PO

IPPLIQUtB AUX «ACHIRBSf 335

qui montre que sin^ surpasse sina d'une Traction en ellemême toujours fort petite.

Dans le cas où les cordons seraient sensiblement verticaux, on pourra, sans inconvénient pour l'exactitude, remplacer les trois équations ci-dessus par les suivantes, en négligeant les puissances de a et ^ supérieures k la première :

T« — rf

Tr=l 1)ui donnent

Arf>'{a + *T')-(-/'p[T + T'-m

id^b

59. Treuil ou chèvre 4fi Lombard. ~~ Les calculs qui précèdent sont immédiatement applicables à la chèvre de Lom-

bard [Jig. 86), que les Anglais attribuent aux Chinois, et qui

336 COURS DB HÊGÂRIQUB

a été décrite» par Navier» dans Je tome I de V Architecture hydraulique de Bélidor^ nouvelle édition, Note bi^ page ^oo. En conservant ici les mêmes dénominations que dans l'article précédent, quant à ce qui concerne la poulie mobile, et supposant que la puissance P agisse pour élever la charge Q tangentiellement à la circonférence d'une roue de rayon R, sous un angle avec la verticale, mesuré par x; nommant, de plus,

M Je poids du treuil, y compris celui de la roue et des cordages, dont le centre de gravité général sera censé sur Taxe de ce treuil; ^

p' les rayons égaux des tourillons A et A';

R' le rayon du tambour sur lequel s'enroule le cordon dont la tension est T ; JJUlt

9^ celui du tambour qui correspond è la iRSon T';

— - — |Hi> la roideur produite pjJM&îrouîement du premier

de ces cordons; *•?

/, la valeur de ~r~' — r^ pour les tourillons A eiJiajR

obslf^fMllr<i^^tlleur8 que Q est la résultante des tensions T et T' qui agissent p^r presser verticalement les tourillons; qu'enfin ces tensions elles-mêmes peuvent êire ici considérées comme sensiblement verticales, en supposant que la poulie C ait reçu des dimensions convenables, on aura d'abord, pour calculer! et T' (58), ^

ir-^\d^h){Q-¥- m\'h\d^a^f'pQ

^,r(Q-f-m)-irf»-r/^,rpQ

puis, observant qu'ici toutes les forces agissent pour presser les tourillons dans le même sens, et que la composante horizontale P sina est nécessairement une quantité fort petite par rapport à M-f-Q-f-m-4-P cosa, et dont il est permis de négliger le carré, sous le radical qui exprime la pression totale

1PP1.IQUÉB AUX M1CHINS8. 337

des tourillons (53), on aura également, pour calculer P,

PR = TR^.4-^''^''^,^^^R^— TV-f-/.p(M-4-Q-hm-f-Pcos«),

d'où Ton tirera immédiatement la valeur de P» après y avoir substitué celles ci-dessus de T et de T'.

Dans le cas où le système serait sans résistances passives, on aurait évidemment

ce qui montre qu'on peut diminuer à volonté l'effort de P» en diminuant convenablement la différence W—r' des rayons des tambours sur lesquels s'enroulent les cordages qui soutiennent la poulie mobile.

Si d'ailleurs il s'agissait de calculer, pour une révolution entière de l'arbre du treuil, la quantité de travail qu'aurait à développer la puissance P, il ne resterait qu'à multiplier sa valeur par la circonférence sttR que décrit son point d'application dans sa direction propre, ce qui donnerait pour ce travail, dans le cas où il n'existerait point de résistances passives, c'est-à-dire pour l'effet utile,

expression dans laquelle 7r(R'— r'} représente évidemment la hauteur dont s'est élevée la chargé Q + m pendant cette même révolution de l'arbre.

60. Cabestans, manèges ou treuils à axes verticaux, — Les solutions et équalions relatives au treuil à axe horizontal conviennent également aux treuils et aux systèmes de rotation quelconques à axes verticaux; il ne s'agit que de faire H = o dans ces équations, et d'ajouter à leur second membre un terme de la forme (38) y/Mp, pour tenir compte du frottement sur la tête du tourillon ou pivot inférieur qui supporte la charge M.

Supposant, par exemple, qu'il s'agisse du cabestan ordinaire Ijig» 87) sollicité par une puissance P, agissant perpendiculairement à l'extrémité d'un levier d'une longueur R, pour

338 rOCRS DB HfiCAHIQDB

vaincre la résistance Q appliquée à la corde horizontale qui s'enroule autour de l'arbre venîcal du treuil; nommant d'ailleurs OL l'angTe formé, pour une certaine position du système,

Fig. 87.

parla puissance P avec la direction invariable de Q, et conservant, du reste, toutes.les autres dénominations et conventions du n" 50, on obsert'era qu'ici le tourillon supérieur est généralement plus fort que le tourillon inférieur, en A; qu'en outre /> doit être changé de signe; qu'enfin les composantes de 0 qui agissent sur ces tourillons l'emportent sur celles qui proviennent de la décomposition de P; on aura donc, pour résoudre la question dans le cas du cabestan ordinaire,