X-+-X' = Qsinp (^-i^-Psinafi
ce qui est bien différent.
Ces observations sont entièrement semblables à celles que nous avons présentées à l'occasion du frottement des pièces rectilignes contre leurs guides (30) ; elles montrent qu'il faut soigneusement distinguer, dans chaque cas, le sens de l'action des forces et les relations entre leurs intensités, pour être en état de prononcer sur le signe des composantes Y, Y', X et X', et, par suite, s'il peut être permis de substituer la considération d'une résultante unique à celle des résultantes distinctes N et N'; or c'est ce qui sera toujours possible quand les données et les conditions du système se trouveront numériquement et complètement établies {voir le n* 56 ciaprès).
54-. Exemple relatif au treuil destiné à soulever des fardeaux. ~ Dans le treuil destiné à soulever des fardeaux, il n'y a pas d'incertitude : Q est vertical, ^ = o, et les compo-
santés X et X' de N et N^ se réduisent (50) aux forces
Pjsina, V^J—J^s\na,
qui agissent dans le même sens pour presser les tourillons ('). L'équation d'équilibre peut être ainsi remplacée par la suivante, en observant que les composantes dont il s'agit sont respectivement moindres que les composantes verticales Y et Y' :
-+-/p[o,96(M -f- Q-+- P cosa) -+- o,4Psina],
de laquelle on tire
p^Qr-i- j^^(a-f-6Q)-+-o,96/.p(M-f-Q) R — /,p (o,g6cosa-+- o,4sina)
(*) Si F agissait au delà du tourillon A' par rapport k A, p deviendrait négatif, et l'on prendrait
N=o,96 (m y-+-Q| — P jcosaj H-o,4P fsina,
N, = „,90 I^M (^) ^ Q (±2^ ^ p LLL£} co.«] + 0,4 p ^-^^in ..
et par suite,
N -H N'= o,96(M H- Q -h P C05«) H- 0,4 P ^^ j-^ sîn a,
R — /i|9 lo,96co8a-+-o,/| ^^ j-^ sinal
valeur qui ne diffère de celle donnée dans le texte qu'en ce que sin a y est remplacé par j— ^sina au dénominateur; mais, comme la solidité de l'arbre
exige, dans les suppositions actuelles, que la saillie p soit très-petite par rapport à /, on pourra presque toujours se borner à la valeur du texte, dont le dénominateur peut être simplifié toutes les fois que, l'angle a étant aigu, on aura cosa > sina; car alors le facteur
0,96009 a -f- 0,4 sina sera k ij prés égal à l'unité.
328 GOUBS BB MÉCANIQUE
avec un degré d'approximation très-sufGsant pour les applications ordinaires.
Les valeurs générales (SO) de N et N' devenant par ellesmêmes rationnelles dans le cas particulier ou P serait vertical ou a nul en même temps que (3, il sera plus exact de prendre
en remplaçant ainsi les coefficients numériques 0,96 et 0,4 par I et zéro, attendu qu'ici {voir la Note I à la fin de cette Section) les rapports de Y à X et de Y' à X' deviennent infinis. %H..^'.
En générai, et pour la précision, il conviftdide ne pas oublier que ces coefficients sont susceptibles de changer de valeurs avec les rapports dont il s'agit.
55. Cas où la puissance est parallèle et de signe contraire à la résistance. — Si a, au Heu d'être nul, était de 180 degrés, c'est-à-dire si P agissait verticalement, mais en sens contraire de H et de Q, la même solution serait applicable en changeant simplement le signe de/ip au dénominateur de la fraction cidessus; car les composantes de P, qui agissent sur les tourillons, auraient généralement une valeur moindre que la somme de celles qui proviennent de M et de Q. Mais si, a étant nul et par conséquent P cosa positif, ^ égalait 180 degrés, Q cos^ devenant — Q, il y aurait lieu de considérer les expressions distinctes de N et N^ qui se réduisent alors (50) aux suivantes :
Mm P/? Q7
M(/-m) ^ V{l-p) Qil-q) l l " / '
dont il faudrait toujours ne prendre que les valeurs absolues pour les substituer dans l'équation générale d'équilibre.
Supposant, par exemple, que Texamen a priori des données de la question apprenne de suite que N et N' sont es-
sentiellement positifs, ce qui d'ailleurs, à cause de P >> Q ^ »
a; APPLIQUÉE AUX HACHITVBS. 329
arrivera nécessairement quand on aura à la fois
Mm-hQ^p>Qq, }ll [l- m) + Q^{l- p)>Q{l-q),
OU
il viendra J^
N-^N'=M + P-Q, p^OZL±i^^l*toMMziO),
ce qui suppose encore M -f- P > Q, condition naturellement comportée par les deux précédentes.
Si, au contraire, la discussion avait appris que N et N' sont essentiellement négatifs, il suffirait évidemment de changer la ligne de^i dans la valeur générale de P.
Enfin, si N et N' étaient de signes différents, on aurait
d'où
Qr+irfMa-f-6Q)±y;p[M(i^-.)-Q(^-.)]
le signe supérieur de/ correspondant au cas où la quantité
serait positive, et le signe inférieur à celui où, au contraire, elle serait négative.
56. Discussion relative au genre particulier de solution qui convient à chaque cas. — Cette discussion montre la nature des difficultés qu'on pourra^ en général, rencontrer dans les calculs relatifs à l'équilibre du treuil soumis à des résistances passives; car, les quantités N et N' étant fonctions implicites de la quantité P qu'il s'agit de déterminer, il ne sera
33o COURS DE MÉCANIQUE
jours possible de distinguer a priori quel est leur véritable signe; mais, outre que les cas d'indécision seront fort rares, on peut encore remarquer que ces cas ne se présenteront que lorsque la somme des termes tous connus, dans N et N', différera assez peu du terme qui contient P et lui sera d'ailleurs opposé de signe; ce n'est qu'alors, en effet, que les signes de N et N' pourront être douteux. Or, dans ce cas même, les valeurs absolues des priions dont il s'agit seront fort petites, et celles des frottements qu'elles produisent pourront, à la rigueur, être négligées vis-à-vis des autres résistances, à moins que, pour plus d'exactitude, on ne préfère les calculer en y supposant P simplement égal à sa valeur approchée
Q^ ou ^-hlrf.(a-|-6Q);
ce qui permettra alors de tirer directement, et avec un degré d'approximation plus que suffisant pour le plus grand nombre des cas de pratique, la valeur correspondante de P, de l'équation générale qui exprime les conditions de l'équilibre autour de l'axe du iVeuil.
Du reste, les mêmes remarques étant applicables au cas général examiné dans les n*** 50 et 51, quant à l'indétermination des signes des quantités partielles X et Y, X' et Y', il n'y a pas lieu de craindre qu'avec un peu d'attention on puisse jamais faire de fausses applications des méthodes de calcul qui y sont indiquées; car, les cas d'indécision relatifs au signe de ces quantités répondant encore ici à ceux où leurs valeurs absolues et individuelles seraient naturellement fort petites, on en facilitera beaucoup la discussion, en égalant séparément à zéro les expressions de X, X', Y, Y', puis comparant les valeurs qui en résultent pour P, soit entre elles, soit avec la véritable valeur de P, qu'on doit considérer comme essentiellement positive. En effet, celles de ces valeurs qui seront trouvées au-dessous de zéro indiqueront tout d'abord qve l'expression d'où elles proviennent est positive, et les autres seulement que cette expression peut être négative, si la valeur effective de P, telle qu'elle résulte des données du problème, se trouvait notoirement surpasser celle qu'on a déduite
• ÂPPLIQUÉI AUX MACHINES. 33.1
de l'équation hypothétique X= o, Y = o,..., que l'on considère en particulier. '
Faisant, par exemple, Y = o dans les suppositions générales du n® 50, on en déduira, pour P, une ceriaine valeur
^ Mm -+- Qq cos^
pcosa
distincte de la véritable; et, si cette valeur toute connue était négative, ce serait un signe certain que Y lui-même serait positif; la même chose aurait lieu évidemment encore si cette valeur, étant positive, se trouvait Inférieure à la véritable ou
à P, et, a fortiori, si elle était* au-dessous de Q -^ ou de
Q "d -hyrf»*(a-h 6Q); mais Y sera négatif dans le cas con-
traire, c'est-à-dire quand la valeur censée positive de Pt surpassera P, dont on ne connaît point, en général, de limite supérieure, comme on lui en connaît une inférieure; ce qui fait qu'on ne peut pas non plus Indiquer à l'avance une condition générale et explicite, qui permette d'assurer que Y est en effet < o.
Toutefois, si P. surpasse notablement la valeur approchée
de P, c'est-à-dire Q -rr» par exemple s'il en était les }, on
pourrait être certain, pour le plus grand nombre des cas, que Y serait aussi négatif; car il n'arrive jamais dans les machines que les résistances nuisibles des arbres tournants excèdent le quart de la valeur qu'aurait la force motrice si ces résistances n'existaient pas. L'indétermination du signe de Y n'aura donc lieu que pour le seul cas où Pi différerait très-peu de P ou
Q -g-î et par conséquent oii Y serait très-voisin de zéro, ce
qui conQrme la remarque déjà faite plus haut, et prouve qu'alors on peut en effet négliger, sans inconvénient, la considération de Y, ou prendre simplement pour sa valeur celle
qui répond à la supposition de P = Q -5- •
COUU DB ^^miQUE
Calcul des rèsiatances dans les panlles, le trenil daa Cbiuoia et le cabestan.
, 57. De lapouliejtxe. — Dans le cas particulier de la poulie, les Torces î* et Q agissent à la même distance r de l'axe, et sont comprises dans un plan qui partage en deux parties égaies rinicrvalle des tourillons, de sorte qu'on peut supposer que
Fig. 84. •
tout se passe dans ce plan milieu. Examinons d'abord la poulie Qxe [Jig. 84): nommant
T la tension du cordon sur lequel agit la puissance ;
T celle qui répond à la résistance;
(f l'angle formé par ces tensions, de part et d'autre de la droite qui joint leur point de concours A avec le centre C de la poulie;
m le poids de cette poulie, qui est toujours fort petit par rapport à TetT';
•^ l'angle que forme la direction de ce poids avec celle de la droite AC prolongée;
conservant, du reste, les mêmes dénominations e( conventions
qu'aux n" 50 et 52, on aura, après avoir décomposé les forces
m, T et T parallèlement et perpendiculairement à la direc-
âPPLIQUÊB aux HAGH1NI9'. 333
lion de AC,
équation dans laquelle (T-f-T') cos<p-f-mcosi}; est évidemmenCj^èit^f et plus grand que (T — T'jsinç — m sini};, qui, lui-iâa||el demeure au-dessus de zéro, tant que sin9 ^'^^^ P^s très-petitf remplaçant dona4B radical par sa valeur approchée à -^ près (52), tirant ensoue celle de T en T', il viendra
y^TV-hir/»*(rtr-4-6r)H-.rp[fo.96cosy— o.4 8iny)r-^fo,96cos^^-o,4 8in^)lw]
'•— />(o,96cos<p-4-o,4siuy)
Si les cordons étaient parallèles, c'est-à-dire si 9 était nul, il ny aurait éffdemment autre chose à faire qu'à changer le stghe de sinij; dans cette formule, attendu que la quantité (T — ï')sin(p — *isin4' deviaëdrait négative; enfin, si ces cordons étaient tous deux verticaux, lit lieu de la valeur approchée ci-dessus, on prendrait celle-ci,
Tr -h irfi^ (a -f- bV) -f-/p (r -4- m) .
qui est entièrement rigoureuse.
58. De la poulie mobile. — Dans le cas de la poulie mot^ile [fig. 85), il sera plus simple de décomposer les tensions T et T' selon la verticale et Thor^ontale; car la différence des composantes qui agissent dan|^tte dernière direction devra ètke naturellement nulle, et i|^omme de celles qui agissent suivant la verticale diminuée du poids m de la poulie devra être précisément égale a la charge Q, supportée par cette poulie, et dans laquelle se trouve compris le poids de la chaj^ et des garnitures; a et (3 étant d'ailleurs les angles formés i^spectivement par T et T' avec la verticale, on aura ainsi les équations i
T sina — T' sin^ = o, Tcosa -h T'cosp — m = Q, qui serviront à déterminer les angles « et (3, ainsi que les va-
leurs de T el T', conjointement avec les conditions géométriques du système et l'équation d'équilibre de la poulie au-
Fig. 85.
tour de son centre C, équation qui devient ici simplement
Tr=:T'-h|rfi^(a-4-6T')-f-/'pQ,
attendu que Q représente la résultante des forces qui agissent sur l'axe C.
Pour tirer la valeur de T et de T' de ces équations, on silbstituera d'abord celles que donnent les deux premières en fonction de cl et de p, dans la troisième, qui servira ainsi à calculer ces angles au moyen des conditions géométriques qui fixent la position du système ; ayant de cette manière les valeurs de a et de p, on calculera T et T' par les équations
Tsina ,^ , sina
(3 ^^ 'sm(a+P)
sin3
sm
sin(a-h(3) (r-f-^rf»^6)(Q^m)H-(irf'*a-V/>Q)cos(â ~~ r(cosp-4- cosa) -^^df-bcosa
Quant à la relation entre a et p, elle se réduit à la suivante :
sinp sina
sin(a -4- (3) ~" sin(a -f-
igdi-a
