues est proportionnelle à la racine carrée de leur rayon ( * ).

43. Limite à laquelle le roulement cesse d* avoir lieu et le glissement qpmmence. — La condition pour que les roues à

(*) On trouTe dam Y Introduction à la Mécanique industrielle (3* édition) an Tableau donnant la rédâlinoe des roues sur des surfaces planes de diverse nature. (K.) '^\ÉI^'

APPLIQUÉE AUX MACHIIICS. 3l I

essieu cheminant le long d'un plan AB (Jig. 80) glissent, sans tourner, sur ce plan, est toujours exprimée par l'inégalité ;,j^ "

Or cette 'Circonstance arrive quelquefois, même pour les roues de voitures ordinaires, quand ces roues sont basset, mal graissées^ et cheminent sur un sol parfaitement uni, notamment surjtef^for recouvert de glace ou de neige battue, pour lequel j^raleur de /peut se réduire à 0,01 4o. Supposant par exemple *;

on aura

et il faudra que cette quantité surpasse 0,0 14 pour qu'il y ait glissement sans roulement, ce qui exige que A soit supérieur à

0,6(0,014 — o,oo44) = o,oo58,

résultat qui ne présente rien qu'on ne puisse admettre. C'est d'ailleurs à cette prépondérance de la résistance au roulement, qui est encore augmentée par l'épaississement des enduits de l'essieu dans les temps froids, qu'il faut attribuer l'usage exclusif des traîneaux dans les pays soumis à des hivers d'une longue durée.

kk, Pourse rendre compte a priori comment la condition cidessus dq^lissementa encore lieu dans le cas actuel (*), bien

(* ) Lorsque U roue porte une saillie ab {Jig, 80, n® 42 j, telle qu'un clou de bande, etc., et que cette saillie Tient à rencontrer le sol de niveau AB, la condi-

3)3 COOBS »B MtCtniQIJE

que la puissance F ne soit pas appliquée immédiaiement^u ï|j( point de coniact delà roue et du sol, iisufflt de considérer que, Wî^ si celle-ci ne tournait pas, l'effort F serait précisément égal à ' /"(P-i-p), et que, si cet effort surpasse celui

qui est nécessaire pour faire tourner et cheminer à la fois la roue, il faut bien qu'en augmentant graduellement l'énergie de la puissance F à partir de zéro elle détermine le mouvement de roulement, à l'instant mrm(> nis retie énergie est mesurée par

c'est-à-dire avant celui oîi elle serait capable de vaincre le frottement direct f(P + p), qu'on peut lui-même considérer comme composé de deux autres, dont le premier 5eral||P^ à la résistance que le sol oppose au refoulement denses parties, en avant de la roue, et le second au simple glissement langentiel de la jante sur le fond de l'ornière, glissement ana-

lioD pour qu'il n'jr ail pu itliiiemeat ud a ettériderameDl

/{P ^/.) ■> F = ^S±f} t + f 1 y/pî^TF--.

/ éunt ég»\ k nT.

Mais si l'obiucle (olide ai ftiuit partie du lol, il faudroil, pour que la roue pût, au premier initant, tourner aulour du point d'appui A saD* gliuer te long du plan tangent eu ce point, qu'on eût (,19), a mesurant d'ailleurs l'angle d'inclinaison du mèrne plan avec l'horiioo,

T<,P^p)i^tJfI}asL, d'où />?-li£±£li£!^,

pour t|ue la roue ne tende pas à glisser en remontant, et

pour qu'elle ne tende pas à glisser on desceudant, la Talour de F étant ici éWdemmeni

F = (P-,-^51aiie«-i-/'^^rTP'-

à l'autre partie d^(P ■+- p) qui se rapporte au simple glissement tangentiel gpla roue censée tourner sur dié-même sans

,Tr8

. APPLIQUÉE AUX HAGHIICBS. 3l3

logu6% celui qui aurait lieu, si la roue ne faisait simplement que tourner, autour de son axe et au iri^me point du soU s^us la pression P -h />.

La dépense de travail que suppose le refoulement des parties situées en avant de la roue étant, en elle-même, indépendantfedbi mode par lequel ce refoulement s'opère, on voit que, à d^w^stanees semblables d'ailleurs, la résistance qui lui correspond doit être aussi mesurée êe la même manière, soit qu'il y ait ou non roulement, c'est-à-dire par la formule

A' - — n-^» dans laquelle, sans aoute, il conviendra d'attri-

•buer à A', pour beaucoup de cas, une valeur un peu plus forte que celle qui se rapporte à l'hypothèse du roulement: Quant

cheminer, on peut continuer à la représenterpTTaprès ce que l'on connaît de la résistance des touriliçns, par une expression de la forme/ (P -f-/i), dans«B|quelle /i a une Valeur moindre que/; on aura donc, polnj^ résistaitce toiMe dMa roue traînée directement sur le sof.

On doit concevoir parfaitement, d'après cette discussion, comment la condition ci-dessus

/CP ^ ;>) =r ou > ^^l±P} +/' ^ v/FITp"'

suffit, et au delà, pour assurer à la fois le mouvement de rotation et de roulement le long du chemin; car, la constante A' étant tout au moins égale à A, on voit que la condition se réduit simplement à celle-ci :

/(P4-/>)r.:0U>/'~V^P^PS

sur laquelle on retombe directement quand on soumet généralement au calcul la question du mouvement des roues, en tenant compte des différentes forces de compression ou de

3l4 COUBS DE MÉCANIQUE ^

réaction qui se font équilibre» tant sur ces roues elles-nfèmes quQsurleursessieux.il -nous suffit ici d'avoir présenté, sur la théorie de la résistance des roues et rouleltes, quelques notions préliminaires qui peuvent recevoir des applications utiles dans le calcul des machines.

45. Usage des galets ou roulettes pour diminuer la résis^ tance des pièces /itMÉto»/g< des machines. — En se servant des données qui préeSaent» on sera en état de calculer approximativement la résistance que présentent les galets et roulettes employés pour diminuer le frottement direct des corps en mouvement les uns sur les autres, roulettes qui fort** souvent portent une gorge angulaire destinée à embrasser les languettes saillantes qui constituent alors le chemin, et dont les rebords empêchent le système de dévieMatéralement. On voit, par exeiÉjple, que s'il s'agit de pièces douées d'un mouvement rectiligne, telles que celles dont il a été question aux n~ 30* et suivants, ex qui seraient dirigées, dans ce mouvement, par des roulettes aJif{)tées, soit à ces pièces elles-mêmes, soit aux guides, on n'aura autre chose à faire qu'à calculer, comme on l'a indiqué dans ces numéros, la pression que supporte tant l'axe que le point d'appui de chaque roulette, puis à rechercher, d'après les considérations précédentes, les résistances auxquelles elles donnent lieu respectivement, pour les substituer, dans l'équation d'équilibre du n*^ 30, aux résistances /'N,/N' qui résulteraient du frottement direct.

Quant au cas où les roulettes se trouveraient interposées entre deux plates-formes, dont l'une flxe et l'autre mobile autour d'un axe donné, il ne présentera pas de difficultés plus grandes, si les chapes des roulettes font corps avec l'une ou l'autre de ces plates-formes ; car, quelle que soit la manière dont se distribue la pression sur le système de ces roulettes, on sera en état d'évaluer la résistance absolue ou totale dans le sens propre du chemin décrit par le point de la plate-forme mobile qui répond au milieu de leur axe, et il ne s'agira plus que de multiplier cette résistance par ce chemin ou par sa distance à l'axe de rotation général du système pour obtenir le travail ou le moment par rapport à ce même axe.

▲ppCiquêr \ux hachikbs. 3i5

En offèt» consei^anl les dénominations des n*"* 41 et k% on aura approximativement, pour chaque roulette en particulier,

si la chape fait partie de la ptote-f^rme âobile, ou

si elle^st liée à la plate-forme flxe. P étant ici la pression indéterminée supportée par la roulette de la part de celle dernière, il sera impossible dc||eaI{iEuler sa ré|d;stance indivi- « « duelleF; mais, si l'on fait, pour chaque cas, la somme^e toutes les résistances sembl^les, on aura, dans le premier,

et, dans le second, ^

relations dans lesquelles Tindélermination n'existe plus, puisque 2(P) indique la somme des pressions supportées par les roulettes.

46. Galets de plaies-formes tournantes. — Il arrive souvent et il convient même, pour éviter la résistance sur les essieux de roulettes, que ceux-ci soient rendus indépendants des deux plates-formes, et alors le roulement s' opèm, sur chacune d'elles, comme dans le cas du n® 10, si ce n'est que les essieux donnent ici lieu à un excès de résistance, dont l'intensité est en quelque sorte indéterminé!' et dépend bien moins de la pression réciproque des plates-formes que des accidents particuliers ou des imperfections que présentent la surface des roulettes et les surfaces d'appui, qu'on a soin d'ailleurs.de revêtir de bandes ou ornières de fer saillantes.

En effet, les galets ne peuvent point ici être entièrement ^

3l6 COURS DE nÊGANIQtB '

libres ou privés d'essieux qui les dirigeot dans leur çpurse* attendu que le moindre obstacle, les faisant cheminer Inégalement et dévier de leur route, ils s'embarrasseraient mutuelle; ment et seraient plus nuisibles qu'utiles». AHn donc d'assurer la direction de leur mouvement, on les relie entre eux par deux grands «d^eaux en fer> concentriques à l'axe général et. auxquels jr«daptAi-,^nsversalement les boulons ou essieux; ces anneaux son9|r*ftlleurs eux-mêmes reliés à l'axe dont il s'agit par des bra^ qui ont la liberté déjouer à frottement doux sur son contour. Quelquefois iftéme ces anneaux ou chapes générales sont articulés au droit de chaque essieu de roulette, afin d'éviter toute espèce de gàne dans le mouvement;' mais, à m^inatd'une exécution parfaite et dé soins minutiecnc qu'on ii'it|tporte guère à l'entretien des rou* lettes et des bandes frottantes, on ne doit pas s'attendre 2i la suppression complète du frottement des axes, qui d'ailleurs ;Pnt à supporter le poids. des systèmes de chapes et de la moitié environ des bras qui les relient à l'axe de rotation général. Nommant q ce poids, q' celui qui charge la couronne frottante par laquelle les bras sont réunis iT^'axe en^uestion, on aura évidemment, pour la résistanctriotale X tjfa pareil système, rapportée au cercle milieu des axes de Voulettes d'un rayon p,

en conservant les conventions et dénominations précédentes, et supposant d'ailleurs la puissance appliquée au plateau tournant, ce qui est convenable si l'on tient à diminuer l'intensité absolue de la. résistance en augmentant le chemin décrit par le point d'application de la force motrice, et si Ton veut éviter en même temps les efforts de traction, assez grands et variables, que supporteraient, datis le sens du chemin qu'ils décrivent, les axes de roulettes, si cette force était immédiatement appliquée aux anneaux des chapes.

Telles sont, au surplus, les dispositions fort ingénieuses adoptées pour la manœuvre des ponts tournants du canal Saint- Marlin, à Paris, dont nous donnerons une idée plus étendue

APPLIQUÉE AUX MACBIlCiBll' 817

dins la partie de ce Coups consacrée spécialement à l'étude des machjjaes existai^tes.

47. Usage des roulettes pour diminuer la tésistance des tourillons des roues. — On emploie aussi quelquefois, dans la vue de déterminer le frottement des tourillons des arbres de machines, des galets sur le contour desquels on les fait reposer directement.: on en a un exemple remarquable dans la machine d'Atwood; maisjjttire qu'il n'a point été fait encore d'expériences directes pcJ^Hjpprécier, dans ce cas, la résislance tangentielle au roulelnlnl, on doit aussi remarquer que les chances de déformation des. surfaces doivent être ici bien plus grandes que dans ceux qui précèdent, attendu que, à consistance égale des matières, les impressions qu'elles supportent ,j^oi vent :!|ilre plus profondes, et par suite plus durables. ^ànl à cette résistance en elle-même, on pourra, faute de mieuv, en attendant des expéri^ces concluantes, la supposer égale à*la quantité ^ ^*

A et A' étant des constantes censées dépendre uniquement,. «^' d^la nature des substances en contact, R, R' lef rayons des roues, P leur force de compression commune et réciproque.

AP

Celte expression se réduisant d'ailleurs à -rr- quand le rayon*

(*) Dans le cas d'un obstacle très-pe|it interposé entre les deux rouM, et^ doftt /serait la distance au point de contact commun, la résistance tangentielle et totale, en supposant, du reste, l'une de ces roues libre de se soulever eoaiiMI celle qui a été considérée aux n<>* 41 et 42, aurait éyidemment pour valeur l'expression

qui ne comprend pas d'ailleurs la partie de la résistance provenant du frottement des axes, s'il en existe, et à laquelle on arrive également en supposant l'obatacle matériel remplacé par une facette plane, commune aux deux roues, de largeur / et qui serait produite par leur compression réciproque sous la charge P. Nous verrons,dans la Section suivante^que la même formule se présente quand il s'agit de mesurer la résistance des engrenages de roues.

URS DB VÊGàNIQUB

R' est infini, ou que la surface correspondante se change en un plan, on se trouve conduit naturellement à attribuer a chacune des constantes A et A' les mêrnes valeûrf que si le -^l cylindre auquel elle correspond roulait simplement sur un plan formé de la même substance que l'autre cylindre; mais il y a tout lieu de croire que, dans la réalité, elles doivent être un peu moindres, à cause de la plus grande facilité qa^Hit les surfaces à se dégager du fond de l'impression qu'ellesMMssent par suite de leur compression r6^[Nroque. . "-

Dans le fait,' ces suppositions m^oivent être considérées que comme des aperçus qui ont besoin d'être vérifiés par l'expérience, et qui, en attendant, peuvent fournir des indications utiles dans certains cas de pratique.

48. Calcul de la résistance des tourillons ftrouletiesi — Pour montrer maintenant le rôle que joueraient les galeta^^Hf tourillons, s'il était permis d^égliger leur^sistanceau roulement et de faire abUraction du défaut qu'ils ont dfe s'user inégalement, et d'autant plus rapidement que les rayons et les arêtes de contact des couronnes roulantes sont plus petits, nous supposerons que a (fig. 8i ) soit le centre d'un touriUon,

Ftg. 8i. • O

de rayon r, sollicité par des forces dont la résultante générale soit N ; s'il tournait dans un coussinet ordinaire, son frottement serait mesuré par/'N, développant une quantité de trsrvail égale à/'N27rr, p^m une révolution entière de l'arbre. *f Mais, si l'on supposô ce tourillon porté sur deux roulettes

APPLIQUÉE AUX MACHINES. SlQ

égales 6 et c, dont ^ soit le rayon commun et p celui de leur essieu, .la^ pression N se trouvera décomposée en deux autres passant par les axes b, c, et qui, en supposant N symétrique* ment située par rapport à ces mêmes axes, auront évidemment pour valeur commune la quantité

N acosyce'

dans laquelle a repcrésente Tangl^^Hacr.

^ Ces pressions produisant» sur les^axes 6 et c, des frottements mesurés par *

on voit que, e^^Qligeant la résistance au roulement» qui a lieu en deie, la perte d0;,^yail qui leur correspond» toujours pour une révoRition eafÉtee du tourillon a, sera me^àée par

COSja R

puisque Viit développfi auxi^oints de contact d^mtf par les roulettes» est égal à ii:r, et, par conséquent» cebl^que-têcil-'

vent les surfaces des axes b et c» à 27rr& donc aussi la résistance tangentielle qu'éprouve à se mouvoir le tourillon a, et qui était/'N dans le premier cas, se trouvera réduite à

cosja R

dans le second; ce qui est d'ailleurs évident a priori, puisque cette résistance est la somme des^ffoits tangentiels à appliquer, en d et e» pour vaincre les frottements en b et c.

49. Disposition la plus avantageuse des roulettes. — La résistaftce dont il s'agit et sa quantité de travail croissant d'ailleurs à mesure que cosja diminue» ou que l'angle frac augmente ('),

(*) On remarquera que le rayon p des essieux de roulettes a une relation nécessaire avec celui r du tourillon de Tarbre; ce dernier supportant une près-

330 CODBS BE HtCAHIQVS

00 voit qu'il importe de rapprocher i'uiude l'autre les axes b, c des roulettes; et c'est pourquoi, dans certains cas, on fait immédiatement porter [fig. 83) le tourillon a sur la

e roulette c, de Taçoo que la direction de ac soit sensiblement celle de la résultante N des forces^mii agissent «sur 9; mais alors on contient latéralement ce îlourillon par deux autvto roulettes A et 6* doAl lal%ne des centres est periUndlculaire à ac. ■La résistance tangentielle du tourillon a

se réduit ainsi i la quantité/' N^* ou la perte de travail, par

(ion normile niesDrée(38] par « et 1m deux lulrci une pmiiotratsa-

r^ par r ;~i itlcndu que chaque rouletle repoae sur deux axes écaui n

■ymitTiquement placci, on devra, d'après les règles de stabiliti-, délcrmioei' la grandeur de p aelon la pvoportIbD ^^

-::P!/,"d-où p = ^'4^ = ï^-^ *

« v'4cos;a y/iciM\it

»m lien de la rétlfUDce /' N qui te rapparte ■ par an couMÎnet ordinaire.

d'an tenl tourillon aupporté

APPIiO^UÊE AUX MAGBINBS.

révolution, à/'NaTrr^jen conservant les mêmes dénominations qui'ci-dessuSy et supposant d'ailleurs que Tarbre de a ne soit pas sollicité par d'autres forces que K.

Les tourillons de la cloche de Mute de la cathédrale de ifetz présentent un moyen de suspension analogue, et qui se trouve indiqué par la Jig. 82; mais, comme ici la cloche ne fait que de courtes oscillations de part et d'autre de la verticale, les roulettes se trouvent simplement remplacées par des secteurs circulaires, dont ceux de droite et de gauche sont dirigés, dans leur mouvement de va-et-vient, par le moyen d'un système articulé.

Équilibre du treuil en ayant égard au frottement et à Ut roideur des cordes.

50. Solution générale dans le cas oà les forces sont cornprises dans des plans perpendiculaires à t'axe. — Soit [fig» 83) un treuil dont l'arbre horizontal AA' est supporté, vers ses

Fig. 83.

extrémités, par deux tourillons reposant sur les coussinets fixes A et A', et sollicité à se mouvoir par la puissance P et la résistance Q, qui agissent par l'intermédiaire de cordes ou de courroies que nous supposerons situées dans des plans perpendiculaires à l'axe AA'; nommons

M le poids total du treuil, dont le centre de gravité G est censé sur Taxe AA';

322 COURS DE VÉGANIQ9B

R et r les rayons des roues, à l'exlrémiié desquels agissent

P et Q ; p et p' les rayons des tourillons A et A'; d le diamètre de la corde sollicitée par Q; p^ q^ m et l les distances respectives de P, de Q, de M et du

point d'appui A à celui A'; a et p les angles de P et de Q avec la verticale; N et N' les résultantes des efforts exercés respectivement sur

les points d'appui A et A';

0 ex 6' les angles que forment ces résultantes avec la verticale;

f /, et /,' les valeurs de ' pour les tourillons A et A'...:

^la résistance occasionnée par la roideur de la corde

qui s'enroule du côté de Q.

On commencera par décomposer chacune des forces P et Q en deux autres, suivant la verticale et l'horizontale, puis on décomposera, à leur tour, ces dernières, ainsi que le poids M du treuil, en deux autres qui leur soient parallèles et situées dans les plans perpendiculaires, en A et A', à l'axe du treuil et à des distances égales à la longueur de cet axe; on trouvera de cette manière :

/ somme des composantes verticales, Mm

Pour le point A

Pour le point A'

■p -H Of cosp -f-P^cosa = Y;

somme des composantes horizontales, Q^sin(3-P^sina=:X;

somme des composantes verticales, somme des composantes horizontales.

APPUQUÊB AUX MACHINES. 323

On aura donc, en observant que les résultantes des forces contenues dans chaque plan doivent passer respectivement par les points d'appui correspondants des tourillons, lorsque le treuil est arrivé à sa position d'équilibre ou de stabilité.

= j-/[M(/-/w)-+-Q(/-^)C08p-f-P(/— /?)cosa]'-h[Q(/-'^)8inp— P(/— i»)sina]^

tang0=Y» tangô'=Y7'

valeurs dont les dernières serviront, conjointement avec les signes de X et Y, de X' et Y', à faire connaître la direction et le sens de l'action des résultantes N et N'.

L'équilibre devant avoir lieu autour de l'axe C du treuil, entre la puissance P, la résistance active Q, la roideur de la corde qui s'enroule du côté de Q et enfln les frottements /iN,/', N', on aura, par la théorie ordinaire des moments,

équation daVis laquelle il ne fiiudra introduire que les valeurs absolues de N et N^ et qui sera, en général, du quatrième degré en P.

51. Cas où les forces ont des directions quelconques, — Dans le cas où le système serait sollicité par une ou plusieurs forces non comprises dans des pUns perpendiculaires à l'axe AA^ il faudrait remplacer chacune d'elles par deux autres agissant au même point, et dont l'une, comprise dans un tel plan, devra être traitée comme les forces P et Q, et dont Tautre, parallèle à AA', pourra, à son tour, être remplacée paf^-ùne force égale dirigée suivant cet axe et par un couple donnant lieu à des pressions en A et A' qu'il faudra comprendre au nombre des autres forces qui sollicitent ces tourillons, pour obtenir les nouvelles valeurs des résultantes N et N^

Quant aux composantes qui agissent suivant l'axe AA', on les composera en une seule, égale à leur somme, et dont Tintensité absolue, étant mesurée par Ni, produira, sur l'épaulement contre lequel elle force l'arbre ou la tête du tourillon à s'appuyer latéralement, un frottement /Ni, dont le bras de levier moyen devra être calculé comme il a été expliqué au n"* 37, et dont on ajoutera le moment à ceux des autres résistances dans l'équation d'équilibre ci-dessus.

52. Méthodes abrégées pour résoudre V équation d'équilibre^ — Afin de simplifier la résolution numérique de cette même équation, on se sert ordinairement de la méthode des substitutions successives; on néglige d'abord les termes en/, et/,' ,

ce qui donne

r . rf'-(a-f-fcQ) r

^--^R"^ Tr R'

on met cette première valeur, un peu faible, au lieu de P, sous les deux radicaux, ce qui fournit une nouvelle valeur de P beaucoup plus exacte, et qu'on peut substituer à son tour, sous ces mêmes radicaux, pour en obtenir une troisième et ainsi de suite; mais, à cause de la faible influence du frottement des tourillons, il arrive, presque toujours, dans les cas de pratique, qu'on peut se borner à la première substitution. Les résultats de la Note I, placée à la fin 4e cette Section III, mettent d'ailleurs en état de résoudre, dans chaque cas, d'une manière générale et avec un degré d'approximation très-suffisant, l'équation dont il s'agit, qui se trouve ainsi ramenée à une autre du premier degré, entre P et Q.

Considérant, par exemple, \/X'-h Y% qui exprime la valeur de N, si l'on ne connatt nullement le rapport de grandeur des composantes X et Y, dont on ne doit ici d'ailleurs retenir que la valeur numérique et absolue, on remplacera le radical par la quantité linéaire et rationnelle

0,828 (X -f- Y), exacte à ~ près ;

si Ton sait à l'avance que Y surpasse X, on le remplacera par

celle-ci :

o,96Y -f- o,4X, exacte à — près.

ÂPPLIQUfiB AUX MACHINES. 325

Substituant donc cette valeur approchée de N et la valeur analogue de. N' dans l'équation d'équilibre ci-dessus, on en déduira immédiatement P, en fonction de^Q, avec un degré d'approximation très-suffisant, même dans la première supposition, à cause d^la faible influence du frottement des tourillons. *

53. Simplification relative au cas le plus ordinaire des ap^ plications, — Dans le cas le plus ordinaice, on aura

P=^P'. /.=/; et y;Np4-/:Ny=/.p(N-+-N');

de plus, les. forces P^ et Q agissant dans le même sens que M pour presser les tourillons, les valeurs de Y et Y', de X et X', telles qu'elles ont été écrites ci-dèssus, sont toutes positivesy de sorte que si, comme il arrive fort souvent, on a en même temps Y > X, Y' > X', on pourra prendre, à ^r près,

N4-N' = o,96(Y-hY')-ho,4(X-hX')

= o,96(M -h Qcosp -h P cosa) -♦- o,4(Qsin(3 — Psina),

ou, à \ près seulement, si l'on ignore absolument l'ordre de grandeur de X et X', de Y et Y',

= o,83(M H- Q cosp -f- P cosa -h Q sinp — P sina).

L'une et l'autre de ces expressions sont, comme on le voit, celles qu'on obtiendrait directement si, au lieu de décomposer chacune des forces proposées dans les plans perpendiculaires à chaque tourillon, pour en chercher séparément les résultantes N et N', on les avait supposées, tout d'abord, comprises dans un plan unique, et appliquées au même point, ce qui eût donné, pour la résultante générale, l'expression

V^(M-t-Qcos(3-hPcosa)'-h(Qsin(3 — Psina)»

= s/W 4- Q' 4- P' 4- 2 M (Q cos (3 -+- P cos a) 4- 2 PQ cos (a -f^) ,

qu'on prend ordinairement, en effet, pour la valeur de la force totale qui sollicite les tourillons et produit leurs frottements

326 COUBS DE HÉGAIflQUB

censés concentrés en un seul ; mais cette supposition ne conduit véritablement qu'à des résultats plus ou moins approchés, et qui peuvent devenir fautifs toutes les fois que les composantes Y et Y', X et X' tendent à faire presser les tourillons contre des points opposés des coussinets.

Dans ce dernier cas, en effet, et attendu qu'on ne doit prendre que les valeurs absolues des forces dont il s'agit, pour les substituer dans les sommes X -h X' et Y 4- Y', on se trouvera obligé de changer le signe algébrique et naturel de la force qui est négative, ce qui empêchera la réduction ci-dessus d'avoir lieu. Par exemple, il se pourrait que, dans un certain cas, on eût en même temps

Q I sinp> p£ sina; Q ^llZll sin(3< P ^Izjll sin<x,

et alors, au lieu de

XH-X'=:Qsinp-Psina, on aurait